Już wiesz

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary równoległych boków.
Równoległobokami są więc na przykład prostokąty, kwadraty i romby.
R1XGLM1IPaopf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyqsHZ9HfWo7t1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RyqsHZ9HfWo7t
Rownoleglobok i jego wlasnosci_atrapa_animacja_393
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja

Obliczanie pola prostokąta

Ważne!

RNjhNWgylOfMw1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole prostokąta o bokach długości $a$ oraz $b$ jest równe

P = ab

RRdQFmIq1Pklo1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

ROcmxNnRAIZkc1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 1

Oblicz pole prostokąta o przekątnej długości $61 cm$ i szerokości $1,1 dm$ .

R11XGb323RI8q1

Rysunek prostokąta o przekątnej 61 cm i szerokości 1,1 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisujemy szerokość prostokąta w centymetrach.

1,1 dm = 11 cm

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość $a$ prostokąta.

1 1^{2} + a^{2} = 6 1^{2}

121 + a^{2} = 3721

a^{2} = 3600, a > 0

a = 60

Obliczamy pole prostokąta.

P = 11 \cdot 60

P = 660 c m^{2}

Pole prostokąta jest równe $660 c m^{2}$ .

Przykład 2

Oblicz pole „parasolki”.
Zauważmy, że choć „parasolka” zbudowana jest z fragmentów koła, to jej pole można obliczyć mimo nieznajomości wzoru na pole koła.

RvTCED4GEz8CC1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

„Parasolka” i prostokąt o bokach długości $a$ i $\frac{a}{2}$ składają się z części odpowiednio do siebie przystających. O takich figurach mówimy, że są równoważne. Pola tych figur są równe.
Pole „parasolki” jest równe $P = \frac{1}{2} a^{2}$ .

izuhnkViQf_d5e183

Pole kwadratu

Kwadrat to prostokąt, którego boki są równe. Jego pole obliczamy więc podobnie jak pole prostokąta.

Ważne!

RIN9P97CedREq1

Rysunek kwadratu o boku długości a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o boku długości $a$ jest równe

P = a \cdot a = a^{2}

ROcmxNnRAIZkc1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

RKD0vsFKIBrFq1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 3

Pole kwadratu jest równe $49$ . Oblicz długość jego przekątnej.
Obliczamy najpierw długość $a$ boku kwadratu.

a^{2} = 49

a = 7

Długość $d$ przekątnej obliczamy, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu.

d = a \sqrt{2}

d = 7 \sqrt{2}

Długość przekątnej kwadratu jest równa $7 \sqrt{2}$ .
Pole kwadratu można obliczyć, znając długość jego przekątnej.

Ważne!

R11Xkl0FsrEt81

Rysunek kwadratu o długości d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu o przekątnej długości $d$ jest równe

P = \frac{1}{2} d^{2}

Ćwiczenie 1

Uzasadnij prawdziwość wzoru na pole kwadratu o przekątnej długości $d$ .

Przykład 4

Oblicz obwód i pole kwadratu, wiedząc, że jego przekątna jest o $1$ dłuższa od boku.

R1SM5c45OgwOv1

Rysunek kwadratu o boku długości a i przekątnej równej a +1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy: $a$ – długość boku kwadratu. Wtedy jego przekątna d ma długość $a + 1$ .
Korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

d = a \sqrt{2}

a \sqrt{2} = a + 1

a \sqrt{2} - a = 1

a (\sqrt{2} - 1) = 1

a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka, rozszerzając ułamek przez $\sqrt{2} + 1$ i wykonując wskazane działania.

a = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1}

a = \frac{\sqrt{2} + 1}{1}

a = \sqrt{2} + 1

Obliczamy obwód kwadratu.

L = 4 (\sqrt{2} + 1)

Obliczamy pole kwadratu.

P = {(\sqrt{2} + 1)}^{2}

P = (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 = 3 + 2 \sqrt{2}

Obwód kwadratu jest równy $4 (\sqrt{2} + 1)$ , a jego pole $3 + 2 \sqrt{2}$ .

izuhnkViQf_d5e321

Pole równoległoboku

Zapamiętaj!

R6BN31mrbpFsK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Rysunek przedstawia równoległobok $ABCD$ ( w różnym położeniu) o wysokości $h$ poprowadzonej do boku długości $a$ .
Przekształć równoległobok tak, aby otrzymać prostokąt.

przypadek $I$
RML2Il7GGGK4K1
Animacja przedstawia równoległobok A B C D o wysokości h opuszczonej na bok długości a. Drugi bok równoległoboku ma długość b. Wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego A do podstawy DC wyznacza trójkąt prostokątny A E D. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki A i D pokrywają się z wierzchołkami B i C równoległoboku. Powstał prostokąt A B E F o bokach długości a oraz h.
Animacja przedstawia równoległobok A B C D o wysokości h opuszczonej na bok długości a. Drugi bok równoległoboku ma długość b. Wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego A do podstawy DC wyznacza trójkąt prostokątny A E D. Trójkąt ten przesuwamy wzdłuż podstawy a tak, że wierzchołki A i D pokrywają się z wierzchołkami B i C równoległoboku. Powstał prostokąt A B E F o bokach długości a oraz h.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
przypadek $II$
Rp3X6KKLPuSJM1
Animacja przedstawia równoległobok A B C D. Poprowadzony pionowo odcinek z wierzchołka B podzielił równoległobok A B C D na trójkąt prostokątny i trapez. Przesuwamy trapez wzdłuż boku AB równoległoboku tak, że wierzchołek B trapezu pokrywa się z wierzchołkiem A równoległoboku. Powstał prostokąt o bokach równych wysokości i długości boku AB równoległoboku.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole równoległoboku? Zapisz wzór na pole równoległoboku.

izuhnkViQf_d5e381

Ważne!

Pole równoległoboku o podstawie długości $a$ i wysokości $h$ poprowadzonej do tej podstawy jest równe

P = a \cdot h

R18TtYs7bDYsY1

Rysunek równoległoboku o wysokości h poprowadzonej do boku a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Stosunek długości boków równoległoboku jest równy $3 : 5$ . Obwód równoległoboku jest równy $40$ . Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa $6$ . Oblicz długość drugiej wysokości równoległoboku.
Oznaczmy

$3 x$ (gdzie $x$ jest liczbą naturalną różną od $0$ ) – długość krótszego boku równoległoboku
$5 x$ (gdzie $x$ jest liczbą naturalną różną od $0$ )- długość dłuższego boku równoległoboku.

Obliczamy długości boków równoległoboku, korzystając z tego, że obwód równoległoboku jest równy $40$ .

R9U7aCBFn9zZW1

Rysunek równoległoboku o bokach 3x i 5x. Na bok 3x opuszczona jest wysokość h. Na bok 5x poprowadzona wysokość równa 6. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2 (3 x + 5 x) = 40 / : 2

8 x = 20

x = 2,5

3 x = 3 \cdot 2,5 = 7,5

5 x = 5 \cdot 2,5 = 12,5

Obliczamy pole równoległoboku.

P = 12,5 \cdot 6 = 75

Pole równoległoboku możemy też obliczyć jako iloczyn krótszego boku i wysokości poprowadzonej do tego boku.

7,5 \cdot h = 75

h = 10

Druga z wysokości równoległoboku jest równa $10$ .

izuhnkViQf_d5e459

Pole rombu

Już wiesz

R1IOJ6o5hEH5T1

Zapamiętaj!

R1ALKa6rbcFDi1

Przykład 7

Rysunek przedstawia romb o wysokości $h$ i boku długości $a$ .
Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

RKcIO0l2s2Kr21

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

Przykład 8

Rysunek przedstawia romb o przekątnych długości $p$ i $q$ . Przekształć romb tak, aby otrzymać prostokąt.

R1S4LvXtDQanX1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1EsaDoKb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Jakie jest pole otrzymanego prostokąta? Jakie jest pole rombu? Zapisz wzór na pole rombu.

izuhnkViQf_d5e514

Ważne!

Pole rombu o wysokości $h$ i boku długości $a$

RV8qoeXr2kCfK1

Rysunek rombu o bokach długości a i wysokości h. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P = a \cdot h

Ważne!

Pole rombu o przekątnych długości $p$ i $q$

Rk2ByXTAwPB4X1

Rysunek rombu o przekątnych p i q. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P = \frac{p \cdot q}{2}

Przykład 9

Obwód rombu jest równy $148$ , a jedna z przekątnych rombu ma długość $24$ . Oblicz pole rombu.
Obliczamy długość $a$ boku rombu.

4 a = 148

a = 37

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznaczmy $E$ – punkt przecięcia przekątnych rombu, $A, B, C, D$ – wierzchołki rombu. Otrzymujemy trójkąt prostokątny $AED$ , w którym jedna z przyprostokątnych ma długość $24 : 2 = 12$ , a przeciwprostokątna ma długość $37$ .
Obliczamy długość $p$ drugiej przyprostokątnej, czyli połowę długości drugiej przekątnej rombu.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

RmcwTiGQUjNAX1

Rysunek rombu A B C D o boku a. Połowy przekątnych rombu wyznaczają trójkąt prostokątny o przyprostokątnych p, 12 i przeciwprostokątnej a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

p^{2} + 1 2^{2} = 3 7^{2}

\begin{array}{l} p^{2} = 1369 - 144 \\ p^{2} = 1225 \end{array}

p = \sqrt{1225} = 35

Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

2 p = 2 \cdot 35 = 70

Znając długości przekątnych rombu, obliczamy jego pole.

P = \frac{24 \cdot 70}{2}

P = 840

Pole rombu jest równe $840$ .

Zadania

izuhnkViQf_d5e602

Ćwiczenie 2

Oblicz pola figur przedstawionych na rysunku.

RaE9n4JiGPOKl1

Rysunek trzech figur złożonych z kwadratów i jednej figury złożonej z trójkątów i kwadratów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmij, że długość kratki na rysunku jest równa

$1 cm$
$2 dm$
$0,5 m$

Rysunek przedstawia $4$ figury

$P_{A} = 4 c m^{2}, P_{B} = 5 c m^{2}, P_{C} = 3 c m^{2}, P_{D} = 9 c m^{2}$
$P_{A} = 16 d m^{2}, P_{B} = 20 d m^{2}, P_{C} = 12 d m^{2}, P_{D} = 36 d m^{2}$
$P_{A} = 1 m^{2}, P_{B} = 1,25 m^{2}, P_{C} = 0,75 m^{2}, P_{D} = 2,25 m^{2}$

Ćwiczenie 3

Boisko do gry w siatkówkę ma wymiary $18 m$ i $9 m$ . Boisko to przedstawiono na planie wykonanym w skali $1 : 30$ . Wynika z tego, że pole tak otrzymanego prostokąta jest równe ... $m^{2}$

Pole prostokąta jest równe $0,18 m^{2}$ .
Na planie boisko ma wymiary $0,6 m$ i $0,3 m$ , jego pole wynosi $0,18 m^{2}$ .

Ćwiczenie 4

Przekątne prostokąta mają długość $10 cm$ i przecinają się pod kątem $120 °$ . Pole prostokąta jest równe $\dots c m^{2}$ .

Przekątne dzielą prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ na cztery trójkąty. Dwa z nich to trójkąty równoboczne o bokach długości $5 cm$ . Szerokość prostokąta jest więc równa $5 cm$ . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość: $b = 5 \sqrt{3} cm$ . Pole prostokąta jest równe $25 \sqrt{3} c m^{2}$ .

Ćwiczenie 5

Stosunek długości boków prostokąta wynosi $3 : 4$ . Obwód prostokąta jest równy $28 cm$ . Oblicz pole prostokąta.

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków prostokąta, to z treści zadania mamy: $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ i $2 a + 2 b = 28,$ stąd $a = 6 cm$ i $b = 8 cm$ . Pole prostokąta wynosi $48 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Szerokość prostokąta stanowi $0,25$ jego długości. Pole prostokąta jest równe $6,25$ . Oblicz obwód prostokąta.

$a = \frac{1}{4} b$ , $6,25 = \frac{1}{4} b ∙ b$ , stąd $b = 5$ i $a = \frac{5}{4}$ , więc obwód $L = 2 a + 2 b = 12,5$ .

classicmobile

Ćwiczenie 7

Figura na rysunku zbudowana jest z jednakowych kwadratów. Pole tej figury jest równe $2,5$ .

RwdBUUU6WFnzq1

Rysunek figury zbudowanej z jednakowych kwadratów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwód figury jest więc równy

RnR1bkBOhb3HB

$3,5$
$7$
$14$
$7,5$

Figura składa się z $10$ kwadratów o polu $2,5 : 10 = 0,25$ . Bok kwadratu ma długość $0,5$ . Obwód figury wynosi $14 ∙ 0,5 = 7$

static

Ćwiczenie 7

Figura na rysunku zbudowana jest z jednakowych kwadratów. Pole tej figury jest równe $2,5$ .

RwdBUUU6WFnzq1

Obwód figury jest więc równy

RljRG2kFPzbVE

$3,5$
$7$
$14$
$7,5$

Figura składa się z $10$ kwadratów o polu $2,5 : 10 = 0,25$ . Bok kwadratu ma długość $0,5$ . Obwód figury wynosi $14 ∙ 0,5 = 7$

Ćwiczenie 8

Na środku kwadratowej podłogi w odległości $50 cm$ od każdej ze ścian leży kwadratowy dywan. Na planie wykonanym w skali $1 : 200$ dywan ma wymiary $2 cm$ i $2 cm$ . Jaki procent powierzchni podłogi zajmuje ten dywan?

Dywan ma rzeczywiste wymiary $4 m$ i $4 m$ , więc jego powierzchnia wynosi $16 m^{2}$ . Podłoga ma powierzchnię $25 m^{2}$ . Dywan stanowi $64 %$ powierzchni podłogi.

classicmobile

Ćwiczenie 9

Obwód kwadratu jest równy $6,4 dm$ . Pole tego kwadratu przedstawionego w skali $3 : 1$ jest równe

RhGSsvz7CWhWR

$2,56 {dm}^{2}$
$19,2 {dm}^{2}$
$7,68 {dm}^{2}$
$23,04 {dm}^{2}$

Bok kwadratu w rzeczywistości ma długość $1,6 dm$ , na planie ma długość $4,8$ .

static

Ćwiczenie 9

Obwód kwadratu jest równy $6,4 dm$ . Pole tego kwadratu przedstawionego w skali $3 : 1$ jest równe

RzmK0HsEL3wNr

$2,56 {dm}^{2}$
$19,2 {dm}^{2}$
$7,68 {dm}^{2}$
$23,04 {dm}^{2}$

Bok kwadratu w rzeczywistości ma długość $1,6 dm$ , na planie ma długość $4,8$ .

Ćwiczenie 10

Oblicz pole prostokąta $ABCD$ .

R1Gf5X4oUDd9r1

Rysunek prostokąta A B C D położonego w układzie współrzędnych. Wierzchołki prostokąta maja współrzędne: A =(-8, 2), B =(-6, 4), C =(-3, 1), D =(-5, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$12$

Ćwiczenie 11

Oblicz pole każdego z równoległoboków przedstawionych na rysunku. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.

RgSdNB2Gl0U7C1

Rysunek czterech równoległoboków A, B, C i D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

izuhnkViQf_d5e894

Ćwiczenie 12

Proste $k$ i $l$ są równoległe.

RJYH5Nn6Tsdc91

Rysunek prostych równoległych k i l. Pomiędzy nimi cztery równoległoboki A, B, C i D o jednakowych wysokościach. Wierzchołki równoległoboków leżą na prostych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Za jednostkę pola przyjmij pole jednej kratki. Uzupełnij zdania.

Równoległobok o największym polu to …
Pole największego z równoległoboków jest o … większe od pola najmniejszego z równoległoboków.
Pole równoległoboku … jest równe polu równoległoboku $B$ .

$D$
$15$
$C$

Ćwiczenie 13

Pole równoległoboku jest równe $24 c m^{2}$ .

Oblicz wysokość równoległoboku, wiedząc, że długość boku, do którego ta wysokość jest poprowadzona, wynosi $8 cm$ .
Wysokość poprowadzona do dłuższego boku jest równa $2 cm$ . Kąt ostry ma miarę $45 °$ . Oblicz drugą wysokość równoległoboku.
Wysokość równoległoboku jest sześć razy większa od długości boku, do którego została poprowadzona. Oblicz wysokość.

$3 cm$
z twierdzenia Pitagorasa krótszy bok ma długość $2 \sqrt{2} cm$ , druga wysokość ma długość $24 cm : 2 \sqrt{2} cm = 6 \sqrt{2}$
$h ∙ \frac{1}{6} h = 24$ stąd $h = 12 cm$ .

Ćwiczenie 14

Pole równoległoboku przedstawionego na rysunku jest równe $12$ . Oblicz obwód równoległoboku.

R1XYF5fZZaYe71

Rysunek dwóch równoległoboków. Pierwszy równoległobok ma bok długości dwa pierwiastki z dwóch i kąt o mierze 45 stopni przy lewym, dolnym wierzchołku. Drugi równoległobok ma wysokość równą 3 i kąt o mierze 30 stopni przy lewym, dolnym wierzchołku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy równoległobok $ABCD$ , wtedy $|AD| = 2 \sqrt{2}$ . Jeśli $h$ jest wysokością równoległoboku opuszczoną na bok $AB$ , to z twierdzenia Pitagorasa mamy
$2 h^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2}, h = 2 .$ Pole $P$ równoległoboku jest równe: $P = |AB| ∙ h$ , $P = 12$ , $h = 2$ , więc $| AB | = 6$ . Obwód $L$ równoległoboku jest równy $L = 4 \sqrt{2} + 12$ .
Jeśli $h = 3$ jest wysokością równoległoboku, opuszczoną na bok $AB$ , to $| AB | = 12 : 3 = 4$ oraz $| AD | = 2 ∙ 3 = 6$ , stąd $L = 8 + 12 = 20$ .

classicmobile

Ćwiczenie 15

Pole rombu jest równe $720$ . Jedna z przekątnych rombu ma długość $80$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

REb8Mzq16F5La

Obwód rombu wyraża się liczbą niewymierną.
Obwód rombu jest równy $164$ .
Druga przekątna rombu ma długość $20$ .

Jeśli $p_{1}$ oraz $p_{2}$ są długościami przekątnych rombu, to pole $P$ rombu jest: $P = \frac{1}{2} p_{1} ∙ p_{2}$ , stąd
$720 = \frac{1}{2} p_{1} ∙ 80$ , $p_{1} = 18$ . Przekątne przecinają się w połowie długości pod kątem prostym. Więc długość $a$ boku rombu jest równa $a = \sqrt{40^{2} + 9^{2}}$ = $\sqrt{1681} = 41$ . Obwód rombu wynosi $164$ .

static

Ćwiczenie 15

Pole rombu jest równe $720$ . Jedna z przekątnych rombu ma długość $80$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RqTEJzf8I3zqw

Obwód rombu wyraża się liczbą niewymierną.
Obwód rombu jest równy $164$ .
Druga przekątna rombu ma długość $20$ .

Ćwiczenie 16

Oblicz długość boku rombu, w którym

pole jest równe $840$ , a jedna z przekątnych ma długość $40$
pole jest równe $2184$ , a jedna z przekątnych ma długość $168$
pole jest równe $336$ , a jedna z przekątnych ma długość $14$

Jeśli $h_{1}$ oraz $h_{2}$ są długościami przekątnych rombu, to pole $P$ rombu jest równe $P = \frac{1}{2} h_{1} ∙ h_{2}$ .Przekątne przecinają się w połowie długości pod kątem prostym, więc długość $a$ boku rombu jest równa $a = \sqrt{({\frac{h_{1}}{2})}^{2} + ({\frac{h_{2}}{2})}^{2}}$ .

$a = 29$
$a = 85$
$a = 25$

Ćwiczenie 17

Rabatka ma kształt równoległoboku, takiego jak na rysunku.

Rz2BxWywE7iln1

Rysunek równoległoboku o bokach długości 4 cm i 10 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wydzielono część rabatki w kształcie rombu największego z możliwych i takiego, którego boki są równoległe do boków równoległoboku. Na części w kształcie rombu posadzono fiołki, a na pozostałej części bratki. Jaki procent rabatki obsadzono bratkami?

Oznaczmy przez $h$ wysokość równoległoboku, opuszczoną na bok o długości $10 m$ . Rabatka w kształcie rombu ma bok długości $4 m$ i jedną z wysokości również długości $h$ . Pole rombu wynosi $4 h$ , a pole równoległoboku $10 h$ ,stąd bratki stanowią $60 %$ powierzchni rabatki.

classicmobile

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rw4W4WBAHJJu5

Każdy romb jest równoległobokiem.
Jeśli dwa romby mają boki tej samej długości, to ich pola są równe.
Jeśli dwa romby mają przekątne tej samej długości, to ich pola i długości boków są równe.
Jeśli romb ma przekątne równej długości, to jest kwadratem.

static

classicmobile

Ćwiczenie 19

Każdy bok równoległoboku zwiększono o $10 %$ . O ile procent zwiększy się jego pole?

RboX7d2rqVeco

o $10 %$
powyżej $30 %$
poniżej $30 %$
poniżej $20 %$

Wysokości równoległoboku zwiększą się też o $10 %$ , więc pole zwiększy się o $21 % .$

static

Ćwiczenie 19

Każdy bok równoległoboku zwiększono o $10 %$ . O ile procent zwiększy się jego pole?

R1CpooBLN09Uh

o $10 %$
powyżej $30 %$
poniżej $30 %$
poniżej $20 %$

Wysokości równoległoboku zwiększą się też o $10 %$ , więc pole zwiększy się o $21 % .$

Ćwiczenie 20

Każdy bok prostokąta zwiększono $10 %$ . O ile procent zwiększy się jego pole?

Jeśli pole $P_{1}$ mniejszego prostokąta wynosi a $∙ b$ , to pole $P_{2}$ większego prostokąta wynosi

P_{2} = (a + 0,1 a) ∙ (b + 0,1 b) = 1,1 a ∙ 1,1 b = 1,21 a ∙ b = 1,21 P_{1} .

Pole zwiększy się o $21 %$ .

classicmobile

Ćwiczenie 21

Połączono środki boków prostokąta o wymiarach $4 cm$ na $8 cm$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RYHQflD1zPcfL

Otrzymana figura to romb.
Pole otrzymanej figury jest równe $16 c m^{2}$ .

Romb, którego przekątne mają długości równe długościom boków prostokąta.
Pole rombu wynosi $\frac{1}{2} ∙ 4 ∙ 8 c m^{2} = 16 c m^{2}$ .

static

Ćwiczenie 21

Połączono środki boków prostokąta o wymiarach $4 cm$ na $8 cm$ .
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1L8o1bUnFO0Z

Otrzymana figura to romb.
Pole otrzymanej figury jest równe $16 c m^{2}$ .

Romb, którego przekątne mają długości równe długościom boków prostokąta.
Pole rombu wynosi $\frac{1}{2} ∙ 4 ∙ 8 c m^{2} = 16 c m^{2}$ .

Pole trójkąta

Pole trapezu

Pole równoległoboku

Obliczanie pola prostokąta

Pole kwadratu

Pole równoległoboku

Pole rombu