Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ro5CpkhdLv9Wo1

Ćwiczenie 1

Długości krawędzi prostopadłościanu są w stosunku $3 : 4 : 5$ . Przez najdłuższą krawędź i przekątną najmniejszej ściany poprowadzono przekrój, którego pole jest równe $225$ . Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi

$34$
$48$
$96$
$144$

RiQoNS8HXXm5W1

Ćwiczenie 2

Sześcian o krawędzi długości $20$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka podstawy. Przez kąt $α$ oznaczmy miarę kąta płaskiego równą kątowi nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy. Zaznacz wszystkie prawdziwe zdania.

Przekrój jest trójkątem prostokątnym.
Przekrój jest trójkątem równoramiennym.
Pole tego przekroju jest równe $50 \sqrt{3}$ .
Wysokość tego przekroju jest równa $5 \sqrt{3}$ .
Tangens kąta $α$ wynosi $\sqrt{2}$ .
Cosinus kąta $α$ wynosi $\sqrt{2}$ .

Rg8UjQaOvuuzj1

Ćwiczenie 3

Wstaw poprawne elementy w tekst.

$13$ , trójkąt różnoboczny, $13$ , trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez, $5$ , $12 \sqrt{2}$ , $5$ , $3 \sqrt{194}$ , $6 \sqrt{194}$ , trójkąt równoramienny

Prostopadłościan o wymiarach $12 \times 12 \times 5$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną jednej z dwóch największych ścian oraz dokładnie jeden wierzchołek nienależący do tej ściany. Powstały przekrój to .................................................

Długości jego boków to (w kolejności niemalejącej) ................................................, ................................................, .................................................

Jego pole wynosi .................................................

Ćwiczenie 4

R1SwuNka4IjVF

R8CtW5me6EZ77

Ćwiczenie 5

Prostopadłościan $A B C D E F G H$ , którego krawędzie $|A B| = 2$ , $|B C| = 1$ , $|C G| = 6$ , przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty $A M G N$ , gdzie $M$ i $N$ są środkami krawędzi odpowiednio $B F$ i $D H$ . Oblicz pole przekroju.

R1KZBOZRBtANd

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A C D E F G H, przy czym wierzchołki A B C D należą do dolnej podstawy. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną o wierzchołkach A M G N. Punkt N leży na krawędzi bocznej DH, punkt M leży na krawędzi bocznej BF.

Podany przekrój jest równoległobokiem $|A M| = |N G|$ , oraz $|M G| = |A N|$ . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B M$ obliczamy:

$|A M| = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$

Analogicznie w trójkącie $A D N$ obliczamy:

$|A N| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

Przekątna równoległoboku $M N$ jest tej samej długości, co przekątna $B D$ prostokątna w podstawie. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$|M N| = |B D| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A M N$ otrzymujemy:

${|M N|}^{2} = {|A M|}^{2} + {|A N|}^{2} - 2 \cdot |A M| \cdot |A N| \cdot \cos α$

${\sqrt{5}}^{2} = {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{10}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos α$

$5 = 13 + 10 - 2 \sqrt{130} \cdot \cos α$

$\cos α = \frac{18}{2 \sqrt{130}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$

Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\sin α$ :

$\sin^{2} α + {(\frac{9}{\sqrt{130}})}^{2} = 1$

$\sin^{2} α = 1 - \frac{81}{130}$

$\sin α = \frac{7}{\sqrt{130}}$

Pole równoległoboku wynosi $P = \sqrt{13} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7}{\sqrt{130}} = 7$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ o krawędziach podstawy długości $|A B| = 8$ i $|B C| = 6$ . Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi $A D$ i $D C$ oraz przez wierzchołek $H$ (zobacz rysunek). Pole otrzymanego przekroju wynosi $10$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

R1CPW9d5gBTdc

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A C D E F G H, przy czym wierzchołki A B C D należą do dolnej podstawy. Prostopadłościan przecięto trójkątną płaszczyzną, której jeden wierzchołek to wierzchołek H, drugi wierzchołek leży na krawędzi CD, a trzeci wierzchołek leży na krawędzi AD.

R1Kjgn2l3JjWZ

Przez $I$ i $J$ oznaczmy środki krawędzi, przez które przechodzi przekrój $H I J$ . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $D I J$ długość odcinka $I J$ wynosi $5$ . Wykorzystując informację o polu przekroju otrzymujemy:

$10 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot |H K|$ , gdzie $|H K|$ to wysokość przekroju.

Stąd $|H K| = 4$

Z drugiej strony, obliczamy długość wysokości $D K$ w trójkącie prostokątnym $I J D$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot |D K|$

$|D K| = 2, 4$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $D K H$ otrzymujemy:

${|D K|}^{2} + {|D H|}^{2} = {|H K|}^{2}$

$2, 4^{2} + {|D H|}^{2} = 4^{2}$

$|D H| = 3, 2$

Objętość prostopadłościanu jest równa $V = 6 \cdot 8 \cdot 3, 2 = 153, 6$ .

Ćwiczenie 7

Oblicz pole prostopadłościanu $A B C D E F G H$ o wymiarach $|A B| = 12$ , $|B C| = 9$ i $|A E| = 6, 4$ wiedząc, że przekrój zawiera przekątną $A C$ podstawy oraz punkty $P$ i $R$ takie, że $|P H| = \frac{1}{2} |P G|$ oraz $|H R| = \frac{1}{2} |R E|$ .

R1VUHXb4APoL9

Rpo3XS88BFI6E

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A C D$ obliczamy $|A C| = 15$ .

Porównując pola trójkąta $A C D$ zapisane na dwa sposoby, otrzymujemy:

$\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot |D N|$ , stąd $|D N| = 7, 2$ .

Trójkąt $R P H$ jest podobny do trójkąta $A C D$ w skali $1 : 3$ , a więc $|P R| = \frac{15}{3} = 5$ oraz $|H M| = \frac{7, 2}{3} = 2, 4$ .

Opuszczając z punktu $M$ odcinek prostopadły do podstawy otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość $M N$ trapezu:

${(7, 2 - 2, 4)}^{2} + {6, 4}^{2} = {|M N|}^{2}$

${|M N|}^{2} = 64$

$|M N| = 8$

Pole trapezu jest równe $\frac{15 + 5}{2} \cdot 8 = 80$ .

Ćwiczenie 8

Długości krawędzi podstawy prostopadłościanu pozostają w stosunku $3 : 4$ , a pole jego powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw. Prostopadłościan ten przecięto płaszczyzną zawierającą przekątne podstaw. Pole otrzymanego przekroju wynosi $420$ . Oblicz wymiary tego prostopadłościanu.

Przyjmijmy następujące oznaczenia

$3 x$ – długość krótszej krawędzi podstawy

$4 x$ – długość dłuższej krawędzi podstawy

$h$ – wysokość prostopadłościanu

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw, a więc:

$3 x \cdot h + 4 x \cdot h + 3 x \cdot h + 4 x \cdot h = 2 \cdot 3 x \cdot 4 x$

$14 h x = 24 x^{2}$

$h = \frac{12}{7} x$

Opisany przekrój jest prostokątem o wymiarach $5 x \cdot h$ , a jego pole wynosi $420$ , zatem

$5 x \cdot \frac{12}{7} x = 420$

$x^{2} = 49$

$x = 7$

Podstawa tego prostopadłościanu ma wymiary $21 \times 28$ , a jego wysokość wynosi $12$ .

Aplet

Dla nauczyciela