Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Równanie

Definicja: Równanie

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, przy czym przynajmniej w jednym z tych wyrażeń występuje co najmniej jedna zmienna, zwana niewiadomą.
Na przykład:

3 xy = 5, 3 x + t^{2} = 10

Ważne!

Równania równoważne są to takie równania, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań.
Rozwiązać równanie to znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania lub stwierdzić, że równanie nie ma rozwiązań. W tym celu zapisujemy równania równoważne danemu, pamiętając o tym, że

do obu stron równania możemy dodać tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.
RupkdiwdEiADH1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja

Przykład 1

RH0HnK9CnAHsZ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może

nie mieć żadnej liczby, która spełnia to równanie – nazywamy je sprzecznym
mieć dokładnie jedną liczbę spełniającą to równanie – mówimy, że równanie to ma jeden pierwiastek
mieć nieskończenie wiele liczb spełniających to równanie – nazywamy je tożsamościowym

iQYol9niRl_d5e211

Ćwiczenie 1

RHUWY0T8CNkN81

Połącz w pary równania z ich rozwiązaniami.

$\sqrt[3]{8} x + 6 = 10 - x$
$2 x + 2 = \sqrt{9} x - 8$
$x - \sqrt{16} = \frac{1}{2} x + 2$
$\frac{1}{6} (x + 2) - 2 = 7^{0}$
$- 5 x = \sqrt{4} x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RcR0qDfDgOvjB1

Połącz w pary równania z ich rozwiązaniami.

<math><mn>27</mn></math>, <math><mo>-</mo><mn>1</mn></math>, <math><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math>, <math><mn>3</mn></math>, <math><mn>0</mn></math>, brak rozwiązań

$2 x - \sqrt{4} = 4$
$4 - x = 4$
$2^{2} - x = - 1^{2} x + 1$
$x + 3^{3} = \sqrt[3]{8} x$
$(- 2)^{2} x + 1 = 2 x - 5^{0}$
$- 3^{2} x + 1 = - (- \sqrt[3]{- 1}) - 3 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wstaw w miejsce kropek taką liczbę, aby równania były równoważne.

$4 x - 1 = 8$ i $2 x =$ …
$x - 1 = 2$ i $x - 4 = \dots$
$2 x + 5 = 3$ i $4 x +$ … $= 2$
$3 - 1 x = 2 x$ i $5 x - \dots = - 2$

$4,5$
$- 1$
$6$
$7$

Ćwiczenie 4

Dopisz drugą stronę równania $2 x + 3 = 2 + \dots$ tak, aby otrzymać równanie równoważne danemu

$3 x - 1 = 2 x$
$2 x = \sqrt{3}$
$- 2^{2} x = 1 - 2 x$
$\sqrt{5} - x = 2$

$3$
$1 + \sqrt{3}$
$0$
$2 \sqrt{5} - 3$

Ćwiczenie 5

R1cmrbI7hg0621

Przeciągnij i upuść wyrażenia tak, aby równania były sprzeczne.

$\sqrt[3]{2}$ , $- 3 x + 1$ , $- 2 x$ , $- 3 x$ , $x + \sqrt{2}$ , $- x$ , $x + \sqrt{3}$

a) $3 x = 3 x +$ ............
b) $2 x - 3 = 2 -$ ............
c) $2 x + \sqrt{3} = x +$ ............
d) $2 - 3 x = 1 +$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Dopisz drugą stronę równania tak, aby równanie było tożsamościowe.

$2 x - \sqrt[3]{6} = x + \dots$
$3 x - 5 = 1 + \dots$
$\sqrt{5} - 3 x = 2 x + \dots$
$- 1 + \sqrt{2} x = - 4 + \dots$

$x - \sqrt[3]{6}$
$3 x - 6$
$\sqrt{5} - 5 x$
$5 + \sqrt{2} x$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Dany jest pięciokąt $ABCDE$ .

RPi8B1rLbMaOS1

Rysunek pięciokąta A B C D E o bokach długości: AB =2x, BC =x -2, CD =3x, DE =dwie trzecie x, EA =x. Obwód wielokąta równy 67. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

R1Bgc6cAWhq22

Obwód pięciokąta opisuje równanie: $2 x + x - 2 + 3 x + \frac{2}{3} x + x = 67$ .
Najkrótszy bok ma długość $9$ .
Bok $AE$ ma długość $9$ .
Bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $AE$ .
Najdłuższy bok pięciokąta ma długość $27$ .
Suma długości boków $AB$ i $AE$ jest taka sama jak bok $CD$ .
Bok $BC$ jest takiej samej długości jak bok $DE$ .
Bok $DE$ jest o $1$ krótszy od boku $BC$ .
Suma długości wszystkich boków jest równa $65$ .
Bok $AB$ jest $3$ razy dłuższy od boku $DE$ .

static

Ćwiczenie 7

Dany jest pięciokąt $ABCDE$ .

RPi8B1rLbMaOS1

Rozstrzygnij, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

RJOugMbggC3dJ

Obwód pięciokąta opisuje równanie: $2 x + x - 2 + 3 x + \frac{2}{3} x + x = 67$ .
Najkrótszy bok ma długość $9$ .
Bok $AE$ ma długość $9$ .
Bok $AB$ jest dwa razy dłuższy od boku $AE$ .
Najdłuższy bok pięciokąta ma długość $27$ .
Suma długości boków $AB$ i $AE$ jest taka sama jak bok $CD$ .
Bok $BC$ jest takiej samej długości jak bok $DE$ .
Bok $DE$ jest o $1$ krótszy od boku $BC$ .
Suma długości wszystkich boków jest równa $65$ .
Bok $AB$ jest $3$ razy dłuższy od boku $DE$ .

iQYol9niRl_d5e456

Ćwiczenie 8

R1Gnw7VhN4v1F1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Rozwiąż równania.

$2 (x + 2) + 3 (x + 3) = 4 (x + 4)$
$3 (x - 1) - \sqrt{4} x + 3 = \sqrt[3]{125} + 3 (x - 1)$
$x - 2 (x - 1) + 1 = 3 + 2 (x - 2)$
$2 (x - \sqrt{\frac{1}{4}}) - 3 (x + 1) = 2 - x$
$\frac{1}{2} (4 x + 2) - 2 (x - 2) = 5 x - \sqrt[3]{8} (2 x + 1)$
$x - 2 (1 - x) - 2 (3 x - 1) = \sqrt{9} - 2 (x + 5)$

$x = 3$
$x = - 1$
$x = 1 \frac{1}{3}$
równanie nie ma rozwiązania
$x = 7$
$x = 7$

Ćwiczenie 10

Rozwiąż równania.

$\frac{x - 1}{3} + \frac{\sqrt{4} x}{7} = \frac{1}{7} (x + \frac{1}{3})$
$\frac{{\sqrt{3}}^{2} x}{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{5 x}{4} = \sqrt[3]{1}$
$\frac{2 x - \sqrt[3]{27}}{5} - x = \frac{3 x - 1}{3}$
$\frac{6 (x - 1) - 2}{2} = \frac{3^{2} x - 2}{3} - 3 \frac{1}{3}$
$\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 1}{2^{3}} = x$
$\frac{x - \sqrt{16}}{2} - \frac{2 x}{5} = x - \frac{2 - x}{5}$

$x = \frac{4}{5}$
$x = \frac{12}{49}$
$x = - \frac{1}{6}$
tożsamościowe
$x = - 1$
$x = - 1 \frac{5}{11}$

Ćwiczenie 11

Rozwiąż równania.

$\frac{x + 1}{2} + 3 x = {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (x - 1)$
$2 x - \frac{1}{2} = \frac{3 x + 1}{{\sqrt{3}}^{2}} - 2 (x - 6^{0})$
$- 3^{2} x - 2 \frac{1}{3} (x - 2) = - \sqrt[3]{- 27} x - \frac{1}{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{8}} - x)$
$3 - \frac{2 x - 1}{7} + \sqrt[3]{- 8} x = {\sqrt[3]{5}}^{0} x - \frac{3 - x}{2}$

$x = - 1,5$
$x = \frac{17}{18}$
$x = - \frac{29}{88}$
$x = 1 \frac{12}{53}$

Ćwiczenie 12

Znając pierwiastek równania, wyznacz liczbę $a$ .

$2 x - 3 (a - 2) = 2 (x + 1), x = 1$
$3 z + 2 a - 1 = 2 a - a (z - 3), z = - 2$
$2 a - 3 (v + a) = 4 (a - 1), v = - \frac{1}{3}$
$p + 2 (a + 5) = a (p - 3), p = \sqrt[3]{- 27}$

$a = 1 \frac{1}{3}$
$a = - 1 \frac{2}{5}$
$a = 1$
$a = - \frac{7}{8}$

Ćwiczenie 13

Rb8cbav4BkeMW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Dane jest równanie: $2 x + 3 (1 + x) - 2 a = 3 (x + a)$ . Dla jakiej wartości $a$ rozwiązaniem równania jest liczba $5$ ?

$a = 2 \frac{2}{3}$

Pole wielokąta

Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem równań