iDzhuvOGZN_d5e82

Już wiesz

Trapez to czworokąt mający co najmniej jedną parę boków równoległych. Zatem trapezami są np. równoległoboki. Prostokąt to szczególny przykład trapezu prostokątnego, czyli takiego, w którym jest kąt prosty. Trapez równoramienny to trapez, w którym ramiona są równe i nierównoległe.
Wysokością w trapezie jest odległość między podstawami.

RHKXY8ew7SjxB1

Rysunek trapezu A B C D. Zapis: AB równoległe do CD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Znajdź obraz trapezu $ABCD$ w symetrii względem środka boku $BC$ .

R1eQ99NqLoW0J1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Ds3kOV1GQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Otrzymany trapez jest przystający do trapezu $ABCD$ .
Jeśli podstawy trapezu $ABCD$ mają długości $a$ oraz $b$ , natomiast odległość między nimi jest równa $h$ , to jakie jest pole otrzymanego równoległoboku?

Zapamiętaj!

Pole trapezu o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$ jest równe

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

R7pMNhNJcAXzz1

Rysunek trapezu o podstawach a i b i wysokości h. Zapis: P = ułamek, licznik (a +b) razy h mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WJ6x3rbAFdW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iDzhuvOGZN_d5e151

Obliczanie pola trapezu

Przykład 2

W trapezie równoramiennym $ABCD$ wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę $AB$ na odcinki: $AE$ długości $8 cm$ i $EB$ długości $25 c m$ . Ramię jest równe krótszej podstawie. Oblicz pole trapezu.

R15myAIW8PzBO1

Rysunek trapezu A B C D o wysokości h i górnej podstawie AB podzielonej wysokościami na trzy odcinki: AE =8 cm, EF =17 cm, FB =8 cm. Suma długości odcinków EF i FB jest równa długości odcinka EB =25 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez jest równoramienny, zatem $|FB| = |AE| = 8$ cm. Wynika z tego, że

|DC| = |FE| = 25 c m - 8 cm = 17 cm .

Długość ramienia $AD$ jest równa krótszej podstawie, czyli wynosi $17 cm$ .
Wysokość $h$ trapezu obliczamy z trójkąta prostokątnego $AED$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

h^{2} + {|AE|}^{2} = {|AD|}^{2}

h^{2} + 8^{2} = 1 7^{2}

h^{2} = 17^{2} - 8^{2}

h^{2} = 289 - 64

h^{2} = 225

h = \sqrt{225}

h = 15

Obliczamy pole trapezu.

P = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h

P = \frac{(8 + 25) + 17}{2} \cdot 15

P = 375 c m^{2}

Pole trapezu jest równe $375 c m^{2}$ .

Przykład 3

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ są równe $4$ i $10$ . Pole trapezu jest równe $56$ . Oblicz obwód trapezu.

R1BmO8fcCRepC1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D o wysokości CE =h. Wysokość CE poprowadzona z wierzchołka C kąta rozwartego podzieliła podstawę dolną na dwa odcinki AE =4 i EB =6. Ramię trapezu BC =x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość trapezu $h$ , korzystając ze wzoru na pole trapezu.

P = \frac{4 + 10}{2} \cdot h

56 = 7 h

h = 8

Trójkąt $CEB$ jest prostokątny. Obliczmy długość jego przeciwprostokątnej $x$ na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

h^{2} + 6^{2} = x^{2}

8^{2} + 36 = x^{2}

64 + 36 = x^{2}

x^{2} = 100

x = 10

Zauważmy, że długość ramienia $AD$ jest równa wysokości. Obliczamy obwód trapezu.

L = 8 + 10 + 10 + 4 = 32

Obwód trapezu jest równy $32$ .

Przykład 4

Piaskownica ma kształt sześciokąta o wymiarach (w $cm$ ) podanych na rysunku. Oblicz w $m^{2}$ pole powierzchni zajmowane przez piaskownicę.

R1XbG38ijdTDM1

Rysunek sześciokąta o bokach długości 150. Wymiary piaskownicy to 260 na 300. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że sześciokąt, w kształcie którego jest piaskownica, możemy podzielić na dwa przystające trapezy o podstawach długości $300 cm$ i $150 cm$ oraz wysokości $\frac{260}{2} cm$ . Pole powierzchni piaskownicy jest więc równe sumie pól tych trapezów.

P = 2 \cdot \frac{300 + 150}{2} \cdot \frac{260}{2}

P = 450 \cdot 130

P = 58500 c m^{2}

Zapisujemy pole powierzchni piaskownicy w $m^{2}$ , pamiętając, że $1 c m^{2} = 0,0001 m^{2}$ .

58500 c m^{2} = 5,85 m^{2}

Pole powierzchni piaskownicy jest równe $5,85 m^{2}$ .

Ćwiczenie 1

Oblicz pole każdej z figur, przyjmując za jednostkę pole jednej kratki. Uporządkuj otrzymane pola od największego do najmniejszego.

RKp4g928hi0tS1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P_{C} > P_{D} > P_{B} = P_{A}$

Ćwiczenie 2

Wykaż, że pola wielokątów $K,$ $M$ , $W$ są równe.

RsUcBbgswS4aL1

Rysunek trzech trapezów K, M, W położonych w układzie współrzędnych. Trapez K ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (-3, -1), (-5, -1),(-6, 2), (-7, 1). Trapez M ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (-1, -1), (1, -1), (3, 1), (2, 2). Trapez W ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (3, -3), (5, -3), (2, -6), (1, -5). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wysokość trapezu jest równa $10 cm$ . Oblicz pole trapezu, wiedząc, że

suma długości jego podstaw jest równa $7 dm$
jedna z podstaw trapezu jest trzykrotnie dłuższa od drugiej, a krótsza podstawa ma długość $9 cm$
jego przekątne są równe i przecinają się w połowie pod kątem prostym
kąt ostry ma miarę $45 °$ , a krótsza podstawa ma długość $25 mm$

$P = \frac{7 ∙ 1}{2} d m^{2} = 3,5 d m^{2}, bo 10 cm = 1 dm$
$P = \frac{(9 + 3 ∙ 9) ∙ 10}{2} c m^{2} = 180 c m^{2}$
trapez jest kwadratem o boku długości $10 cm, P = 100 c m^{2}$
$25 mm = 2,5 cm$ , dłuższa podstawa ma długość

(2,5 + 10) cm = 12,5 cm,

P = \frac{(2,5 + 12,5)}{2} ∙ 10 = 75 {cm}^{2}

iDzhuvOGZN_d5e378

Ćwiczenie 4

Oblicz pole każdego z trapezów: $B, M, W$ .

RoPelRbSr6hQa1

Rysunek trzech trapezów B, M, W. Trapez B ma podstawy długości 2 i 5 oraz wysokość 2. Trapez M ma podstawy długości 5 i 10 oraz wysokość 20. Trapez W ma podstawy 8 i 4 oraz wysokość 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P_{B} =$ $\frac{(2 + 5)}{2} \cdot 2 = 7$
$P_{M} = \frac{(10 + 5) ∙ 20}{2} = 150$
$P_{C} = \frac{(1 + 2) ∙ 1}{2} = \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 5

Oblicz pole trapezu, którego każdy z trzech boków jest równy $10 cm$ , a czwarty bok ma długość $26 cm$ .

Trapez jest równoramienny, jego wysokość ma $6 cm$ , a pole wynosi: $\frac{(26 + 10) ∙ 6}{2} c m^{2} = 108 c m^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Wysokość trapezu równoramiennego jest równa krótszej podstawie. Dłuższa podstawa jest trzykrotnie większa od krótszej. Pole trapezu jest równe $200$ . Oblicz jego obwód.

Niech $h$ oznacza wysokość trapezu. Z równania $200 = \frac{(h + 3 h) ∙ h}{2}$ otrzymujemy $h = 10$ . Podstawy mają długości $10$ oraz $30$ . Ramię trapezu ma długość $\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{2}$ , obwód wynosi

10 + 30 + 2 ∙ 10 \sqrt{2} = 40 + 20 \sqrt{2} .

Ćwiczenie 7

Pole trapezu jest równe $40$ . Oblicz

wysokość $h$ trapezu, wiedząc, że suma długości jego podstaw jest równa $80$
długość jednej z podstaw, jeżeli długość drugiej jest równa $8$ , a wysokość wynosi $0,5$

z równania $40 = \frac{80 ∙ h}{2}, h = 1$
Jeśli długość podstawy trapezu wynosi $a$ , to $40 = \frac{(a + 8) ∙ 0,5}{2}$ , stąd $a = 152$ .

Ćwiczenie 8

Ile arów powierzchni ma działka pani Bożeny?

R16IAWFxgoxUv1

Rysunek trapezu o podstawie górnej długości 80 cm i wysokości 50 m. Kąty 30 stopni i 45 stopni leżą przy dolnej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Działka ma kształt trapezu o wysokości $50 m$ oraz podstawach długości $80 m$ i $(80 + 50 + 50 \sqrt{3}) m$ , pole wynosi

(210 + 50 \sqrt{3}) ∙ 50 ∙ \frac{1}{2} m^{2} = (210 + 50 \sqrt{3}) ∙ 0,25 a .

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1TzEkU0dVaPm

Wysokość trapezu może być jego bokiem.
Dwa trapezy mające podstawy tej samej długości mają równe pola.
Dwa trapezy równoramienne mające wysokości oraz ramiona tej samej długości mają równe pola.
Trapezy przystające mają równe pola.

static

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że pole trapezu równoramiennego jest równe polu pewnego prostokąta.

Ćwiczenie 11

Dokończ zdania.

Jeśli trapez ma podstawy równej długości, to jest …
Jeśli dokładnie trzy boki trapezu są równe, to trapez jest …

iDzhuvOGZN_d5e610

classicmobile

Ćwiczenie 12

Pole trapezu przedstawionego na rysunku wynosi

R1ONNyPXElQ1c1

Rysunek trapezu prostokątnego o górnej podstawie długości 6 cm, wysokości 2 cm i kącie 45 stopni leżącym przy dolnej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13DbTCDGTZZf

$12 cm ²$
$14 cm ²$
$30 cm ²$
$26 cm ²$

Pole trapezu jest sumą pola prostokąta o wymiarach $2 cm x 6 cm$ oraz pola trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $2 cm$ .

Ćwiczenie 13

Wykaż, że pole trapezu $ABCD$ jest równe polu trójkąta $ADF$ .

R16PV4ttExnJH1

Rysunek trapezu A B C D. Na prostej AB, zawierającej dolną podstawę trapezu, za wierzchołkiem B leży punkt F. Punkt E wyznacza środek ramienia BC trapezu i dzieli go na dwa odcinki CE =EB =2 cm. Odcinek DF przechodzący przez punkt E wyznacza trójkąt A D F oraz trójkąty D E C oraz E B F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskazówka: trójkąty $BFE$ oraz $DEC$ są przystające.

classicmobile

Ćwiczenie 14

Pole pewnego czworokąta to iloczyn długości sąsiednich boków. Czworokątem tym może być

R5AjplSIRTH3k

trapez
kwadrat
równoległobok

static

Ćwiczenie 15

Obraz ma wymiary $2,2 m$ i $2,2 m$ . Drzwi mają wymiary $1 m$ i $2 m$ . Czy obraz można przenieść przez drzwi?

Wskazówka : przekątna prostokąta, w kształcie którego są drzwi, ma długość $\sqrt{5} m > 2,2 m$ .
Tak.

Ćwiczenie 16

Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym ramię ma długość $10$ , a krótsza podstawa $8$ . Wysokość trapezu jest równa długości krótszej podstawy.

Dłuższa podstawa ma długość: $2 \sqrt{10^{2} - 8^{2}} + 8 = 20$ . Pole trapezu jest równe $\frac{(8 + 20) ∙ 8}{2} = 112 .$

Ćwiczenie 17

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się pod kątem $120 °$ i dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy. Dłuższa podstawa ma długość $12$ . Oblicz pole trapezu.

Niech trapez $ABCD$ będzie rozpatrywanym trapezem o podstawach $AB$ oraz $CD$ . Trójkąt $ABC$ jest prostokątny o kątach $60 °$ i $30 °$ , stąd ramię $AC$ ma długość $6 \sqrt{3}$ . Trójkąt $ADC$ jest równoramienny, więc krótsza podstawa $CD$ trapezu ma długość $6$ . Wysokość trapezu jest równa $\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ , pole trapezu wynosi $27 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 18

Pole trapezu jest równe $8$ . Oblicz wysokość tego trapezu, jeśli wiadomo, że jest ona równa sumie długości podstaw trapezu.

Jeśli $h$ oznacza wysokość trapezu, to $8 = \frac{h ∙ h}{2}$ , $h = 4 .$

Pole równoległoboku

Pole wielokąta

Pole trapezu

Obliczanie pola trapezu