Rationalizing the denominator

R1SI3r42jhkfA

Usuwanie niewymierności z mianownika

Learning objectives

Rationalizing the denominator.

Learning effect

You rationalize the denominator.

RuLTWm9GWDlof1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Rationalizing the denominatorrationalizing the denominatorRationalizing the denominator is transforming the fraction in such a way that its valuevaluevalue does not change and at the same time it is written without using the irrational numbernumbernumber in the denominatordenominatordenominator.

R19mnANHo2XNY1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyse the example of removing the square rootsquare rootsquare root of two from the denominatordenominatordenominator of the fraction. Pay attention to the numbernumbernumber by which we multiply the numeratornumeratornumerator and the denominatordenominatordenominator.

Example 1

\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Example 2

ROhkFAI8tFnAw1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Using computers, observe the next example of rationalizing the denominatorrationalizing the denominatorrationalizing the denominator.

RKuwP2jta9GTY1

RrmrAoNPHPXEO

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

By doing the chain of associations, make notes. Fill next parts of the chain with elements of the algorithm of removing the cube rootcube rootcube root from the denominatordenominatordenominator of the fraction.

RKivl9FeITcyM1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Compare your observations with the following example.

Example 3

\frac{6}{\sqrt[3]{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{4}}{{(\sqrt[3]{2})}^{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{4}}{2} = 3 \cdot \sqrt[3]{4}

R1ROqMUxLm79p1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Use shaped abilities in exercises.

Task 1

RmiF1ivBnV5BI1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Rationalize the denominatordenominatordenominator.

a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$

b) $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$

c) $\frac{9}{\sqrt{3}}$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

e) $\frac{3 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Task 2

RhwmBfyicHfsj1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Insert proper sign in the dotted space < , >.

Podpunkt a) ułamek trzy podzielić przez pierwiastek kwadratowy z dwóch [tu uzupełnij] ułamek pięć podzielić przez w mianowniku dwa razy pierwiastek kwadratowy z dwóch.
Podpunkt b) ułamek dwanaście podzielić przez w mianowniku pięć razy pierwiastek kwadratowy z trzech [tu uzupełnij] ułamek dziewięć podzielić przez pierwiastek kwadratowy z trzech.
Podpunkt c) ułamek siedem podzielić przez w mianowniku pięć razy pierwiastek kwadratowy z pięciu [tu uzupełnij] ułamek siedem podzielić przez w mianowniku dwa razy pierwiastek kwadratowy z pięciu.
Podpunkt d) ułamek trzy podzielić przez pierwiastek trzeciego stopnia z trzech [tu uzupełnij] ułamek pięć podzielić przez w mianowniku dwa razy pierwiastek trzeciego stopnia z trzech.

Task 3

R1ZpNNBqT1Oaa1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate.

a) $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{32}}$

b) $\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{3 \sqrt{5}} + \frac{1}{5 \sqrt{5}}$

c) $\frac{6}{\sqrt{50} + \sqrt{2}}$

Task 4

An extra task:

Rul52Yf0IQlPr1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Solve the equation $x \sqrt{2} = \sqrt{32} - \sqrt{20}$ .

Do the revision exercises.

Exercises

R168RdmcrYDnh

Exercise 1

After rationalizing the denominator $\frac{8}{3 \sqrt{6}}$ we obtain

$\frac{4 \sqrt{6}}{3}$
$\frac{8 \sqrt{6}}{9}$
$\frac{4 \sqrt{6}}{9}$
$\frac{8 \sqrt{6}}{3}$

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercise 2

Arrange the numbers in the increasing order:

$4 \sqrt{3}$ , $\frac{4}{5 \sqrt{3}}$ , $3 \sqrt{27}$ , $\frac{8 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{5 \sqrt{3}}$ , $4 \sqrt{3}$ , $\frac{8 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ , $3 \sqrt{27}$ .

Exercise 3

Compare numbers $\frac{17}{5 \sqrt{3}}$ and $\frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

Describe the solution in English.

ReXbBWohEqki1

Exercise 4

Match English terms with their Polish equivalents.

licznik, wartość, mianownik, przekształcanie wyrażeń, porównywanie liczb

numerator
value
denominator
transforming expressions
comparing numbers

R7Kdp197aEbLQ1

Match Polish terms with their English equivalents.

liczba
square root
pierwiastek sześcienny
rationalizing the denominator
działania na pierwiastkach
pierwiastek kwadratowy
cube root
usuwanie niewymierności z mianownika
operations on roots
number

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

comparing numbers

porównywanie liczb

R1Ah2erCDIT471

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: comparing numbers

cube root

pierwiastek sześcienny

R14hMbbQuBstJ1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: cube root

denominator

mianownik

R1LfwYNF5AFLT1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: denominator

number

liczba

R1QkozXry1Sbd1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: number

numerator

licznik

R19svwVkkixOY1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: numerator

operations on roots

działania na pierwiastkach

RvDAKlA6N3wx31

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: operations on roots

rationalizing the denominator

usuwanie niewymierności z mianownika

RX1mNSWGqBKLw1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: rationalizing the denominator

square root

pierwiastek kwadratowy

RrKbkskqFEXGh1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square root

transforming expressions

przekształcanie wyrażeń

RtV6LzTCc7OWC1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: transforming expressions

value

wartość

RkcOiDV89Jt0V1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: value

Keywords

cube rootcube rootcube root - z liczby a to taka liczba b, której sześcian jest równy liczbie a

operations on rootsoperations on rootsoperations on roots

rationalizing the denominatorrationalizing the denominatorrationalizing the denominator - takie przekształcenie ułamka, aby nie zmieniła się jego wartość, a jednocześnie został on zapisany bez użycia liczby niewymiernej w mianowniku

square rootsquare rootsquare root - z danej liczby nieujemnej a to taka liczba nieujemną b, której kwadrat jest równy liczbie a

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords