Elementy kuli

Krople rosy, bryłki gradu, ziarenka maku swoim kształtem przypominają kule.

R1NWK8l4ak4um1

Dwa zdjęcia. Na pierwszym zdjęciu znajdują się bańki mydlane. Na drugim zdjęciu kulki gradu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Jaka bryła powstanie w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży średnica tego półkola?

RFwwejn5cPoG31

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Kulę można otrzymać w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży jego średnica lub w wyniku obrotu koła wokół prostej przechodzącej przez jego środek.

Ważne!

Promień tego koła to promień kuli, a środek koła – środek kuli.
Kulę w przestrzeni definiujemy podobnie jak koło na płaszczyźnie.

Kula

Definicja: Kula

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest nie większa od długości odcinka, zwanego promieniem kuli.

RA9xjjAN70Xxy1

Rysunek koła z zaznaczoną osią obrotu i kuli z zaznaczoną sferą. Obie figury mają ten sam promień. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W przestrzeni odpowiednikiem okręgu jest sfera.

Sfera

Definicja: Sfera

Sfera to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest równa długości odcinka, zwanego promieniem sfery.

R1CTalfNIOgvQ1

Rysunek sfery. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R1JZBEXnlXOmI1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 3

R18CjekJxCQq41

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Cięciwa sfery (kuli)

Definicja: Cięciwa sfery (kuli)

Cięciwa sfery (kuli) to odcinek o końcach leżących na sferze. Cięciwa przechodząca przez środek sfery (kuli), to średnica

R1IzPlhNQuBI31

Rysunek sfery z zaznaczonymi średnicą i cięciwą. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Promień kuli jest równy $8,5 dm$ .

Określ długość średnicy kuli.
Określ największą odległość dwóch punktów leżących na sferze tej kuli.
Czy cięciwa tej kuli może mieć długość $16 cm$ , $17 cm$ , $18 cm$ ?

$17 dm$
$17 dm$
tak, tak, nie

ihjzydUnZ5_d5e234

Przekroje kuli

Przykład 4

Przetnij pomarańczę na dwie części. Jakie kształty mają tak otrzymane przekroje?

R1Ti1i1hQle0E1

Rysunek pomarańczy i plastra pomarańczy w kształcie koła. — Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).

Przekrojem kuli jest koło (lub punkt). Jeśli płaszczyzna przecinająca kulę przechodzi przez jej środek, to otrzymany przekrój nazywamy kołem wielkim kuli. Płaszczyzna ta dzieli kule na dwie półkule.

RgavXwtXuj76u1

Rysunek kuli z dwoma płaszczyznami przecinającymi. Zaznaczona płaszczyzna zwana kołem wielkim. — Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).

Przykład 5

Pole koła wielkiego kuli jest równe $0,16 π {mm}^{2}$ . Oblicz średnicę tej kuli.
Obliczamy promień $r$ koła wielkiego kuli.

RR4isVPsTNXgB1

Rysunek kuli z zaznaczonym kołem wielkim o promieniu r i średnicy kuli d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

π r^{2} = 0,16 π

r^{2} = 0,16

r = \sqrt{0,16}

r = 0,4 mm

r > 0

Średnica $d$ kuli jest równa średnicy koła wielkiego.

d = 2 \cdot 0,4

d = 0,8 mm

Średnica kuli jest równa $0,8 mm$ .

Przykład 6

Promień kuli jest równy $15 cm$ . W odległości $9 cm$ od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono przekrój. Oblicz obwód tego przekroju.

R1Uy2prxgu99d1

Rysunek kuli o promieniu R = 15 cm z zaznaczonym kołem wielkim oraz innym, równoległym przekrojem o promieniu r. Promień kuli R, promień przekroju r oraz odległość przekrojów równa 9 cm tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej R łączącej środek kuli z kołem przekroju. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć obwód przekroju, obliczymy najpierw jego promień r.
Zauważmy, że trójkąt utworzony przez promień kuli, promień przekroju i odcinek łączący przekroje kuli i prostopadły do nich, jest prostokątny.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

r^{2} + 9^{2} = 1 5^{2}

r^{2} = 225 - 81

r = \sqrt{144}

r = 12 cm

Obliczamy teraz obwód przekroju.

2 πr = 2 π \cdot 12 = 24 π

Obwód przekroju jest równy $24 π cm$ .

Pole powierzchni kuli

RjekX1aWUkfIl11

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 7

Obierz pomarańczę. Czy możesz tak otrzymane skórki rozłożyć płasko na stole?

Ciekawostka

Archimedes (ok. $287 - 212$ p.n.e.) był greckim filozofem, przyrodnikiem i matematykiem. Odkrył prawo wyporu, zwane dzisiaj prawem Archimedesa. Wynalazł między innymi organy wodne, wielokrążek, przenośnik śrubowy (urządzenie do przemieszczania materiałów sypkich lub cieczy).
Wyprowadził wzór na obliczenie pola powierzchni kuli, wykorzystując nowatorskie pomysły, które obecnie wchodzą w zakres rachunku różniczkowego i całkowego.
Archimedes wykazał, że pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe od pola jej koła wielkiego.

Ważne!

Pole powierzchni kuli
Pole $P$ powierzchni kuli o promieniu $R$ jest równe

P = 4 π R^{2}

Przykład 8

R1VXEbLYILg8j1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Przykład 9

Na toczek w kształcie półkuli zużyto $450 c m^{2}$ filcu. Jaki obwód ma głowa osoby, dla której go wykonano?
Obliczymy promień $R$ półkuli, w kształcie której jest toczek.

2 π R^{2} = 450

π R^{2} = 225

R = \sqrt{\frac{225}{π}} = \frac{15}{\sqrt{π}}

Obliczamy obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek.

2 πR = 2 π \cdot \frac{15}{\sqrt{π}} = 30 \sqrt{π} \approx 30 \sqrt{3,14} \approx 53

Obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek, jest równy około $53 cm$ .

ihjzydUnZ5_d5e409

Objętość kuli

R1VVLXb4w567z11

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 10

RYDXj2a5CsUDD1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Ważne!

Objętość kuli
Objętość $V$ kuli o promieniu $R$ jest równa

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Ciekawostka

Objętość kuli można obliczyć zgodnie z zasadą siedemnastowiecznego matematyka włoskiego Bonaventury Cavalieriego.
Na podstawie rozważań Cavaleriego można wywnioskować, że objętość półkuli o promieniu $R$ jest równa różnicy objętości walca o promieniu podstawy $R$ oraz wysokości $R$ i objętości stożka o promieniu podstawy $R$ i wysokości $R$ .

RsXIbMsEONha01

Rysunek półkuli, walca i stożka. Między półkulą a walcem znak równa się, między walcem a stożkiem znak minus. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 11

Kula z ciasta ma promień $1,2 dm$ . Ile ciasteczek w kształcie kulek o promieniu $2 cm$ każde można otrzymać z tego ciasta?
Obliczamy najpierw objętość dużej kuli ciasta.

1,2 dm = 12 cm

V = \frac{4}{3} π \cdot 1 2^{3}

V = \frac{4}{3} π \cdot 1728

V = 2304 π {cm}^{3}

Teraz obliczamy objętość ciasteczka.

V_{C} = \frac{4}{3} π \cdot 2^{3}

V_{C} = \frac{32}{3} π {cm}^{3}

Obliczamy, ile ciasteczek można otrzymać z dużej kuli ciasta.

2304 : \frac{32}{3} = 2304 \cdot \frac{3}{32} = 216

Z ciasta można otrzymać $216$ ciasteczek.

Przykład 12

Objętość kuli jest równa $288 π$ . Oblicz pole powierzchni tej kuli.
Obliczamy najpierw promień R kuli.

\frac{4}{3} π R^{3} = 288 π / : \frac{4}{3} π

R^{3} = 216

R = \sqrt[3]{216} = 6

Możemy już obliczyć pole powierzchni kuli.

P = 4 π R^{2}

P = 4 π \cdot 6^{2}

P = 144 π

Pole powierzchni kuli jest równe $144 π$ .

Ciekawostka

R7w39jGSs08xV1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1F7mMmuS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 2

Uzupełnij, wpisując odpowiednie liczby.

Tabela. Dane
Pole powierzchni kuli
o promieniu $6$ jest równe	o średnicy $10$ jest równe	O promieniu $0,5$ jest równe	O średnicy $\sqrt{2}$ jest równe
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots . π$	$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots . . π$	$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots . π$	$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots π$

$144, 100, 1, 2$

Ćwiczenie 3

Promień kuli jest równy $1 \frac{1}{4}$ .

Pole koła wielkiego tej kuli jest równe …
Pole powierzchni kuli jest równe …
Objętość kuli jest równa …

$\frac{25}{16} π$ , $\frac{25}{4} π$ , $\frac{125}{48} π$

R13QZJz4VWdHB

Ćwiczenie 4

ihjzydUnZ5_d5e653

RQQVWqoCjcMN1

Ćwiczenie 5

Objętość jednej piłeczki do tenisa ziemnego wynosi $10 \frac{2}{3} π {cm}^{3}$ .
Średnica tej piłeczki jest równa:

$40 mm$
$20 mm$
$80 mm$
$60 mm$

Ćwiczenie 6

Średnice wewnętrzne dwóch doniczek wynoszą odpowiednio: $42 cm$ i $60 cm$ . W której doniczce mieści się więcej ziemi i o ile ${cm}^{2}$ ?

$V_{1} = 6174 π {cm}^{3}$ ,
$V_{2} = 18000 π {cm}^{3}$ , $π \approx 3,14$

V_{2} - V_{1} = 37133,64 {cm}^{3}

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni nadmuchanego balona jest równe $9856 {cm}^{2}$ . Ile $m^{3}$ powietrza mieści się w tym balonie? Przyjmij $π = \frac{22}{7}$ . Wynik podaj z dokładnością do $0,001 m^{3}$ .

$R = 28 cm$ , $V \approx 91989 {cm}^{3}, V \approx 0,092 m^{3}$

Ćwiczenie 8

Do pustego akwarium w kształcie półkuli wlano $4 l$ wody.
Akwarium wypełnione jest teraz w $90 %$ wodą. Ile ${dm}^{2}$ szkła użyto na jego wykonanie?

$P \approx 29,3 {dm}^{2}$

Ćwiczenie 9

Zapisz, jak zmieni się objętość kuli, gdy jej promień

zwiększono dwukrotnie
zwiększono pięciokrotnie
zmniejszono dwukrotnie
zmniejszono trzykrotnie

zwiększy się $8$ –krotnie
zwiększy się $125$ –krotnie
zmniejszy się $8$ –krotnie
zmniejszy się $27$ –krotnie

Ćwiczenie 10

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli, gdy

średnica kuli jest równa $10 cm$
pole koła wielkiego jest równe $81 π {dm}^{2}$

$P = 100 π {cm}^{2}$ , $V = \frac{500}{3} π {cm}^{3}$
$P = 324 π {dm}^{2}$ , $V = 972 π {dm}^{3}$

Ćwiczenie 11

Świeczkę w kształcie walca przetopiono na świeczkę w kształcie kuli. Oblicz promień tej kuli.
Wynik podaj z dokładnością do $0,01 cm$ .

RKwbkiVcUYd5L1

Rysunek dwóch świec. Jedna świeca w kształcie walca o wysokości 18 cm i średnicy podstawy równej 6 cm. Druga świeca ma kształt kuli. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$R = \sqrt[3]{121,5} \approx 4,95 cm$

Ćwiczenie 12

Promień kuli jest równy $15 cm$ . W jakiej odległości od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono jej przekrój, jeśli obwód tego przekroju wynosi $24 π$ ?

$9 cm$

Ćwiczenie 13

Pole powierzchni całkowitej półkuli wynosi $60 π$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całej kuli.

Objętość jest równa $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ , pole wynosi $80 π$ .

ihjzydUnZ5_d5e895

Ćwiczenie 14

Kulę o średnicy $10 cm$ przecięto na dwie jednakowe części. Jakie pole powierzchni ma każda z otrzymanych półkuli ?

$75 π {cm}^{2}$

Ćwiczenie 15

Z kuli o promieniu $5 cm$ odcięto czaszę w odległości $3 cm$ od środka kuli. Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola koła wielkiego.

$\frac{16}{25}$

Ćwiczenie 16

Przekrój osiowy kuli ma pole powierzchni równe $16 π$ . Oblicz pole $P$ powierzchni i objętość $V$ tej kuli.

$P = 64 π, V = \frac{256}{3} π$

R1rMqHAGwr6gF

Ćwiczenie 17

Obwód koła wielkiego kuli jest równy $16 π$ .
Jakie pole powierzchni ma ta kula?

$24 \sqrt{3} π$
$32 \sqrt{3} π$
$256 π$
$8 \sqrt{3} π$

Ćwiczenie 18

Koło o obwodzie $20 π$ obraca się wokół swojej średnicy. Jakie pole ma koło wielkie otrzymanej kuli?

$100 π$

Ćwiczenie 19

Jaką figurę otrzymamy, obracając okrąg wokół jego średnicy?

Ćwiczenie 20

Do pojemnika w kształcie sześcianu o krawędzi $10 cm$ włożono kulkę o średnicy $6 cm$ . Jaką część pojemności sześcianu zajmuje kula ?

$\frac{11304}{100000}$

Ćwiczenie 21

Do menzurki w kształcie walca o średnicy podstawy równej $12 mm$ wrzucono metalową kulkę o promieniu $2 mm$ . Ile wody należy wlać do tej menzurki, aby kulka była zakryta?

$425,16 {mm}^{3}$

Ćwiczenie 22

Niech $VK$ będzie objętością kuli o promieniu $R$ , a $VS$ objętością stożka o promieniu podstawy $R$ oraz wysokości też $R$ . Oblicz stosunek $VK : V S$ .

$\frac{V_{k}}{V_{s}} = 4$

Ćwiczenie 23

Kula i stożek mają jednakowe objętości. Kula ma promień długości $6 cm$ . Promień podstawy stożka ma długość $8 cm$ . Oblicz wysokość stożka?

$13,5 cm$

R15PXNya5ZJeK

Ćwiczenie 24

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Przekrój kuli może być punktem.
Każdy przekrój kuli jest okręgiem.
Objętość kuli jest proporcjonalna do sześcianu promienia kuli.

Objętość stożka

Odczytywanie danych statystycznych

Kula i sfera

Elementy kuli

Przekroje kuli

Pole powierzchni kuli

Objętość kuli