Aplet przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach A B C D E F H, gdzie długość odcinka AB równa się 8, długość odcinka BC równa się 6, a długość odcinka CG jest równa sześć i cztery dziesiąte. Prostopadłościan ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AB, BC, CG, GH, AE oraz EH, przy czym punkt I znajduje się na krawędzi dolnej podstawy AB, punkt J znajduje się na krawędzi dolnej podstawy BC, punkt K znajduje się na krawędzi bocznej CG, punkt L znajduje się na krawędzi górnej podstawy GH, punkt N znajduje się na krawędzi bocznej AE, punkt M znajduje się na krawędzi górnej podstawy EH. Obliczymy pole powstałego przekroju. Najpierw korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długości odcinków LM, KL i MN. Przypomnijmy, że punkty K, L M oraz N leżą na środkach krawędzi, zatem odcinek EN ma długość 3,2, odcinek EM oraz HM mają długość 3. Odcinki HL oraz GL mają długość 4, a odcinek KG ma długość trzy i dwie dziesiąte. Obliczenia będą wyglądać następująco: 3 2 + 4 2 = L M 2 ⇒ L M = 5 , 3 , 2 2 + 4 2 = K L 2 ⇒ K L = 26 , 24 , 3 2 + 3 , 2 2 = M N 2 ⇒ M N = 19 , 24 . Z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że istnieje równość między długościami boków sześciokąta: I J = L M , I N = K L , J K = M N . Zauważmy, że długość przekątnej NK sześciokąta jest taka sama jak długość przekątnej AC podstawy prostopadłościanu i możemy ją obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 8 2 + 6 2 = A C 2 , zatem N K = A C = 10 . Zajmijmy się teraz sześciokątem, zauważmy, że pole całego przekroju jest równe podwojonemu polu trapezu N K L M, w którym znamy długości wszystkich boków. Przypomnijmy, że wierzchołki sześciokąta to I J K L M N, przy czym krawędź KL ma długość 26 , 24 , krawędź ML ma długość 5, krawędź NM ma długość 19 , 24 , a przekątna sześciokątna NK ma długość dziesięć. Aby obliczyć pole trapezu, potrzebujemy długości jego wysokości. Opuśćmy wysokości z wierzchołków M i L do punktów P i R leżących na przekątnej NK i oznaczmy ich długość przez h. Literą x oznaczymy długość odcinka NP., wtedy długość odcinka RK będzie równa R K = N K − P R − N P = 10 − 5 − x = 5 − x , gdyż odcinek PR ma długość taką samą jak odcinek ML, czyli pięć. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów N P M i K R L, otrzymujemy układ równań: x 2 + h 2 = 19 , 24 2 5 − x 2 + h 2 = 26 , 24 2 . Otrzymany układ równań rozwiązujemy podstawiając w drugim równaniu za wyrażenie x 2 + h 2 liczbę 19,24 i otrzymujemy x 2 + h 2 = 19 , 24 25 − 10 x + x 2 + h 2 = 26 , 24 , zatem 25 − 10 x + 19 , 24 = 26 , 24 , ostatecznie otrzymujemy x = 1 , 8 . Wstawiając za x wyznaczoną wartość, obliczamy wysokość h: 1 , 8 2 + h 2 = 19 , 24 , zatem h 2 = 19 , 24 − 3 , 24 , czyli h = 4 . Znamy już wszystkie wartości potrzebne do obliczenia pola trapezu: P N K L M = 10 + 5 2 ⋅ 4 = 30 , zatem pole całego sześciokąta jest równe sześćdziesiąt. Jeżeli prostopadłościan będzie miał w podstawie kwadrat, to trójkąty N E M i G K L będą przystające, a więc trapez N K L M będzie równoramienny. Z kolei jeżeli prostopadłościan będzie miał wszystkie krawędzie tej samej długości, a więc będzie sześcianem to sześciokąt będzie foremny. Przypomnijmy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić dłuższymi przekątnymi na sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku a. Pole sześciokąta jest więc wtedy równe: P I J K L M N = 6 ⋅ a 2 3 4 = 3 a 2 3 2 .
Aplet przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach A B C D E F H, gdzie długość odcinka AB równa się 8, długość odcinka BC równa się 6, a długość odcinka CG jest równa sześć i cztery dziesiąte. Prostopadłościan ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AB, BC, CG, GH, AE oraz EH, przy czym punkt I znajduje się na krawędzi dolnej podstawy AB, punkt J znajduje się na krawędzi dolnej podstawy BC, punkt K znajduje się na krawędzi bocznej CG, punkt L znajduje się na krawędzi górnej podstawy GH, punkt N znajduje się na krawędzi bocznej AE, punkt M znajduje się na krawędzi górnej podstawy EH. Obliczymy pole powstałego przekroju. Najpierw korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długości odcinków LM, KL i MN. Przypomnijmy, że punkty K, L M oraz N leżą na środkach krawędzi, zatem odcinek EN ma długość 3,2, odcinek EM oraz HM mają długość 3. Odcinki HL oraz GL mają długość 4, a odcinek KG ma długość trzy i dwie dziesiąte. Obliczenia będą wyglądać następująco: 3 2 + 4 2 = L M 2 ⇒ L M = 5 , 3 , 2 2 + 4 2 = K L 2 ⇒ K L = 26 , 24 , 3 2 + 3 , 2 2 = M N 2 ⇒ M N = 19 , 24 . Z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że istnieje równość między długościami boków sześciokąta: I J = L M , I N = K L , J K = M N . Zauważmy, że długość przekątnej NK sześciokąta jest taka sama jak długość przekątnej AC podstawy prostopadłościanu i możemy ją obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 8 2 + 6 2 = A C 2 , zatem N K = A C = 10 . Zajmijmy się teraz sześciokątem, zauważmy, że pole całego przekroju jest równe podwojonemu polu trapezu N K L M, w którym znamy długości wszystkich boków. Przypomnijmy, że wierzchołki sześciokąta to I J K L M N, przy czym krawędź KL ma długość 26 , 24 , krawędź ML ma długość 5, krawędź NM ma długość 19 , 24 , a przekątna sześciokątna NK ma długość dziesięć. Aby obliczyć pole trapezu, potrzebujemy długości jego wysokości. Opuśćmy wysokości z wierzchołków M i L do punktów P i R leżących na przekątnej NK i oznaczmy ich długość przez h. Literą x oznaczymy długość odcinka NP., wtedy długość odcinka RK będzie równa R K = N K − P R − N P = 10 − 5 − x = 5 − x , gdyż odcinek PR ma długość taką samą jak odcinek ML, czyli pięć. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów N P M i K R L, otrzymujemy układ równań: x 2 + h 2 = 19 , 24 2 5 − x 2 + h 2 = 26 , 24 2 . Otrzymany układ równań rozwiązujemy podstawiając w drugim równaniu za wyrażenie x 2 + h 2 liczbę 19,24 i otrzymujemy x 2 + h 2 = 19 , 24 25 − 10 x + x 2 + h 2 = 26 , 24 , zatem 25 − 10 x + 19 , 24 = 26 , 24 , ostatecznie otrzymujemy x = 1 , 8 . Wstawiając za x wyznaczoną wartość, obliczamy wysokość h: 1 , 8 2 + h 2 = 19 , 24 , zatem h 2 = 19 , 24 − 3 , 24 , czyli h = 4 . Znamy już wszystkie wartości potrzebne do obliczenia pola trapezu: P N K L M = 10 + 5 2 ⋅ 4 = 30 , zatem pole całego sześciokąta jest równe sześćdziesiąt. Jeżeli prostopadłościan będzie miał w podstawie kwadrat, to trójkąty N E M i G K L będą przystające, a więc trapez N K L M będzie równoramienny. Z kolei jeżeli prostopadłościan będzie miał wszystkie krawędzie tej samej długości, a więc będzie sześcianem to sześciokąt będzie foremny. Przypomnijmy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić dłuższymi przekątnymi na sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku a. Pole sześciokąta jest więc wtedy równe: P I J K L M N = 6 ⋅ a 2 3 4 = 3 a 2 3 2 .