Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Wielokąty wypukłe i wklęsłe
Wielokąt wklęsły
Twierdzenie: Wielokąt wklęsły
Wielokąt jest wklęsły, jeżeli co najmniej jeden z jego kątów ma miarę większą od . Wielokąt, który nie jest wklęsły, to wielokąt wypukły.
Przykład 1
Rysunek przedstawia kilka wielokątów wypukłych, a rysunek kilka wielokątów wklęsłych. Co zauważasz?
RYdneUCReKqPn1
Rysunek ośmiu wielokątów. W każdym z czterech wielokątów na rysunku A leży odcinek, który cały zawiera się w wielokącie. W każdym z czterech wielokątów na rysunku B leży odcinek, którego końce leżą w wielokącie, a część odcinka nie zawiera się cała w wielokącie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Wielokąt wypukły
Definicja: Wielokąt wypukły
Jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty w wielokącie jest całkowicie w nim zawarty, to taki wielokąt nazywamy wypukłym.
Trapezoid to czworokąt, w którym nie ma żadnej pary boków równoległych. Czworokąty wypukłe to trapezy albo trapezoidy.
Obliczanie pól wielokątów
Wiemy już, że każdy wielokąt, zarówno wypukły, jak i wklęsły, można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. Pole wielokąta jest równe sumie pól trójkątów. Jednak nie zawsze łatwe jest wyznaczenie tych pól. W praktyce dzielimy więc wielokąt na takie figury, których pola łatwo wyznaczyć, przy tym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.
RV3FNC94iA73J1
Rysunek trzech wielokątów. Na pierwszym rysunku wielokąt A B C D E F. Na drugim rysunku wielokąt A B C D E F podzielony na cztery trójkąty. Na trzecim rysunku wielokąt A B C D E F podzielony na trapez i prostokąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2
Jak obliczyć pole wielokąta , gdzie ?
R3dx4Xv3heu0a1
Rysunek dwóch wielokątów położonych w układzie współrzędnych. Pierwszy rysunek to wielokąt A B C D E F G o współrzędnych A=(?2, ?3), B=(2, ?4), C=(8, 2), D=(7, 3), E=(6, 3), F=(5, 2), G=(3, 2). Drugi rysunek to ten sam wielokąt podzielony na cztery figury: trapez, trójkąt rozwartokątny i dwa jednakowe trójkąty prostokątne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zaznaczamy wielokąt w układzie współrzędnych. Dzielimy go na trapez oraz trójkąty i obliczamy pola tych figur.
i4C5kfKsTw_d5e180
Pole sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego
Twierdzenie: Pole sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego o boku długości jest równe
Dowód
Sześciokąt foremny, którego bok ma długość , można podzielić na przystających trójkątów równobocznych. Długość boku takiego trójkąta jest równa , zatem jego pole to . Pole sześciokąta foremnego jest sześciokrotnie większe od pola trójkąta, zatem
RcFogTrqUUaXi1
Rysunek sześciokąta foremnego o boku a podzielonego na sześć trójkątów równobocznych o boku a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3
Oblicz obwód sześciokąta foremnego o polu . Obliczamy długość boku sześciokąta.
bo . Obliczamy obwód sześciokąta.
Obwód sześciokąta jest równy .
Przykład 4
Obliczymy długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości .
R12R1Op3IfN8o1
Animacja przedstawia trzy sześciokąty foremne, jeden duży i jednakowe dwa mniejsze. Duży sześciokąt podzielony przekątnymi na mniejszy sześciokąt foremny, sześć jednakowych trójkątów równobocznych i sześć jednakowych trójkątów rozwartokątnych. Przesuwając elementy dużego sześciokąta otrzymamy trzy jednakowe małe sześciokąty.
Animacja przedstawia trzy sześciokąty foremne, jeden duży i jednakowe dwa mniejsze. Duży sześciokąt podzielony przekątnymi na mniejszy sześciokąt foremny, sześć jednakowych trójkątów równobocznych i sześć jednakowych trójkątów rozwartokątnych. Przesuwając elementy dużego sześciokąta otrzymamy trzy jednakowe małe sześciokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Sześciokąt można podzielić na trzy przystające sześciokąty foremne. Obliczymy długość boku każdego z mniejszych sześciokątów.
bo i Krótsza przekątna sześciokąta jest razy dłuższa od .
RwpozCeANzJuR1
Rysunek sześciokąta foremnego A B C D E F podzielonego przekątnymi na mniejszy sześciokąt foremny, sześć jednakowych trójkątów równobocznych i sześć jednakowych trójkątów rozwartokątnych. Zaznaczone trzy boki trójkątów równobocznych o długości b, które są równe krótszej przekątnej sześciokąta A B C D E F.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku długości jest równa .
A
Ćwiczenie 1
Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości . Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.
i4C5kfKsTw_d5e316
Pole deltoidu
Deltoid jest czworokątem, którego przekątne są prostopadłe i jedna z nich jest zawarta w osi symetrii deltoidu.
Przykład 5
Wykażemy, że pole deltoidu można obliczyć podobnie jak pole rombu. Rozważmy deltoid o przekątnych długości i .
R1AlckYrui8Lf1
Rysunek deltoidu i prostokąta. Deltoid ma przekątne długości p i q. Przekątne podzieliły deltoid na dwie pary jednakowych trójkątów. Prostokąt zbudowany jest z trójkątów deltoidu i ma boki długości q i jedna druga razy p.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zauważmy, że deltoid można przekształcić w prostokąt o bokach długości i . Pole tego prostokąta, jak również pole deltoidu, jest równe .
Ważne!
Pole deltoidu o przekątnych długości i jest równe
R15vwtodRRSuj1
Animacja przedstawia deltoid A B C D, o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa, przecinających się w punkcie O. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osią symetrii. Należy poruszając wierzchołkami A, B, C zmienić kształt i wielkość deltoidu. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Dwa różne trójkąty prostokątne odbijamy w symetrii względem prostej BD, a dwa pozostałe trójkąty dosuwamy do tych odbitych w symetrii. W ten sposób deltoid przekształcił się w prostokąt, którego pole jest takie samo jak pole deltoidu. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Animacja przedstawia deltoid A B C D, o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa, przecinających się w punkcie O. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osią symetrii. Należy poruszając wierzchołkami A, B, C zmienić kształt i wielkość deltoidu. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Dwa różne trójkąty prostokątne odbijamy w symetrii względem prostej BD, a dwa pozostałe trójkąty dosuwamy do tych odbitych w symetrii. W ten sposób deltoid przekształcił się w prostokąt, którego pole jest takie samo jak pole deltoidu. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1ApCpIdvPBkQ1
Animacja przedstawia deltoid A B C D o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osia symetrii. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Należy obrócić każdy z trójkątów, na które podzielony jest deltoid wokół środka ich najdłuższego boku o 180 stopni. Po przekształceniu powstał prostokąt K L M N, którego wierzchołki są wierzchołkami trójkątów prostokątnych, na które przekątne dzielą deltoid. Pole deltoidu jest równe połowie pola prostokąta K L M N. Długość prostokąta to długość przekątnej d z indeksem dolnym jeden, szerokość prostokąta to przekątna d z indeksem dolnym dwa. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Animacja przedstawia deltoid A B C D o przekątnych AC = d z indeksem dolnym jeden i BD =d z indeksem dolny dwa. Deltoid to czworokąt, w którym jedna z przekątnych jest jego osia symetrii. Przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą deltoid na dwie pary trójkątów prostokątnych. W kolejnych krokach wyznaczymy pole deltoidu. Należy obrócić każdy z trójkątów, na które podzielony jest deltoid wokół środka ich najdłuższego boku o 180 stopni. Po przekształceniu powstał prostokąt K L M N, którego wierzchołki są wierzchołkami trójkątów prostokątnych, na które przekątne dzielą deltoid. Pole deltoidu jest równe połowie pola prostokąta K L M N. Długość prostokąta to długość przekątnej d z indeksem dolnym jeden, szerokość prostokąta to przekątna d z indeksem dolnym dwa. Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 2
Oblicz pole deltoidu o przekątnych długości i .
Przykład 6
Krótsza przekątna dzieli deltoid na trójkąt równoboczny o polu i trójkąt równoramienny o boku długości . Oblicz pole deltoidu.
R1kxjVT2nTgxo1
Rysunek deltoidu A B C D o krótszej przekątnej AC =a. Bok deltoidu, czyli ramię trójkąta równoramiennego CD =13. Wysokość trójkąta równoramiennego A C D jest DE =8.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Oznaczmy wierzchołki deltoidu . Trójkąt jest równoboczny i jego pole jest równe . Obliczamy długość boku tego trójkąta.
Stąd
Z trójkąta prostokątnego , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość boku .
Obliczamy pole deltoidu jako sumę pól trójkątów i .
Pole deltoidu jest równe .
i4C5kfKsTw_d5e437
Twierdzenie Picka
Matematyk Aleksander George Pick , pracujący na uniwersytetach w Wiedniu, Pradze i Dreźnie, odkrył metodę, która pozwala na obliczenie pola wielokąta bez wykorzystania znanych nam wzorów i bez podziału wielokąta na trójkąty (lub inne wielokąty). Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych, które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – czerwonym.
A
Ćwiczenie 3
Zmieniaj położenie wierzchołków wielokąta. Obliczaj w każdym przypadku pole wielokąta i porównuj otrzymany przez ciebie wynik z wynikiem zapisanym na ekranie.
C
Ćwiczenie 4
Wyznacz pole wielokąta, korzystając ze wzoru Picka.
R1169qfpZD2Sr1
Rysunek wielokąta położonego na kratownicy, w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych. Zaznaczone różnymi kolorami punkty kratowe leżące na brzegu i wewnątrz wielokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ponieważ , to pole wielokąta wynosi
C
Ćwiczenie 5
Bronek nie dokończył rysunku wielokąta . Dokończ rysunek, wiedząc, że pole wielokąta jest równe , a każdy z brakujących wierzchołków leży w jednym z punktów zaznaczonych na rysunku.
R10fNiw7HiZmU1
Rysunek niedokończonego wielokąta położonego na kratownicy, w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych. Zaznaczone różnymi kolorami punkty kratowe leżące na brzegu i wewnątrz wielokąta. Pole wielokąta wynosi 22,5.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6
Dokończ zdanie. Jeśli wielokąt ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty równe, to jest to wielokąt .
foremny
classicmobile
Ćwiczenie 7
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R1VB9TlhH9XAc
Pięciokąt foremny może mieć pole równe polu sześciokąta foremnego.
Z każdych czterech odcinków można zbudować czworokąt.
Wielokąt wklęsły nie ma przekątnych.
Istnieje wielokąt, który nie ma przekątnych.
static
Ćwiczenie 7
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Re21FuyfOVchb
Pięciokąt foremny może mieć pole równe polu sześciokąta foremnego.
Z każdych czterech odcinków można zbudować czworokąt.
Wielokąt wklęsły nie ma przekątnych.
Istnieje wielokąt, który nie ma przekątnych.
classicmobile
Ćwiczenie 8
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R1Zp7XkvlALAh
Niektóre deltoidy są kwadratami.
Każdy prostokąt jest trapezem.
Każdy bok wielokąta musi mieć długość mniejszą niż suma długości boków pozostałych.
Jeżeli czworokąt jest wypukły, to obie jego przekątne leżą wewnątrz tego czworokąta.
Jeżeli czworokąt jest wklęsły, to jedna jego przekątna leży wewnątrz tego czworokąta, a druga leży poza czworokątem.
Czworokąt foremny jest kwadratem.
static
Ćwiczenie 8
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R6NDT9k7d8MEp
Niektóre deltoidy są kwadratami.
Każdy prostokąt jest trapezem.
Każdy bok wielokąta musi mieć długość mniejszą niż suma długości boków pozostałych.
Jeżeli czworokąt jest wypukły, to obie jego przekątne leżą wewnątrz tego czworokąta.
Jeżeli czworokąt jest wklęsły, to jedna jego przekątna leży wewnątrz tego czworokąta, a druga leży poza czworokątem.
Czworokąt foremny jest kwadratem.
C
Ćwiczenie 9
Udowodnij, że jeśli przekątne czworokąta są prostopadłe, to niezależnie od jego kształtu pole czworokąta jest równe połowie iloczynu długości przekątnych.
Pole czworokąta jest sumą pól tych trójkątów.
Wskazówka: przekątne czworokąta dzielą go na cztery trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątne są bokami czworokąta, a przyprostokątne są odcinkami przekątnych.
i4C5kfKsTw_d5e740
A
Ćwiczenie 10
Uporządkuj rosnąco liczby , , gdzie jest polem sześciokąta, którego bok ma długość . jest polem rombu, którego przekątna ma długość , a bok ma długość . Natomiast jest polem deltoidu o przekątnych długości .
są długościami przekątnych rombu
B
Ćwiczenie 11
Oszacuj, ile szkła potrzeba na wykonanie dwóch witraży, z których jeden ma kształt sześciokąta foremnego o boku długości , a drugi deltoidu o przekątnych długości .
Powierzchnia witraży wynosi Indeks górny 22. Potrzeba około szkła.
B
Ćwiczenie 12
Odcinki długości oraz są przekątnymi deltoidu. Ile takich deltoidów możesz narysować?
nieskończenie wiele
B
Ćwiczenie 13
Odcinki długości oraz są przekątnymi rombu. Ile takich rombów możesz narysować?
jeden
B
Ćwiczenie 14
Wielokąt foremny o bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?
Wielokąt foremny o bokach podzielono na trójkąty przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka. Ile jest tych trójkątów?
C
Ćwiczenie 15
Wielokąt foremny o bokach podzielono na trójkąty, przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka.
Ile jest tych trójkątów?
Ile wynosi suma miar wszystkich kątów tych trójkątów?
Ile wynosi miara kąta w tym wielokącie?
C
Ćwiczenie 16
Punkt jest punktem wewnętrznym ośmiokąta foremnego. Leży on w odległości od każdego z wierzchołków. Oblicz pole ośmiokąta.
Łącząc punkt z wierzchołkami ośmiokąta, otrzymamy osiem trójkątów równoramiennych. Ramiona trójkątów mają długość , a kąt między ramionami ma miarę . Wysokość opuszczona na ramię trójkąta ma długość . Pole ośmiokąta wynosi .
C
Ćwiczenie 17
Każdy z boków trójkąta równobocznego podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano sześciokąt foremny. Oblicz pole tego sześciokąta, jeżeli bok trójkąta ma długość .
Długość boku sześciokąta jest równa , a jego pole wynosi
C
Ćwiczenie 18
Bok kwadratu ma długość . Każdy z boków tego kwadratu podzielono na trzy równe części. Połączono punkty podziału i otrzymano ośmiokąt. Oblicz pole tego ośmiokąta.