R1cP7ibpHV4RF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty wypukłe i wklęsłe

Wielokąt wklęsły

Twierdzenie: Wielokąt wklęsły

Wielokąt jest wklęsły, jeżeli co najmniej jeden z jego kątów ma miarę większą od $180 °$ . Wielokąt, który nie jest wklęsły, to wielokąt wypukły.

Przykład 1

Rysunek $A$ przedstawia kilka wielokątów wypukłych, a rysunek $B$ kilka wielokątów wklęsłych. Co zauważasz?

RYdneUCReKqPn1

Rysunek ośmiu wielokątów. W każdym z czterech wielokątów na rysunku A leży odcinek, który cały zawiera się w wielokącie. W każdym z czterech wielokątów na rysunku B leży odcinek, którego końce leżą w wielokącie, a część odcinka nie zawiera się cała w wielokącie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąt wypukły

Definicja: Wielokąt wypukły

Jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty w wielokącie jest całkowicie w nim zawarty, to taki wielokąt nazywamy wypukłym.

Trapezoid to czworokąt, w którym nie ma żadnej pary boków równoległych. Czworokąty wypukłe to trapezy albo trapezoidy.

Obliczanie pól wielokątów

Wiemy już, że każdy wielokąt, zarówno wypukły, jak i wklęsły, można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. Pole wielokąta jest równe sumie pól trójkątów. Jednak nie zawsze łatwe jest wyznaczenie tych pól. W praktyce dzielimy więc wielokąt na takie figury, których pola łatwo wyznaczyć, przy tym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.

RV3FNC94iA73J1

Rysunek trzech wielokątów. Na pierwszym rysunku wielokąt A B C D E F. Na drugim rysunku wielokąt A B C D E F podzielony na cztery trójkąty. Na trzecim rysunku wielokąt A B C D E F podzielony na trapez i prostokąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Jak obliczyć pole wielokąta $ABCDEFG$ , gdzie $A = (- 2, - 3), B = (2, - 4), C = (8,2), D = (7,3), E = (6,3), F = (5,2), G = (3,2)$ ?

R3dx4Xv3heu0a1

Rysunek dwóch wielokątów położonych w układzie współrzędnych. Pierwszy rysunek to wielokąt A B C D E F G o współrzędnych A=(?2, ?3), B=(2, ?4), C=(8, 2), D=(7, 3), E=(6, 3), F=(5, 2), G=(3, 2). Drugi rysunek to ten sam wielokąt podzielony na cztery figury: trapez, trójkąt rozwartokątny i dwa jednakowe trójkąty prostokątne. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznaczamy wielokąt $ABCDEFG$ w układzie współrzędnych. Dzielimy go na trapez oraz trójkąty i obliczamy pola tych figur.

i4C5kfKsTw_d5e180

Pole sześciokąta foremnego

Twierdzenie: Pole sześciokąta foremnego

Pole sześciokąta foremnego o boku długości $a$ jest równe

P = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}

Dowód

Sześciokąt foremny, którego bok ma długość $a$ , można podzielić na $6$ przystających trójkątów równobocznych. Długość boku takiego trójkąta jest równa $a$ , zatem jego pole to $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ .
Pole sześciokąta foremnego jest sześciokrotnie większe od pola trójkąta, zatem

P = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} .

RcFogTrqUUaXi1

Rysunek sześciokąta foremnego o boku a podzielonego na sześć trójkątów równobocznych o boku a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Oblicz obwód sześciokąta foremnego o polu $24 \sqrt{3} d m^{2}$ .
Obliczamy długość boku $a$ sześciokąta.

\frac{3}{2} \sqrt{3} a^{2} = 24 \sqrt{3} / : \frac{3}{2} \sqrt{3}

a^{2} = \frac{48}{3}

a^{2} = 16

a = 4,

bo $a > 0$ .
Obliczamy obwód sześciokąta.

L = 6 a = 6 \cdot 4

L = 24 dm

Obwód sześciokąta jest równy $24 dm$ .

Przykład 4

Obliczymy długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego $ABCDEF$ o boku długości $a$ .

R12R1Op3IfN8o1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3rUikMMH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Sześciokąt $ABCDEF$ można podzielić na trzy przystające sześciokąty foremne.
Obliczymy długość $b$ boku każdego z mniejszych sześciokątów.

3 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} b^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} / : \frac{3 \sqrt{3}}{2}

3 b^{2} = a^{2}

b^{2} = \frac{a^{2}}{3}

b = \sqrt{\frac{a^{2}}{3}}

b = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3},

bo $a > 0$ i $b > 0$
Krótsza przekątna sześciokąta $AE$ jest $3$ razy dłuższa od $b$ .

RwpozCeANzJuR1

Rysunek sześciokąta foremnego A B C D E F podzielonego przekątnymi na mniejszy sześciokąt foremny, sześć jednakowych trójkątów równobocznych i sześć jednakowych trójkątów rozwartokątnych. Zaznaczone trzy boki trójkątów równobocznych o długości b, które są równe krótszej przekątnej sześciokąta A B C D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|AE| = 3 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3} = a \sqrt{3}

Krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku długości $a$ jest równa $a \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 1

Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości $a$ . Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.

$a \sqrt{3}$

i4C5kfKsTw_d5e316

Pole deltoidu

Deltoid jest czworokątem, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest zawarta w osi symetrii deltoidu.

Przykład 5

Wykażemy, że pole deltoidu można obliczyć podobnie jak pole rombu.
Rozważmy deltoid o przekątnych długości $p$ i $q$ .

R1AlckYrui8Lf1

Rysunek deltoidu i prostokąta. Deltoid ma przekątne długości p i q. Przekątne podzieliły deltoid na dwie pary jednakowych trójkątów. Prostokąt zbudowany jest z trójkątów deltoidu i ma boki długości q i jedna druga razy p. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że deltoid można przekształcić w prostokąt o bokach długości $\frac{p}{2}$ i $q$ . Pole tego prostokąta, jak również pole deltoidu, jest równe $q \cdot \frac{p}{2}$ .

Ważne!

Pole deltoidu o przekątnych długości $p$ i $q$ jest równe

P = \frac{p \cdot q}{2}

R15vwtodRRSuj1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3rUikMMH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

R1ApCpIdvPBkQ1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3rUikMMH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 2

Oblicz pole deltoidu o przekątnych długości $0,4 m$ i $5 m$ .

$1 m^{2}$

Przykład 6

Krótsza przekątna dzieli deltoid na trójkąt równoboczny o polu $25 \sqrt{3}$ i trójkąt równoramienny o boku długości $13$ . Oblicz pole deltoidu.

R1kxjVT2nTgxo1

Rysunek deltoidu A B C D o krótszej przekątnej AC =a. Bok deltoidu, czyli ramię trójkąta równoramiennego CD =13. Wysokość trójkąta równoramiennego A C D jest DE =8. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy wierzchołki deltoidu $A, B, C, D$ . Trójkąt $ABC$ jest równoboczny i jego pole jest równe $25 \sqrt{3}$ .
Obliczamy długość boku tego trójkąta.

\frac{\sqrt{3}}{4} {|AC|}^{2} = 25 \sqrt{3}

{|AC|}^{2} = 100

|AC| = 10

Stąd

|EC| = \frac{|AC|}{2} = \frac{10}{2} = 5

Z trójkąta prostokątnego $DEC$ , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość boku $DE$ .

{|DE|}^{2} + {|EC|}^{2} = {|DC|}^{2}

{|DE|}^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}

{|DE|}^{2} = 169 - 25

{|DE|}^{2} = 144

|DE| = 12

Obliczamy pole deltoidu jako sumę pól trójkątów $ABC$ i $ACD$ .

P = P_{ABC} + P_{ACD}

P = 25 \sqrt{3} + \frac{1}{2} |AC| \cdot |DE|

P = 25 \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12

P = 25 \sqrt{3} + 60

Pole deltoidu jest równe $25 \sqrt{3} + 60$ .

i4C5kfKsTw_d5e437

Twierdzenie Picka

Matematyk Aleksander George Pick $(1859 - 1943)$ , pracujący na uniwersytetach w Wiedniu, Pradze i Dreźnie, odkrył metodę, która pozwala na obliczenie pola wielokąta bez wykorzystania znanych nam wzorów i bez podziału wielokąta na trójkąty (lub inne wielokąty).
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych, które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.

R78wfJJm6sTjR1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3rUikMMH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – czerwonym.

Ćwiczenie 3

Zmieniaj położenie wierzchołków wielokąta. Obliczaj w każdym przypadku pole wielokąta i porównuj otrzymany przez ciebie wynik z wynikiem zapisanym na ekranie.

Ćwiczenie 4

Wyznacz pole wielokąta, korzystając ze wzoru Picka.

R1169qfpZD2Sr1

Rysunek wielokąta położonego na kratownicy, w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych. Zaznaczone różnymi kolorami punkty kratowe leżące na brzegu i wewnątrz wielokąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $W = 8, B = 11$ , to pole wielokąta wynosi $P = W + \frac{B}{2} - 1 = 12,5 .$

Ćwiczenie 5

Bronek nie dokończył rysunku wielokąta $W$ . Dokończ rysunek, wiedząc, że pole wielokąta jest równe $22,5$ , a każdy z brakujących wierzchołków leży w jednym z punktów zaznaczonych na rysunku.

R10fNiw7HiZmU1

Rysunek niedokończonego wielokąta położonego na kratownicy, w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych. Zaznaczone różnymi kolorami punkty kratowe leżące na brzegu i wewnątrz wielokąta. Pole wielokąta wynosi 22,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Dokończ zdanie.
Jeśli wielokąt ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty równe, to jest to wielokąt $\dots$ .

classicmobile

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1VB9TlhH9XAc

Pięciokąt foremny może mieć pole równe polu sześciokąta foremnego.
Z każdych czterech odcinków można zbudować czworokąt.
Wielokąt wklęsły nie ma przekątnych.
Istnieje wielokąt, który nie ma przekątnych.

static

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Zp7XkvlALAh

Niektóre deltoidy są kwadratami.
Każdy prostokąt jest trapezem.
Każdy bok wielokąta musi mieć długość mniejszą niż suma długości boków pozostałych.
Jeżeli czworokąt jest wypukły, to obie jego przekątne leżą wewnątrz tego czworokąta.
Jeżeli czworokąt jest wklęsły, to jedna jego przekątna leży wewnątrz tego czworokąta, a druga leży poza czworokątem.
Czworokąt foremny jest kwadratem.

static

Ćwiczenie 9

Udowodnij, że jeśli przekątne czworokąta są prostopadłe, to niezależnie od jego kształtu pole czworokąta jest równe połowie iloczynu długości przekątnych.

i4C5kfKsTw_d5e740

Ćwiczenie 10

Uporządkuj rosnąco liczby $P_{1,}$ $P_{2}$ , $P_{3}$ , gdzie $P_{1}$ jest polem sześciokąta, którego bok ma długość $0,5$ . $P_{2}$ jest polem rombu, którego przekątna ma długość $1$ , a bok ma długość $2$ . Natomiast $P_{3}$ jest polem deltoidu o przekątnych długości $\sqrt{3}$ .

$P_{1} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} ∙ ({\frac{1}{2})}^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$
$P_{2} = \frac{f ∙ g}{2}$
$f, g$ są długościami przekątnych rombu

f = 1

g = 2 \sqrt{2^{2} - ({\frac{1}{2})}^{2}} = 2 \frac{\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}

P_{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}, P_{3} = \frac{3}{2}

P_{1} < P_{3} < P_{2}

Ćwiczenie 11

Oszacuj, ile $m^{2}$ szkła potrzeba na wykonanie dwóch witraży, z których jeden ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości $0,5 m$ , a drugi deltoidu o przekątnych długości $2 \sqrt{3}$ .

Powierzchnia witraży wynosi $\frac{({0,5)}^{2}}{2} ∙ 3 \sqrt{3} + \frac{1}{2} ∙ (2 \sqrt{3})$ Indeks górny 2 $\approx 6,65 m^{2}$ . Potrzeba około $7 m^{2}$ szkła.

Ćwiczenie 12

Odcinki długości $6 cm$ oraz $8 cm$ są przekątnymi deltoidu. Ile takich deltoidów możesz narysować?

Ćwiczenie 13

Odcinki długości $6 cm$ oraz $8 cm$ są przekątnymi rombu. Ile takich rombów możesz narysować?

Ćwiczenie 14

Wielokąt foremny o $4$ bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?
Wielokąt foremny o $5$ bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?

Ćwiczenie 15

Wielokąt foremny o $n$ bokach podzielono na trójkąty, przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka.

Ile jest tych trójkątów?
Ile wynosi suma miar wszystkich kątów tych trójkątów?
Ile wynosi miara kąta w tym wielokącie?

$n - 2$
$180 ° (n - 2)$
$\frac{180 ° (n - 2)}{n}$

Ćwiczenie 16

Punkt $O$ jest punktem wewnętrznym ośmiokąta foremnego. Leży on w odległości $10$ od każdego z wierzchołków. Oblicz pole ośmiokąta.

Łącząc punkt $O$ z wierzchołkami ośmiokąta, otrzymamy osiem trójkątów równoramiennych. Ramiona trójkątów mają długość $10$ , a kąt między ramionami ma miarę $45 °$ . Wysokość opuszczona na ramię trójkąta ma długość $5 \sqrt{2}$ . Pole ośmiokąta wynosi $8 ∙ \frac{10 ∙ 5 \sqrt{2}}{2} = 200 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 17

Każdy z boków trójkąta równobocznego podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano sześciokąt foremny. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli bok trójkąta ma długość $a$ .

Długość boku sześciokąta jest równa $\frac{a}{3}$ , a jego pole wynosi

\frac{({\frac{a}{3})}^{2} ∙ 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6} .

Ćwiczenie 18

Bok kwadratu ma długość $a$ . Każdy z boków tego kwadratu podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano ośmiokąt. Oblicz pole tego ośmiokąta.

$P = a^{2} - 2 ∙ {(\frac{a}{3})}^{2} = a^{2} - \frac{2 a^{2}}{9} = \frac{7 a^{2}}{9}$

Pole trapezu

Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Pole wielokąta

Wielokąty wypukłe i wklęsłe

Obliczanie pól wielokątów

Pole sześciokąta foremnego

Pole deltoidu

Twierdzenie Picka