Zapoznaj się z apletem, a następnie rozwiąż polecenia 2 i 3.
RvT1mAaERvcz9
Aplet przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach A B C D E F H, gdzie długość odcinka AB równa się 8, długość odcinka BC równa się 6, a długość odcinka CG jest równa sześć i cztery dziesiąte. Prostopadłościan ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AB, BC, CG, GH, AE oraz EH, przy czym punkt I znajduje się na krawędzi dolnej podstawy AB, punkt J znajduje się na krawędzi dolnej podstawy BC, punkt K znajduje się na krawędzi bocznej CG, punkt L znajduje się na krawędzi górnej podstawy GH, punkt N znajduje się na krawędzi bocznej AE, punkt M znajduje się na krawędzi górnej podstawy EH. Obliczymy pole powstałego przekroju. Najpierw korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długości odcinków LM, KL i MN. Przypomnijmy, że punkty K, L M oraz N leżą na środkach krawędzi, zatem odcinek EN ma długość 3,2, odcinek EM oraz HM mają długość 3. Odcinki HL oraz GL mają długość 4, a odcinek KG ma długość trzy i dwie dziesiąte. Obliczenia będą wyglądać następująco: , , . Z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że istnieje równość między długościami boków sześciokąta: , , . Zauważmy, że długość przekątnej NK sześciokąta jest taka sama jak długość przekątnej AC podstawy prostopadłościanu i możemy ją obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: , zatem . Zajmijmy się teraz sześciokątem, zauważmy, że pole całego przekroju jest równe podwojonemu polu trapezu N K L M, w którym znamy długości wszystkich boków. Przypomnijmy, że wierzchołki sześciokąta to I J K L M N, przy czym krawędź KL ma długość , krawędź ML ma długość 5, krawędź NM ma długość , a przekątna sześciokątna NK ma długość dziesięć. Aby obliczyć pole trapezu, potrzebujemy długości jego wysokości. Opuśćmy wysokości z wierzchołków M i L do punktów P i R leżących na przekątnej NK i oznaczmy ich długość przez h. Literą x oznaczymy długość odcinka NP., wtedy długość odcinka RK będzie równa , gdyż odcinek PR ma długość taką samą jak odcinek ML, czyli pięć. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów N P M i K R L, otrzymujemy układ równań: . Otrzymany układ równań rozwiązujemy podstawiając w drugim równaniu za wyrażenie liczbę 19,24 i otrzymujemy , zatem , ostatecznie otrzymujemy . Wstawiając za x wyznaczoną wartość, obliczamy wysokość h: , zatem , czyli . Znamy już wszystkie wartości potrzebne do obliczenia pola trapezu: , zatem pole całego sześciokąta jest równe sześćdziesiąt. Jeżeli prostopadłościan będzie miał w podstawie kwadrat, to trójkąty N E M i G K L będą przystające, a więc trapez N K L M będzie równoramienny. Z kolei jeżeli prostopadłościan będzie miał wszystkie krawędzie tej samej długości, a więc będzie sześcianem to sześciokąt będzie foremny. Przypomnijmy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić dłuższymi przekątnymi na sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku a. Pole sześciokąta jest więc wtedy równe: .
Aplet przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach A B C D E F H, gdzie długość odcinka AB równa się 8, długość odcinka BC równa się 6, a długość odcinka CG jest równa sześć i cztery dziesiąte. Prostopadłościan ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AB, BC, CG, GH, AE oraz EH, przy czym punkt I znajduje się na krawędzi dolnej podstawy AB, punkt J znajduje się na krawędzi dolnej podstawy BC, punkt K znajduje się na krawędzi bocznej CG, punkt L znajduje się na krawędzi górnej podstawy GH, punkt N znajduje się na krawędzi bocznej AE, punkt M znajduje się na krawędzi górnej podstawy EH. Obliczymy pole powstałego przekroju. Najpierw korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długości odcinków LM, KL i MN. Przypomnijmy, że punkty K, L M oraz N leżą na środkach krawędzi, zatem odcinek EN ma długość 3,2, odcinek EM oraz HM mają długość 3. Odcinki HL oraz GL mają długość 4, a odcinek KG ma długość trzy i dwie dziesiąte. Obliczenia będą wyglądać następująco: , , . Z przystawania odpowiednich trójkątów wynika, że istnieje równość między długościami boków sześciokąta: , , . Zauważmy, że długość przekątnej NK sześciokąta jest taka sama jak długość przekątnej AC podstawy prostopadłościanu i możemy ją obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: , zatem . Zajmijmy się teraz sześciokątem, zauważmy, że pole całego przekroju jest równe podwojonemu polu trapezu N K L M, w którym znamy długości wszystkich boków. Przypomnijmy, że wierzchołki sześciokąta to I J K L M N, przy czym krawędź KL ma długość , krawędź ML ma długość 5, krawędź NM ma długość , a przekątna sześciokątna NK ma długość dziesięć. Aby obliczyć pole trapezu, potrzebujemy długości jego wysokości. Opuśćmy wysokości z wierzchołków M i L do punktów P i R leżących na przekątnej NK i oznaczmy ich długość przez h. Literą x oznaczymy długość odcinka NP., wtedy długość odcinka RK będzie równa , gdyż odcinek PR ma długość taką samą jak odcinek ML, czyli pięć. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów N P M i K R L, otrzymujemy układ równań: . Otrzymany układ równań rozwiązujemy podstawiając w drugim równaniu za wyrażenie liczbę 19,24 i otrzymujemy , zatem , ostatecznie otrzymujemy . Wstawiając za x wyznaczoną wartość, obliczamy wysokość h: , zatem , czyli . Znamy już wszystkie wartości potrzebne do obliczenia pola trapezu: , zatem pole całego sześciokąta jest równe sześćdziesiąt. Jeżeli prostopadłościan będzie miał w podstawie kwadrat, to trójkąty N E M i G K L będą przystające, a więc trapez N K L M będzie równoramienny. Z kolei jeżeli prostopadłościan będzie miał wszystkie krawędzie tej samej długości, a więc będzie sześcianem to sześciokąt będzie foremny. Przypomnijmy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić dłuższymi przekątnymi na sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku a. Pole sześciokąta jest więc wtedy równe: .
Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego przekrój sześciokątny przez środki odpowiednich krawędzi (na rysunku poniżej) ma pole równe .
R15rxIwp6PiNR
Ilustracja przedstawia sześcian, który przecięto płaszczyzną w kształcie sześciokąta. Wierzchołki sześciokąta leżą na środkach krawędzi sześcianu.
Przez oznaczmy długość boku sześciokąta
Przez oznaczmy długość połowy krawędzi sześcianu. Wtedy
Odpowiedź:
Krawędź sześcianu ma długość .
Polecenie 3
Podstawą prostopadłościanu o wysokości jest kwadrat o boku długości . Oblicz pole przekroju tego prostopadłościanu płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi , , , , , , jak na rysunku.
Rk1b1QtsrFNWP
Ilustracja przedstawia prostopadłościan o wierzchołkach A B C D E F G H, przy czym wierzchołki A B C D to wierzchołki dolnej podstawy. Na krawędzi AB znajduje się punkt I, na krawędzi BC znajduje się punkt J, na krawędzi CG znajduje się punkt K, na krawędzi GH znajduje się punkt L, na krawędzi EH znajduje się punkt M, na krawędzi AE znajduje się punkt N. Punkty I J K L M N tworzą sześciokąt.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długości boków , , oraz przekątnej sześciokątnego przekroju. Wyniki zaznaczamy na rysunku płaskim przekroju.
RUCAWlhfYmEAK
Ilustracja przedstawia sześciokąt o wierzchołkach I J K L M N, Krawędzie KL oraz MN mają długość , krawędź ML ma długość . Krótsza przekątna NK ma długość . Z wierzchołka M na przekątną NK opuszczono wysokość, jej spodek podpisano literą P. Z wierzchołka L na przekątną NK opuszczono wysokość, jej spodek podpisano literą R. Wysokości podpisano literą h. Odcinek PN podpisano literą x.
Trapez jest równoramienny, a więc
Z twierdzenia Pitagorasa trójkąta obliczamy długość .
