Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, mając dane długości dwóch pozostałych boków.
Przykład 1
W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych są równe i . Znajdźmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Rx9EzdihffLDG1
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej c.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapisujemy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, z której wyznaczamy długość przeciwprostokątnej.
Równanie
ma dwa rozwiązania lub . Długość boku trójkąta wyraża się liczbą dodatnią, zatem uwzględniamy tylko rozwiązanie dodatnie.
Przeciwprostokątna trójkąta ma długość .
Przykład 2
Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość , a przeciwprostokątna ma długość . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
R1dHZzDtddXZB1
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 7 cm i x oraz przeciwprostokątnej długości 25 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Oznaczamy – długość drugiej przyprostokątnej, . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Druga z przyprostokątnych ma długość .
Przykład 3
W trójkącie prostokątnym dwa boki mają długości i . Znajdź długość trzeciego boku tego trójkąta. Oznaczmy – szukaną długość boku trójkąta . Długość boku znajdziemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Rozpatrzymy dwa przypadki
Tabela. Dane
przypadek
przypadek
Bok, którego długości szukamy, jest przyprostokątną trójkąta.
Bok, którego długości szukamy jest przeciwprostokątną trójkąta.
Długość trzeciego boku trójkąta jest równa lub .
i86HoZsrOg_d5e218
A
Ćwiczenie 1
W podanym twierdzeniu wskaż założenie i tezę. Czy twierdzenie jest prawdziwe?
Jeżeli liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością , to jest podzielna przez .
Jeżeli pole kwadratu jest równe , to jego obwód jest równy .
Jeżeli punkt leży w układzie współrzędnych na osi , to jego druga współrzędna jest równa .
Jeżeli wielokąt jest trapezem, to jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym.
Założenie: liczba naturalna dodatnia jest wielokrotnością Teza: jest podzielna przez Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: pole kwadratu jest równe Teza: jego obwód jest równy Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: punkt leży w układzie współrzędnych na osi Teza: jego druga współrzędna jest równa Twierdzenie prawdziwe.
Założenie: wielokąt jest trapezem Teza: jego przekątne zawsze przecinają się pod kątem prostym Twierdzenie fałszywe.
A
Ćwiczenie 2
Sformułuj podane twierdzenie, korzystając ze schematu „jeżeli … to”.
Pole kwadratu o boku długości a jest równe .
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę .
Liczba naturalna podzielna przez cztery jest liczbą parzystą.
Jeżeli kwadrat ma bok długości a, to jego pole jest równe .
Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to każdy z jego kątów ma miarę .
Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez , to jest liczbą parzystą.
A
Ćwiczenie 3
Oblicz pole zamalowanego kwadratu.
R4JU2duL2bMMB1
Rysunki trzech trójkątów prostokątnych. Na wszystkich bokach trójkątów zbudowano kwadraty. Znane są pola dwóch kwadratów, należy podać pole trzeciego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
Oblicz obwód i pole zamalowanego trójkąta.
R1Q3fNRnRhPQv1
Rysunki trzech trójkątów prostokątnych A B C, na bokach których zbudowano kwadraty. Na pierwszym rysunku pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych równe są 64 i 36. Szukane pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Na drugim rysunku pole jednego z kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej równe jest 49. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest 625. Szukane jest pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej. Na trzecim rysunku pole jednego z kwadratu zbudowanego na przyprostokątnej równe jest 1600. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równe jest 1681. Szukane jest pole kwadratu zbudowanego na drugiej przyprostokątnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
Wszystkie znajdujące się na rysunku trójkąty są prostokątne. Trójkąty niebieskie są przystające. Wykaż prawdziwość twierdzenia Pitagorasa, korzystając z instrukcji:
R16KMT2bJ1ekZ1
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, którego przeciwprostokątną jest bok BC. Obracamy go wokół wierzchołka A o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Następnie przesuwamy go wzdłuż boku AC trójkąta tak, aby wierzchołek B był równocześnie jednym z wierzchołków trójkąta po przesunięciu. Cztery wierzchołki wybrane z obu trójkątów są teraz wierzchołkami trapezu o podstawach a i b oraz wysokości a +b. Obliczmy pole trapezu ze wzoru na pole trapezu oraz ze wzoru na pola trójkątów i kwadratu. Po porównaniu tych pól otrzymujemy równość: a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej równa się c do potęgi drugiej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Dowód twierdzenia Pitagorasa z 1876 roku pochodzi od amerykańskiego polityka Jamesa Garfielda, który niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, którego przeciwprostokątną jest bok BC. Obracamy go wokół wierzchołka A o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Następnie przesuwamy go wzdłuż boku AC trójkąta tak, aby wierzchołek B był równocześnie jednym z wierzchołków trójkąta po przesunięciu. Cztery wierzchołki wybrane z obu trójkątów są teraz wierzchołkami trapezu o podstawach a i b oraz wysokości a +b. Obliczmy pole trapezu ze wzoru na pole trapezu oraz ze wzoru na pola trójkątów i kwadratu. Po porównaniu tych pól otrzymujemy równość: a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej równa się c do potęgi drugiej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Dowód twierdzenia Pitagorasa z 1876 roku pochodzi od amerykańskiego polityka Jamesa Garfielda, który niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
z trójkątów na rysunku zbuduj trapez
oblicz pole trapezu jako sumę pól trójkątów
oblicz pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru
porównaj otrzymane wyrażenia
sprowadź do najprostszej postaci zapisaną równość
wyciągnij wniosek
Suma pół trójkątów
Pole trapezu
Obliczone pola są równe
- teza twierdzenia Pitagorasa
A
Ćwiczenie 6
Rysunek przedstawia latawiec, czyli czworokąt, którego przekątne są prostopadłe. Na bokach latawca zbudowano kwadraty. Zmieniaj położenie punktu , również tak, aby uzyskać trójkąt prostokątny. W każdym przypadku porównuj sumy pól kwadratów leżących naprzeciw siebie. Co zauważasz?
R1ecV4pWCpIZ41
Animacja prezentuje czworokąt o prostopadłych przekątnych, na bokach którego zbudowano kwadraty. Jeżeli w czworokącie przekątne są prostopadłe to sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Zmieniając położenie wierzchołka, należącego do dwóch kwadratów, przesuwamy je do punktu przecięcia przekątnych czworokąta i otrzymujemy trójkąt. Boki dwóch kwadratów są teraz jednym z boków tego trójkąta. Są one rzutami dwóch pozostałych boków trójkąta na ten bok. Nadal sumy pól odpowiednich kwadratów są równe, więc: w dowolnym trójkącie suma kwadratów długości jednego z boków tego trójkąta i kwadratu długości rzutu boku na trzeci bok jest taka sama dla obu tych boków. Następnie kolejny wierzchołek dwóch kwadratów przesuwamy do punktu przecięcia się przekątnych i otrzymujemy trójkąt prostokątny. Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż jeden z jego kątów to kąt pomiędzy poprzednio istniejącymi przekątnymi czworokąta, teraz bokami tego trójkąta. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Jest to teza twierdzenia Pitagorasa. Tak więc wychodząc od czworokąta o prostopadłych przekątnych doszliśmy do twierdzenia Pitagorasa.
Animacja prezentuje czworokąt o prostopadłych przekątnych, na bokach którego zbudowano kwadraty. Jeżeli w czworokącie przekątne są prostopadłe to sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Zmieniając położenie wierzchołka, należącego do dwóch kwadratów, przesuwamy je do punktu przecięcia przekątnych czworokąta i otrzymujemy trójkąt. Boki dwóch kwadratów są teraz jednym z boków tego trójkąta. Są one rzutami dwóch pozostałych boków trójkąta na ten bok. Nadal sumy pól odpowiednich kwadratów są równe, więc: w dowolnym trójkącie suma kwadratów długości jednego z boków tego trójkąta i kwadratu długości rzutu boku na trzeci bok jest taka sama dla obu tych boków. Następnie kolejny wierzchołek dwóch kwadratów przesuwamy do punktu przecięcia się przekątnych i otrzymujemy trójkąt prostokątny. Trójkąt ten jest prostokątny, gdyż jeden z jego kątów to kąt pomiędzy poprzednio istniejącymi przekątnymi czworokąta, teraz bokami tego trójkąta. Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Jest to teza twierdzenia Pitagorasa. Tak więc wychodząc od czworokąta o prostopadłych przekątnych doszliśmy do twierdzenia Pitagorasa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Sumy pól kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach są równe.
A
Ćwiczenie 7
Zapisz równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku.
RICej6Fdx0p941
Rysunki trzech trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości x i 4 oraz przeciwprostokątna długości 10. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 7 i m oraz przeciwprostokątna długości k. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości p i m oraz przeciwprostokątna długości z.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i86HoZsrOg_d5e470
A
Ćwiczenie 8
Trójkąty na rysunku są prostokątne. Niektóre z boków są wyróżnione kolorem zielonym. Znajdź długości tych boków.
R1aWbh48mUUo11
Rysunki trzech trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątna długości x. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 8 i x oraz przeciwprostokątna długości 10. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości 10 i x oraz przeciwprostokątna długości 26.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9
Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe , , natomiast długość przeciwprostokątnej jest równa . Uzupełnij tabelkę.
Tabela. Dane
A
Ćwiczenie 10
Trójkąty na rysunku są prostokątne. Oblicz długości boków oznaczonych literami.
RnElROuN5UFZF1
Rysunki sześciu trójkątów prostokątnych z podanymi długościami boków. Pierwszy trójkąt: przyprostokątne długości a i 1 oraz przeciwprostokątna długości x. Drugi trójkąt: przyprostokątne długości 4 i 4 oraz przeciwprostokątna długości b. Trzeci trójkąt: przyprostokątne długości pierwiastek z jedenastu i 5 oraz przeciwprostokątna długości c. Czwarty trójkąt: przyprostokątne długości 7 i d oraz przeciwprostokątna długości 8. Piąty trójkąt: przyprostokątne długości pierwiastek z dwóch i pierwiastek z siedmiu oraz przeciwprostokątna długości e. Szósty trójkąt: przyprostokątne długości 1 i f oraz przeciwprostokątna długości 4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11
Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym
przyprostokątne mają długości i ,
przyprostokątne są równe i , gdzie , a przeciwprostokątna ma długość
jedna z przyprostokątnych ma długość , a przeciwprostokątna ma długość .
stąd Przyprostokątne mają długości i .
A
Ćwiczenie 12
Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym
jedna z przyprostokątnych ma długość , a przeciwprostokątna ma długość ,
przeciwprostokątna ma długość , a jedna z przyprostokątnych jest dwukrotnie krótsza od drugiej,
jedna z przyprostokątnych ma długość , a przeciwprostokątna ma długość .
długość drugiej przyprostokątnej
– długości przyprostokątnych
– długość drugiej przyprostokątnej
classicmobile
Ćwiczenie 13
W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość , a najkrótszy . Wynika z tego, że średnia arytmetyczna długości wszystkich boków trójkąta jest równa
R1aKr22MoKFig
static
Ćwiczenie 13
W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość , a najkrótszy . Wynika z tego, że średnia arytmetyczna długości wszystkich boków trójkąta jest równa
RsekmmUHuzKho
classicmobile
Ćwiczenie 14
Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
RUDdv9xSVECsJ
Jeżeli długości dwóch boków trójkąta wyrażają się liczbami naturalnymi, to długość trzeciego boku też wyraża się liczbą naturalną.
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa sumie długości przyprostokątnych.
Długość najkrótszego boku trójkąta prostokątnego jest dwukrotnie krótsza od długości przeciwprostokątnej.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jednej z przyprostokątnych jest równy różnicy kwadratów długości przeciwprostokątnej i drugiej z przyprostokątnych.
static
Ćwiczenie 14
Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R17DItp4CT8Vp
Jeżeli długości dwóch boków trójkąta wyrażają się liczbami naturalnymi, to długość trzeciego boku też wyraża się liczbą naturalną.
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa sumie długości przyprostokątnych.
Długość najkrótszego boku trójkąta prostokątnego jest dwukrotnie krótsza od długości przeciwprostokątnej.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jednej z przyprostokątnych jest równy różnicy kwadratów długości przeciwprostokątnej i drugiej z przyprostokątnych.
classicmobile
Ćwiczenie 15
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości , natomiast przeciwprostokątna ma długość . Jeden z boków trójkąta wyraża się liczbą, która nie jest wymierna, gdy
RpcWyNBz2sE76
static
Ćwiczenie 15
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości , natomiast przeciwprostokątna ma długość . Jeden z boków trójkąta wyraża się liczbą, która nie jest wymierna, gdy
R1NJ21GVqup3V
A
Ćwiczenie 16
Losujemy dwie liczby naturalne ze zbioru liczb naturalnych od do . Liczby są długościami przyprostokątnych trójkąta. Znajdź długość przeciwprostokątnej .
Liczby spełniają warunek , stąd .
RjpU83gkO1pI21
Animacja prezentuje trójkąt ostrokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Kwadraty zbudowane na dwóch krótszych bokach zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawie równej najdłuższemu bokowi trójkąta A B C i polom równym polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W trakcie tworzenia równoległoboków z kwadratów nie zmieniły się ich wysokości. Następnie te równoległoboki zostały przekształcone w duży równoległobok. Ostatecznie dużego równoległoboku nie udało się umieścić w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku trójkąta ostrokątnego. Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta nie jest równa polu kwadratu zbudowanego na trzecim boku.
Animacja prezentuje trójkąt ostrokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Kwadraty zbudowane na dwóch krótszych bokach zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawie równej najdłuższemu bokowi trójkąta A B C i polom równym polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W trakcie tworzenia równoległoboków z kwadratów nie zmieniły się ich wysokości. Następnie te równoległoboki zostały przekształcone w duży równoległobok. Ostatecznie dużego równoległoboku nie udało się umieścić w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku trójkąta ostrokątnego. Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta nie jest równa polu kwadratu zbudowanego na trzecim boku.