W podanym twierdzeniu wskaż założenie i tezę. Czy twierdzenie jest prawdziwe?

1. Jeżeli liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością $6$, to jest podzielna przez $3$.

2. Jeżeli pole kwadratu jest równe $64$, to jego obwód jest równy $32$.

3. Jeżeli punkt leży w układzie współrzędnych na osi $X$, to jego druga współrzędna jest równa $0$.

4. Jeżeli wielokąt jest trapezem, to jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym.

Sformułuj podane twierdzenie, korzystając ze schematu „jeżeli … to”.

1. Pole kwadratu o boku długości a jest równe $a^2$.

2. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60°$.

3. Liczba naturalna podzielna przez cztery jest liczbą parzystą.

Oblicz pole zamalowanego kwadratu.

R4JU2duL2bMMB1

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych. Na wszystkich bokach trójkątów zbudowano kwadraty. Znane są pola dwóch kwadratów, należy podać pole trzeciego.

Oblicz obwód i pole zamalowanego trójkąta.

R1Q3fNRnRhPQv1

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych A B C, na bokach których zbudowano kwadraty. Na pierwszym rysunku pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych równe są 64 i 36. Szukane pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Na drugim rysunku pole jednego z kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej równe jest 49. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest 625. Szukane jest pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej. Na trzecim rysunku pole jednego z kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej równe jest 1600. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest 1681. Szukane jest pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej.

Wszystkie znajdujące się na rysunku trójkąty są prostokątne. Trójkąty niebieskie są przystające.
Wykaż prawdziwość twierdzenia Pitagorasa, korzystając z instrukcji:

R16KMT2bJ1ekZ1

Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, którego przeciwprostokątną jest bok BC. Obracamy go wokół wierzchołka A o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Następnie przesuwamy go wzdłuż boku AC trójkąta tak, aby wierzchołek B był równocześnie jednym z wierzchołków trójkąta po przesunięciu. Cztery wierzchołki wybrane z obu trójkątów są teraz wierzchołkami trapezu o podstawach a i b oraz wysokości a +b. Obliczmy pole trapezu ze wzoru na pole trapezu oraz ze wzoru na pola trójkątów i kwadratu. Po porównaniu tych pól otrzymujemy równość: a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej równa się c do potęgi drugiej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Dowód twierdzenia Pitagorasa z 1876 roku pochodzi od amerykańskiego polityka Jamesa Garfielda, który niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.

Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, którego przeciwprostokątną jest bok BC. Obracamy go wokół wierzchołka A o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Następnie przesuwamy go wzdłuż boku AC trójkąta tak, aby wierzchołek B był równocześnie jednym z wierzchołków trójkąta po przesunięciu. Cztery wierzchołki wybrane z obu trójkątów są teraz wierzchołkami trapezu o podstawach a i b oraz wysokości a +b. Obliczmy pole trapezu ze wzoru na pole trapezu oraz ze wzoru na pola trójkątów i kwadratu. Po porównaniu tych pól otrzymujemy równość: a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej równa się c do potęgi drugiej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Dowód twierdzenia Pitagorasa z 1876 roku pochodzi od amerykańskiego polityka Jamesa Garfielda, który niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2ZrWe7fk

1. z trójkątów na rysunku zbuduj trapez

2. oblicz pole trapezu jako sumę pól trójkątów

3. oblicz pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru

4. porównaj otrzymane wyrażenia

5. sprowadź do najprostszej postaci zapisaną równość

6. wyciągnij wniosek

Rysunek przedstawia latawiec, czyli czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Na bokach latawca zbudowano kwadraty.
Zmieniaj położenie punktu $N$, również tak, aby uzyskać trójkąt prostokątny. W każdym przypadku porównuj sumy pól kwadratów leżących naprzeciw siebie. Co zauważasz?

R1ecV4pWCpIZ41

Animacja prezentuje czworokąt o prostopadłych przekątnych, na bokach którego zbudowano kwadraty. Jeżeli w czworokącie przekątne są prostopadłe to sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Zmieniając położenie wierzchołka, należącego do dwóch kwadratów, przesuwamy je do punktu przecięcia przekątnych czworokąta i otrzymujemy trójkąt. Boki dwóch kwadratów są teraz jednym z boków tego trójkąta. Są one rzutami dwóch pozostałych boków trójkąta na ten bok. Nadal sumy pól odpowiednich kwadratów są równe, więc: w dowolnym trójkącie suma kwadratów długości jednego z boków tego trójkąta i kwadratu długości rzutu boku na trzeci bok jest taka sama dla obu tych boków. Następnie kolejny wierzchołek dwóch kwadratów przesuwamy do punktu przecięcia się przekątnych i otrzymujemy trójkąt prostokątny. Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż jeden z jego kątów to kąt pomiędzy poprzednio istniejącymi przekątnymi czworokąta, teraz bokami tego trójkąta. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Jest to teza twierdzenia Pitagorasa. Tak więc wychodząc od czworokąta o prostopadłych przekątnych doszliśmy do twierdzenia Pitagorasa.

Animacja prezentuje czworokąt o prostopadłych przekątnych, na bokach którego zbudowano kwadraty. Jeżeli w czworokącie przekątne są prostopadłe to sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Zmieniając położenie wierzchołka, należącego do dwóch kwadratów, przesuwamy je do punktu przecięcia przekątnych czworokąta i otrzymujemy trójkąt. Boki dwóch kwadratów są teraz jednym z boków tego trójkąta. Są one rzutami dwóch pozostałych boków trójkąta na ten bok. Nadal sumy pól odpowiednich kwadratów są równe, więc: w dowolnym trójkącie suma kwadratów długości jednego z boków tego trójkąta i kwadratu długości rzutu boku na trzeci bok jest taka sama dla obu tych boków. Następnie kolejny wierzchołek dwóch kwadratów przesuwamy do punktu przecięcia się przekątnych i otrzymujemy trójkąt prostokątny. Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż jeden z jego kątów to kąt pomiędzy poprzednio istniejącymi przekątnymi czworokąta, teraz bokami tego trójkąta. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Jest to teza twierdzenia Pitagorasa. Tak więc wychodząc od czworokąta o prostopadłych przekątnych doszliśmy do twierdzenia Pitagorasa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D2ZrWe7fk

Zapisz równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku.

RICej6Fdx0p941

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości x i 4 oraz przeciwprostokątna długości 10. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 7 i m oraz przeciwprostokątna długości k. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości p i m oraz przeciwprostokątna długości z.

Trójkąty na rysunku są prostokątne. Niektóre z boków są wyróżnione kolorem zielonym. Znajdź długości tych boków.

R1aWbh48mUUo11

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątna długości x. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 8 i x oraz przeciwprostokątna długości 10. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości 10 i x oraz przeciwprostokątna długości 26.

Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe $a$, $b$, natomiast długość przeciwprostokątnej jest równa $c$. Uzupełnij tabelkę.

Trójkąty na rysunku są prostokątne. Oblicz długości boków oznaczonych literami.

RnElROuN5UFZF1

Rysunki sześciu trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości a i 1 oraz przeciwprostokątna długości x. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 4 i 4 oraz przeciwprostokątna długości b. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości pierwiastek z jedenastu i 5 oraz przeciwprostokątna długości c. Czwarty trójkąt: przyprostokątne długości 7 i d oraz przeciwprostokątna długości 8. Piąty trójkąt: przyprostokątne długości pierwiastek z dwóch i pierwiastek z siedmiu oraz przeciwprostokątna długości e. Szósty trójkąt: przyprostokątne długości 1 i f oraz przeciwprostokątna długości 4.

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym

1. przyprostokątne mają długości $1\mathrm{ cm}$ i $3\mathrm{ cm}$,

2. przyprostokątne są równe $m$ i $3m$, gdzie $m>0$, a przeciwprostokątna ma długość $2\sqrt{10}$

3. jedna z przyprostokątnych ma długość $16\mathrm{ m}$, a przeciwprostokątna ma długość $20\mathrm{ m}$.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym

1. jedna z przyprostokątnych ma długość $6\mathrm{ cm}$, a przeciwprostokątna ma długość $\mathrm{6,5}\mathrm{ cm}$,

2. przeciwprostokątna ma długość $10\mathrm{ cm}$, a jedna z przyprostokątnych jest dwukrotnie krótsza od drugiej,

3. jedna z przyprostokątnych ma długość $1\frac{2}{5}\mathrm{ m}$, a przeciwprostokątna ma długość $5\mathrm{ m}$.

Losujemy dwie liczby naturalne $a,b$ ze zbioru liczb naturalnych od $1$ do $25$. Liczby $a,\mathrm{ b}$ są długościami przyprostokątnych trójkąta. Znajdź długość przeciwprostokątnej $c$.