Styczna do krzywej w danym punkcie jest to prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą.

Wyznaczymy wzór stycznej z rysunku, czyli stycznej do wykresu funkcjistyczna do krzywejstycznej do wykresu funkcji $y=x^2$ w punkcie $\left(1,1\right)$.

RXKaQT4O4Kmwh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty $\left(0;-1\right)$ oraz $\left(1;1\right)$. Prosta jest styczna do paraboli.

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f\text{'}\left(x\right)=2x$, więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)=f\left(1\right)=2·1=2$. Wzór prostej stycznej jest postaci $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$, czyli w tym wypadku będzie to $y=2·\left(x-1\right)+1$ albo po uproszczeniu $y=2x-1$.

Wyznaczymy wzór stycznej do wykresu funkcji $y=x^2$ w punkcie $\left(2,4\right)$.

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f\text{'}\left(x\right)=2x$, więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)=f\left(2\right)=2·2=4$. Wzór ogólny prostej stycznej jest postaci $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$, czyli w tym wypadku będzie to $y=4·\left(x-2\right)+4$ albo po uproszczeniu $y=4x-4$.

Rv1NOEZ2xqnsC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty $\left(1;0\right)$ oraz $\left(2;3\right)$. Prosta jest styczna do paraboli w drugim z wymienionych punktów.

Znajdziemy styczną do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy $\left(-6\right)$.

Rozwiązanie

Możemy to zadanie rozwiązać graficznie, na przykład za pomocą apletu.

R1GxhTcEMb5SA

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą. Możemy wybrać różne wartości dla x indeks dolny zero. Gdy wybierzemy x indeks dolny zero równa się minus trzy, otrzymamy żądaną funkcję. Funkcja, która spełnia wymogi zadania określona jest wzorem: y, równa się, minus, sześć nawias, x, minus, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, plus, dziewięć, zatem po uproszeniu otrzymujemy y, równa się, minus, sześć x, minus, dziewięć.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą. Możemy wybrać różne wartości dla x indeks dolny zero. Gdy wybierzemy x indeks dolny zero równa się minus trzy, otrzymamy żądaną funkcję. Funkcja, która spełnia wymogi zadania określona jest wzorem: y, równa się, minus, sześć nawias, x, minus, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, plus, dziewięć, zatem po uproszeniu otrzymujemy y, równa się, minus, sześć x, minus, dziewięć.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3IFRbKUg

Spróbujmy to wykonać również algebraicznie.

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $\left(x_0,y_0\right)$ jest równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)$, musimy zatem znaleźć taką wartość $x_0$, żeby $a=-6$. Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f\text{'}\left(x\right)=2x$, czyli otrzymujemy równość $2x_0=-6$, której rozwiązaniem jest $x_0=-3$, stąd: $y_0=9$.

Styczna w punkcie $\left(x_0,y_0\right)=\left(-3,9\right)$ jest postaci $y=-6\left(x-\left(-3\right)\right)+9$, po uproszczeniu $y=-6x-9$.

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}$. Jej pochodna jest równa $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ i nie jest zdefiniowana dla $x=0$. Zauważmy jednak, że blisko zera pochodne istnieją i dążą do nieskończoności, gdy się do zera zbliżamy, czyli w punktach blisko zera styczne istnieją i mają z jednej strony zera coraz mniejsze, z drugiej – coraz większe współczynniki kierunkowe, zatem są coraz bardziej pionowo nachylone. Pozwala nam to zgadnąć, że styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $\left(0,0\right)$ jest prostą pionową, o wzorze $x=0$.

R1Ir33Qd3PHAd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą łukowato w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do początku układu współrzędnych. Stąd biegnie w pierwszej ćwiartce łukowato w górę do plus nieskończoności. Wykres jest symetryczny względem osi Y. Dodatkowo narysowano pionową prostą określoną równaniem x równa się zero.

Na koniec rozpatrzmy problem ruchu kuli, rzuconej przez kulomiota. Przed wyrzuceniem zawodnik obraca się z kulą przy szyi dookoła własnej osi, i kula zatacza okrąg. W momencie wypuszczenia kula będzie leciała w kierunku wskazanym przez prostą styczną do toru okręgu. Dla uproszczenia rozważań weźmiemy pod uwagę tylko górną połówkę okręgu, o promieniu równym $1$, daną przez funkcję $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$. Jej pochodna jest równa $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$. Wybierzmy punkt styczności $\left(x_0,y_0\right)$, przy czym pamiętajmy, że leży on na naszym okręgu, czyli wiemy, że $y_0=\sqrt{1-{x_0}^2}$. Wstawiając do wzoru na pochodną funkcji otrzymujemy postać współczynnika kierunkowego stycznej, $a=f\text{'}\left(x_0\right)=\frac{-x_0}{\sqrt{1-{x_0}^2}}=\frac{-x_0}{y_0}$. Wstawiając wszystkie dane do wzoru ogólnego na prostą styczną $y=a·\left(x-x_0\right)+y_0$, otrzymujemy

$y=\frac{-x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)+y_0$,

czyli

$y=\frac{-x_0\left(x-x_0\right)+{y_0}^2}{y_0}$,

i dalej

$y=\frac{-x_0·x+{x_0}^2+{y_0}^2}{y_0}$,

więc ostatecznie

$y=\frac{1-x_0·x}{y_0}$ albo $y=\frac{1-x_0·x}{\sqrt{1-{x_0}^2}}$.

Działanie naszego wzoru możemy obejrzeć w aplecie poniżej.

RwYPB0cm0fzMH

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano górną połowę okręgu jednostkowego określoną wzorem y, równa się, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Poza tym na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą, której położenie można zmieniać. Prosta jest styczna do półokręgu i zmiana jej położenia wpływa na wzór, który ją określa. Możemy wybrać wartość x indeks dolny 0 z zakresu od minus 0,95 do 0,95 co pięć setnych. Podajmy trzy przykłady. Przykład pierwszy. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek sześć pięć wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, zero przecinek osiem pięć. Przykład drugi. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, minus, zero przecinek dwa. Przykład trzeci. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dziewięć pięć wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, minus, trzy przecinek zero cztery.

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano górną połowę okręgu jednostkowego określoną wzorem y, równa się, pierwiastek kwadratowy z jeden, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Poza tym na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą, której położenie można zmieniać. Prosta jest styczna do półokręgu i zmiana jej położenia wpływa na wzór, który ją określa. Możemy wybrać wartość x indeks dolny 0 z zakresu od minus 0,95 do 0,95 co pięć setnych. Podajmy trzy przykłady. Przykład pierwszy. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek sześć pięć wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, zero przecinek osiem pięć. Przykład drugi. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, minus, zero przecinek dwa. Przykład trzeci. Dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dziewięć pięć wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi a, równa się, minus, trzy przecinek zero cztery.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3IFRbKUg

prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej, oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą