Styczna do krzywej w danym punkcie jest to prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg podobny do przebiegu krzywej oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą.

Wyznaczymy wzór stycznej z rysunku, czyli stycznej do wykresu funkcjistyczna do krzywejstycznej do wykresu funkcji $y=x^2$ w punkcie $\left(1,1\right)$.

RXKaQT4O4Kmwh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty $\left(0;-1\right)$ oraz $\left(1;1\right)$. Prosta jest styczna do paraboli.

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f\text{'}\left(x\right)=2x$, więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)=f\left(1\right)=2·1=2$. Wzór prostej stycznej jest postaci $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$, czyli w tym wypadku będzie to $y=2·\left(x-1\right)+1$ albo po uproszczeniu $y=2x-1$.

Wyznaczymy wzór stycznej do wykresu funkcji $y=x^2$ w punkcie $\left(2,4\right)$.

Rozwiązanie

Wzór ogólny pochodnej funkcji $f$ ma postać $f\text{'}\left(x\right)=2x$, więc współczynnik kierunkowy prostej stycznej będzie równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)=f\left(2\right)=2·2=4$. Wzór ogólny prostej stycznej jest postaci $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$, czyli w tym wypadku będzie to $y=4·\left(x-2\right)+4$ albo po uproszczeniu $y=4x-4$.

Rv1NOEZ2xqnsC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty $\left(1;0\right)$ oraz $\left(2;3\right)$. Prosta jest styczna do paraboli w drugim z wymienionych punktów.

Znajdziemy styczną do wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ tak, by jej współczynnik kierunkowy był równy $\left(-6\right)$.

Rozwiązanie

Możemy to zadanie rozwiązać graficznie, na przykład za pomocą apletu.

R1GxhTcEMb5SA

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą. Możemy wybrać różne wartości dla x indeks dolny zero. Gdy wybierzemy x indeks dolny zero równa się minus trzy, otrzymamy żądaną funkcję. Funkcja, która spełnia wymogi zadania określona jest wzorem: $y=-6\left(x-\left(-3\right)\right)+9$, zatem po uproszeniu otrzymujemy $y=-6x-9$.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o ramionach skierowanych do góry. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą. Możemy wybrać różne wartości dla x indeks dolny zero. Gdy wybierzemy x indeks dolny zero równa się minus trzy, otrzymamy żądaną funkcję. Funkcja, która spełnia wymogi zadania określona jest wzorem: $y=-6\left(x-\left(-3\right)\right)+9$, zatem po uproszeniu otrzymujemy $y=-6x-9$.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3IFRbKUg

Spróbujmy to wykonać również algebraicznie.

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $\left(x_0,y_0\right)$ jest równy $a=f\text{'}\left(x_0\right)$, musimy zatem znaleźć taką wartość $x_0$, żeby $a=-6$. Pochodna funkcji $f$ jest postaci $f\text{'}\left(x\right)=2x$, czyli otrzymujemy równość $2x_0=-6$, której rozwiązaniem jest $x_0=-3$, stąd: $y_0=9$.

Styczna w punkcie $\left(x_0,y_0\right)=\left(-3,9\right)$ jest postaci $y=-6\left(x-\left(-3\right)\right)+9$, po uproszczeniu $y=-6x-9$.

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}$. Jej pochodna jest równa $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ i nie jest zdefiniowana dla $x=0$. Zauważmy jednak, że blisko zera pochodne istnieją i dążą do nieskończoności, gdy się do zera zbliżamy, czyli w punktach blisko zera styczne istnieją i mają z jednej strony zera coraz mniejsze, z drugiej – coraz większe współczynniki kierunkowe, zatem są coraz bardziej pionowo nachylone. Pozwala nam to zgadnąć, że styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $\left(0,0\right)$ jest prostą pionową, o wzorze $x=0$.

R1Ir33Qd3PHAd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą łukowato w drugiej ćwiartce od minus nieskończoności do początku układu współrzędnych. Stąd biegnie w pierwszej ćwiartce łukowato w górę do plus nieskończoności. Wykres jest symetryczny względem osi Y. Dodatkowo narysowano pionową prostą określoną równaniem x równa się zero.

Na koniec rozpatrzmy problem ruchu kuli, rzuconej przez kulomiota. Przed wyrzuceniem zawodnik obraca się z kulą przy szyi dookoła własnej osi, i kula zatacza okrąg. W momencie wypuszczenia kula będzie leciała w kierunku wskazanym przez prostą styczną do toru okręgu. Dla uproszczenia rozważań weźmiemy pod uwagę tylko górną połówkę okręgu, o promieniu równym $1$, daną przez funkcję $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$. Jej pochodna jest równa $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$. Wybierzmy punkt styczności $\left(x_0,y_0\right)$, przy czym pamiętajmy, że leży on na naszym okręgu, czyli wiemy, że $y_0=\sqrt{1-{x_0}^2}$. Wstawiając do wzoru na pochodną funkcji otrzymujemy postać współczynnika kierunkowego stycznej, $a=f\text{'}\left(x_0\right)=\frac{-x_0}{\sqrt{1-{x_0}^2}}=\frac{-x_0}{y_0}$. Wstawiając wszystkie dane do wzoru ogólnego na prostą styczną $y=a·\left(x-x_0\right)+y_0$, otrzymujemy

$y=\frac{-x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)+y_0$,

czyli

$y=\frac{-x_0\left(x-x_0\right)+{y_0}^2}{y_0}$,

i dalej

$y=\frac{-x_0·x+{x_0}^2+{y_0}^2}{y_0}$,

więc ostatecznie

$y=\frac{1-x_0·x}{y_0}$ albo $y=\frac{1-x_0·x}{\sqrt{1-{x_0}^2}}$.

Działanie naszego wzoru możemy obejrzeć w aplecie poniżej.

RwYPB0cm0fzMH

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano górną połowę okręgu jednostkowego określoną wzorem $y=\sqrt{1-x^2}$. Poza tym na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą, której położenie można zmieniać. Prosta jest styczna do półokręgu i zmiana jej położenia wpływa na wzór, który ją określa. Możemy wybrać wartość x indeks dolny 0 z zakresu od minus 0,95 do 0,95 co pięć setnych. Podajmy trzy przykłady. Przykład pierwszy. Dla $x_0=0,65$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=0,85$. Przykład drugi. Dla $x_0=0,2$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=-0,2$. Przykład trzeci. Dla $x_0=0,95$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=-3,04$.

W aplecie przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano górną połowę okręgu jednostkowego określoną wzorem $y=\sqrt{1-x^2}$. Poza tym na płaszczyźnie narysowano ukośną prostą, której położenie można zmieniać. Prosta jest styczna do półokręgu i zmiana jej położenia wpływa na wzór, który ją określa. Możemy wybrać wartość x indeks dolny 0 z zakresu od minus 0,95 do 0,95 co pięć setnych. Podajmy trzy przykłady. Przykład pierwszy. Dla $x_0=0,65$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=0,85$. Przykład drugi. Dla $x_0=0,2$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=-0,2$. Przykład trzeci. Dla $x_0=0,95$ wartość współczynnika kierunkowego prostej wynosi $a=-3,04$.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3IFRbKUg

prosta, która w małym otoczeniu tego punktu ma przebieg zbliżony do przebiegu krzywej, oraz ma w tym otoczeniu dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą