Styczna do krzywej w danym punkcie jest to prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą.
Taka definicja pozwala w miarę łatwo narysować styczną do danego wykresu funkcji w konkretnym punkcie, ale trudno z niej wyprowadzić wzór takiej prostej.
RfmZYBZYj45Wg
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to pomoże nam pochodna.
Z definicji geometrycznej pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie albo równoważnie jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej w tym punkcie.
Jeżeli mamy zatem daną funkcję różniczkowalną i punkt , należący do jej wykresu – to znaczy, że – oraz oznaczymy prostą styczną do wykresu tej funkcji w punkcie jako , to z powyższej definicji wiemy, że .
Musimy jeszcze wyznaczyć wartość parametru . Wiemy, że nasza prosta musi przechodzić przez punkt styczności , czyli spełnione jest równanie . Stąd widzimy, że .
Wstawiając tę postać do wzoru prostej, otrzymujemy i ostatecznie wyznaczamy wzór na prostą styczną w postaci
.
Przykłady stycznych do wykresu funkcji
Rozpatrzmy kilka prostych przypadków.
Przykład 1
Wyznaczymy wzór stycznej z rysunku, czyli stycznej do wykresu funkcjistyczna do krzywejstycznej do wykresu funkcji w punkcie .
RXKaQT4O4Kmwh
Rozwiązanie
Wzór ogólny pochodnej funkcji ma postać , więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy . Wzór prostej stycznej jest postaci , czyli w tym wypadku będzie to albo po uproszczeniu .
Przykład 2
Wyznaczymy wzór stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Rozwiązanie
Wzór ogólny pochodnej funkcji ma postać , więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy . Wzór ogólny prostej stycznej jest postaci , czyli w tym wypadku będzie to albo po uproszczeniu .
Rv1NOEZ2xqnsC
Przykład 3
Znajdziemy styczną do wykresu funkcji tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy .
Rozwiązanie
Możemy to zadanie rozwiązać graficznie, na przykład za pomocą apletu.
R1GxhTcEMb5SA
Spróbujmy to wykonać również algebraicznie.
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie jest równy , musimy zatem znaleźć taką wartość , żeby . Pochodna funkcji jest postaci , czyli otrzymujemy równość , której rozwiązaniem jest , stąd: .
Styczna w punkcie jest postaci , po uproszczeniu .
Nie każda styczna do wykresu funkcji jest dana wzorem , szczególnie w przypadku funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych w pojedynczym punkcie może mieć inną postać.
Przykład 4
Rozważmy funkcję . Jej pochodna jest równa i nie jest zdefiniowana dla . Zauważmy jednak, że blisko zera pochodne istnieją i dążą do nieskończoności, gdy się do zera zbliżamy, czyli w punktach blisko zera styczne istnieją i mają z jednej strony zera coraz mniejsze, z drugiej – coraz większe współczynniki kierunkowe, zatem są coraz bardziej pionowo nachylone. Pozwala nam to zgadnąć, że styczna do wykresu tej funkcji w punkcie jest prostą pionową, o wzorze .
R1Ir33Qd3PHAd
Przykład 5
Na koniec rozpatrzmy problem ruchu kuli, rzuconej przez kulomiota. Przed wyrzuceniem zawodnik obraca się z kulą przy szyi dookoła własnej osi, i kula zatacza okrąg. W momencie wypuszczenia kula będzie leciała w kierunku wskazanym przez prostą styczną do toru okręgu. Dla uproszczenia rozważań weźmiemy pod uwagę tylko górną połówkę okręgu, o promieniu równym , daną przez funkcję . Jej pochodna jest równa . Wybierzmy punkt styczności , przy czym pamiętajmy, że leży on na naszym okręgu, czyli wiemy, że . Wstawiając do wzoru na pochodną funkcji otrzymujemy postać współczynnika kierunkowego stycznej, . Wstawiając wszystkie dane do wzoru ogólnego na prostą styczną , otrzymujemy
,
czyli
,
i dalej
,
więc ostatecznie
albo .
Działanie naszego wzoru możemy obejrzeć w aplecie poniżej.
RwYPB0cm0fzMH
Słownik
styczna do krzywej
styczna do krzywej
prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej, oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą