Odrębnym aspektem, ale nie mniej ważnym są przekroje jakie można otrzymać przecinając czworościan foremny płaszczyznami. Sytuacje te ilustruje poniższy pokaz slajdów.
RMDgMOxpDfdu9
Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.
Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.
Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.
Kiedy czworościan foremnyczworościan foremnyczworościan foremny ustawimy tak, że podstawą jest jedna z jego ścian, to przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy da nam zawsze trójkąt podobny do tej podstawy. Również przekrój, jaki uzyskujemy tnąc czworościan foremny płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośnąkrawędzie skośne czworościanu foremnegokrawędź do niej skośną, jest trójkątem.
RRBUqPW9YJwwp
Aplet przedstawia czworościan foremny, który ustawiono w taki sposób, że jedna z jego ścian jest podstawą. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy otrzymujemy przekrój o kształcie trójkąta, który jest równoległy do ściany, którą przyjęto jako podstawę. Jeśli przekrój znajduje się na samym dole czworościanu to pokrywa się z podstawą, przesuwając go w stronę wierzchołka zmniejsza się powierzchnia tego przekroju. Zaznaczając przekrój płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośną otrzymujemy przekrój w kształcie trójkąta. Jego jedna krawędź pokrywa się z krawędzią boczną, druga leży w płaszczyźnie podstawy, a trzecia leży w płaszczyźnie ściany bocznej.
Aplet przedstawia czworościan foremny, który ustawiono w taki sposób, że jedna z jego ścian jest podstawą. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy otrzymujemy przekrój o kształcie trójkąta, który jest równoległy do ściany, którą przyjęto jako podstawę. Jeśli przekrój znajduje się na samym dole czworościanu to pokrywa się z podstawą, przesuwając go w stronę wierzchołka zmniejsza się powierzchnia tego przekroju. Zaznaczając przekrój płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośną otrzymujemy przekrój w kształcie trójkąta. Jego jedna krawędź pokrywa się z krawędzią boczną, druga leży w płaszczyźnie podstawy, a trzecia leży w płaszczyźnie ściany bocznej.
Jeśli przetniemy czworościan foremny płaszczyzną prostopadłą do podstawy tak, aby przeciąć cztery krawędzie czworościanu, i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego, to otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym.
R133Y1XR6npOs
Aplet przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Zaznaczając:przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy w czworościanie pojawia się trapez o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC. Płaszczyzna trapezu jest prostopadła to płaszczyzny, w której leży ściana A B C. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do krawędzi skośnych otrzymujemy przekrój w kształcie prostokąta o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC.
Aplet przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Zaznaczając:przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy w czworościanie pojawia się trapez o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC. Płaszczyzna trapezu jest prostopadła to płaszczyzny, w której leży ściana A B C. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do krawędzi skośnych otrzymujemy przekrój w kształcie prostokąta o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC.
W sytuacji, gdy płaszczyzna przecięcia jest równoległa do krawędzi skośnych czworościanu, otrzymujemy czworokąt, który jest prostokątem, ponieważ kąt między krawędziami skośnymi jest kątem prostym. (Kąt między krawędzią i rzutem prostokątnym krawędzi do niej skośnej na płaszczyznę, w której leży dana krawędź.)
W szczególnym przypadku, gdy boki prostokąta łączą środki sąsiednich krawędzi czworościanu, przekrój jest kwadratem.
Przykład 1
Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym . Obliczymy długość krawędzi tego czworościanu.
Rozwiązanie:
RAAMJS3bgBUGs
Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach C D F, przy czym punkt F jest spodkiem wysokości podstawy A BC opuszczonej z wierzchołka C na bok AB. Bok CF przechodzi przez punkt E będący spodkiem wysokości wielkie H czworościanu, którą opuszczono z wierzchołka D. Odcinki CF i DF podpisano literami małe h.
Oznaczmy literami:
– krawędź czworościanu foremnego,
– jego wysokość,
- wysokość trójkąta równobocznego, będącego ścianą czworościanu.
Punkt jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego . Wiemy, że dzieli on wysokość trójkąta na odcinki w stosunku . Stąd długość odcinka jest równa . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy . Stąd , czyli wysokość czworościanu foremnego:
.
Pole powierzchni przekroju czworościanu – trójkąta wynosi . Podstawiając do wzoru na pole trójkąta , gdzie i . Stąd i dalej , czyli . Długość krawędzi podstawy czworościanu .
Przykład 2
Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt równoramienny. Wyznaczymy miary kątów tego trójkąta.
Rozwiązanie:
RwQQc2uBovsNr
Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach C D F, przy czym punkt F jest spodkiem wysokości podstawy A BC opuszczonej z wierzchołka C na bok AB. Bok CF przechodzi przez punkt E będący spodkiem wysokości wielkie H czworościanu, którą opuszczono z wierzchołka D. Odcinki CF i DF podpisano literami małe h.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech , a . Zauważmy, że . Korzystając z zależności i , otrzymujemy: . Z tablic odczytujemy . Kąt to kąt między ścianami czworościanu foremnego. Trójkąt jest równoramienny, zatem kąt , kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi .
Przykład 3
Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przecinającą krawędź do niej skośną w punkcie tak, że . Obliczymy pole uzyskanego przekroju.
Rozwiązanie:
RSPULKhU5xDQS
Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach A B E, przy czym punkt E leży na krawędzi CD. Z wierzchołka E na bok AB opuszczono wysokość y, spodek tej wysokości podpisano literą F. Boki AE i BE mają długość x.
R1MlWYfEQeHcS
Ilustracja przedstawia trójkąt B C D, na boku CD leży punkt E. Odcinek BE ma długość x. Boki BC i BD mają długość a. Odcinek CE ma długość . Kąt DCB ma wartość 60 stopni.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Długość odcinka oznaczmy przez , zaś długość wysokości trójkąta równoramiennego przez . Z warunków przykładu wynika, że . Zatem korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta mamy . Wyliczymy wysokość trójkąta równoramiennego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego : . Stąd . Pierwiastkując otrzymujemy . Zatem pole przekroju wynosi .
Przykład 4
Czworościan foremny o krawędzi długości został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.
Rozwiązanie:
RObOXAdtbOXqL
Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono jego wysokość opuszczoną z wierzchołka D, jej spodek podpisano literą S. Z wierzchołka A na krawędź BC również opuszczono wysokość, przechodzi ona przez punkt S. W czworościanie zaznaczono jego przekrój, ma on kształt trójkąta o wierzchołkach E F H, przy czym punkt E leży na krawędzi AB, punkt F na krawędzi AC, a punkt H na krawędzi AD. Z wierzchołka H na bok EF opuszczono wysokość x, jej spodek G leży na odcinku AS. Odcinek AE ma długość .
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech oznacza długość odcinka , czyli długość wysokości trójkąta , jaki uzyskujemy w tym przekroju. Trójkąty prostokątne i są podobne, mają ten sam kąt . Stąd otrzymujemy zależność: . Ponieważ jest wysokością czworościanu, więc . Długość odcinka , gdzie wysokość trójkąta równobocznego – ściany czworościanu. Czyli . Długość odcinka . Wynika to z faktu, że trójkąt jest trójkątem równobocznym o podstawie (trójkąty i są podobne o skali podobieństwa ). Podstawiając otrzymujemy: . Zatem pole przekroju wynosi .
Przykład 5
Czworościan foremny o krawędzi długości został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego. Odległość płaszczyzny przecięcia od tej równoległej do niej krawędzi wynosi . W wyniku przecięcia otrzymano trapez równoramienny. Wyznaczymy pole powierzchni uzyskanego trapezu.
Rozwiązanie:
R16kCjJvFYnP5
Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. W czworościanie zaznaczono jego wysokość, spodek tej wysokości podpisano litrą S. W podstawie A B C, również zaznaczono wysokość, opuszczoną z wierzchołka A na bok BC. Spodek tej wysokości podpisano literą I, a wysokość ta przechodzi przechodzi przez punkt S. Z wierzchołka D na krawędź BC również opuszczono wysokość, jej spodek pokrywa się ze spodkiem I. W czworościanie zaznaczono przekrój o kształcie trapezu, jego wierzchołki to E F G H, przy czym punkt E leży na krawędzi DB, punkt F na krawędzi DC, punkt H na krawędzi AB, a punkt G na krawędzi AC. Na boku EF leży punkt K, leży on jednocześnie na wysokości DI. Z punktu K pod kątem prostym do wysokości AI poprowadzono odcinek do punktu J leżącego na krawędzi AI. Odcinek IJ podpisano literą d. W podstawie zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy z nich to B H L, przy czym punkt L leży na boku BC, a kąt BLH to kąt prosty. Drugi to trójkąt C G M, przy czym M leży na boku BC, a kąt CMG to kat prosty. Odcinek MC podpisano literą x. Obok czworościanu znajduje się jego trójkąt B C D, Z wierzchołka D opuszczono wysokość na bok BC, jej spodek podpisano literą I. Na boku BD leży punkt E, na boku CD leży punkt F, w trójkącie zaznaczono dwa mniejsze trójkąty prostokątne BEN, gdzie kąt BNE to kąt prosty oraz trójkąt CFO, gdzie kąt COF to kąt prosty. Na przecięciu wysokości o odcinka EF leży punkt K.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole szukanego trapezu wyraża się wzorem . Niech oznacza długość odcinka i . Z trójkąta , mamy . Stąd . Zatem . Z podobieństwa trójkątów i (trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym, ale też możemy skorzystać z twierdzenia Talesa) mamy zależność: . Ponieważ jest wysokością czworościanu , a długość odcinka , to . Stąd . Wyznaczyliśmy wysokość trapezu. Zachodzi również zależność . Zatem . Wykorzystamy tę równość do obliczenia długości drugiej podstawy trapezu. Niech oznacza długość odcinka i . Długość odcinka jest równa długości . Z trójkąta mamy . Stąd . Krótsza podstawa trapezu . Podstawiając do wzoru na pole trapezu:
Słownik
czworościan foremny
czworościan foremny
czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami
krawędzie skośne czworościanu foremnego
krawędzie skośne czworościanu foremnego
krawędzie, które zawierają się w prostych nie leżących w jednej płaszczyźnie
Re639ZChmCzUo
Ilustracja przedstawia sześcian, w który wpisano czworościan. Wierzchołki czworościanu pokrywają się z wierzchołkami sześcianu, a krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu. Przekątne dolnej i górnej podstawy będące krawędziami czworościanu podpisano: para krawędzi skośnych.