Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w filmie samouczku, a następnie wykonaj polecenia.

R17l1MVq3avMD

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dhl1jDxZY

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej stycznej do krzywej.

Polecenie 2

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ w punkcie $x_{0} = 2$ .

Zauważmy, że $f (x_{0}) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2$ .

Policzmy teraz pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = {(\frac{1}{2} x^{2})}^{'} = x$ .

Zatem

$f' (x_{0}) = f' (2) = 2$ .

Przypomnijmy, że równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji $f$ jest:

$y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

Zatem równanie prostej stycznej do funkcji $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ w punkcie $x_{0} = 2$ jest postaci:

$y = 2 (x - 2) + 2$

$y = 2 x - 2$ .

R1A0drUUHjDcz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Parabola opisana jest wzorem y równa się jedna druga razy x kwadrat. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą opisaną równaniem y równa się dwa x odjąć dwa. Prosta ta przebiega między innymi przez punkty 0;-2 oraz 1;0. Prosta jest styczna do paraboli w punkcie A=2;2.

Polecenie 3

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f (x) = x^{3} - x$ jeżeli wiadomo, że ta styczna jest prostopadła do prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Współczynnik kierunkowy $a$ prostej, która jest prostopadła do wykresu funkcji $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ jest równy:

$a \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$

$a = 2 = f' (x_{0})$ .

Policzmy teraz pochodną funkcji $f$ :

$f' (x) = {(x^{3} - x)}^{'} = 3 x^{2} - 1$ .

Zatem

$3 {x_{0}}^{2} - 1 = 2$

$3 {x_{0}}^{2} = 3$

${x_{0}}^{2} = 1$ .

Stąd otrzymujemy, że $x_{0} = 1$ lub $x_{0} = - 1$ . Odpowiadające punkty na wykresie funkcji $f$ , to $A = (1, 0)$ i $B = (-1, 0)$ . Szukamy zatem dwóch prostych o postaci $y = 2 x + b$ , które przechodzą przez wyliczone punkty.

$A : 0 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = - 2$

$B : 0 = 2 \cdot (- 1) + b \Rightarrow b = 2$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy następujące równania stycznych:

$y = 2 x + 2$

$y = 2 x - 2$ .

R1cUtP4bzUaR0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano cztery obiekty. Pierwszy to wykres wielomianowy określony równaniem y=x3-x, który biegnie niemal pionowo w górę w trzeciej ćwiartce, w punkcie B=-1;0 wykres biegnie w górę i następnie łukowato w dół do początku układu współrzędnych, w którym przebija do czwartej ćwiartki. Wykres dalej biegnie w dół, o czym dalej biegnie w górę i przebija do pierwszej ćwiartki w punkcie A=0;1. Dalej funkcja biegnie niemal pionowo w górę. Następne dwa obiekty na płaszczyźnie to dwie ukośne równoległe proste przebiegające przez punkty A i B. Prosta przebiegająca przez punkt B określona jest równaniem y=2x+x. Prosta przebiegająca przez punkt A określona jest równaniem y=2x-x. Czwarty obiekt to ukośna prosta przecinająca dwie równoległe proste i przebiegająca przez punkt B. Określona jest ona wzorem y=-12x-12.

Przeczytaj

Sprawdź się