1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

R1AgIet1csrob

Znasz już zapewne funkcję liniową i funkcję kwadratową. W przypadku funkcji kwadratowych niewiadoma (zwykle $x$ ) była podniesiona do potęgi drugiej (mogła też wystąpić w pierwszej potędze). Wielomiany pozwalają na używanie potęg o innych wykładnikach naturalnych, są więc pewnym uogólnieniem funkcji liniowych i kwadratowych.

Twoje cele

Rozpoznasz jednomian.
Poznasz pojęcie wielomianu.
Określisz stopień wielomianu jednej zmiennej.
Ustalisz, czym różni się wielomian zerowy od wielomianu stopnia zero.
Poznasz przykłady porządkowania wielomianów z jedną zmienną.
Udoskonalisz umiejętności nabyte przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych.

Jednomian

Definicja: Jednomian

Jednomianem zmiennej $x$ nazywamy iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym.

Wielomian

Definicja: Wielomian

Wielomianem nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian).

Wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

Liczby $a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{2}$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ to współczynniki wielomianu ( $a_{n} \neq 0$ ).

Współczynnik $a_{0}$ to wyraz wolny wielomianuwyraz wolny wielomianuwyraz wolny wielomianu.

Przykład 1

Wielomianami są wyrażenia:

$W (x) = - 3 x^{6} + 12 x^{5} - x^{3} - 1$

$W (x) = 2 x - x^{2} + 4 x^{3} - 8 x^{8} + x^{6} - 2 x^{7}$

$f (x) = - \frac{3 x^{5}}{4} + 11 x^{3} - 17 \sqrt[3]{5} x^{6} + \frac{13}{2 + \sqrt{3}}$

Przykład 2

Wielomianami nie są wyrażenia:

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - \frac{5}{x} + 3$

$g (x) = - 3 \sqrt{x} + 4 x^{3} + \frac{x}{3 + x}$

Wielomian $W (x)$ jest funkcją niewiadomej $x$ .

Przykład 3

Dany jest wielomianwielomianwielomian

$W (x) = x^{13} - 13 x^{12} + 13 x^{11} - 13 x^{10} + \dots + 13 x^{3} - 13 x^{2} + 13 x$ .

Jak obliczyć jego wartość w niektórych przypadkach?

$W (0) = 0$

$W (1) = 1 - 13 + 13 - 13 + \dots - 13 + 13 = 1$

$W (- 1) = - 1 - 13 - 13 - 13 - \dots - 13 - 13 = 1 - 13 \cdot 12 = - 157$

$W (12) = 12^{13} - (12 + 1) \cdot 12^{12} + (12 + 1) \cdot 12^{11} - \dots$

$\dots + (12 + 1) \cdot 12^{2} + (12 + 1) \cdot 12 =$

$= 12^{13} - 12^{13} - 12^{12} + 12^{12} + 12^{11} - \dots - 12^{3} - 12^{2} + 12^{2} + 12 = 12$

Przykład 4

Dany jest wielomian

$W (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ,

w którym wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Wiadomo, że dla każdego całkowitego $x$ liczba $W (x)$ jest podzielna przez $11$ .

Udowodnij, że wszystkie współczynniki wielomianu są podzielne przez $11$ .

RRCagitQhIUtV

Polecenie 1

Zagraj w grę. Twoim zadaniem będzie utworzenie wielomianów z podanych jednomianów.

Rozwiąż quiz składający się z pytań jednokrotnego wyboru na trzech poziomach trudności.

Poziom pierwszy.

RFHmOkpIsLAR7

RHAWauzXD4uJe

Poziom drugi.

R7Xx5nZ9n8myy

R1PGE5JgLRnXe

Poziom trzeci.

R1ZqUj5CiThfi

R1AQ7KBOnY2E8

R4JCT0odQoWWM1

Polecenie 2

Przeanalizuj materiał pokazujący dodawanie jednomianów.

Na planszy jest 12 jednomianów. Dodamy je uzyskując wielomian. Kolejne kroki można prześledzić na zaprezentowanych slajdach.

RDVfujZVlWpoE

Zastanów się, jaki jednomian należy dopisać na planszy, aby uzyskać wielomian $6 x^{4} + 7 x^{3} + 15 x^{2} + 12 x + 6$ .

Brakujący jednomian: $- 5 x^{5}$

Polecenie 2

RTGGC8sSPshKo

Stopień wielomianu

Definicja: Stopień wielomianu

Dany jest wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ,
przy czym $a_{n} \neq 0$ .

Stopniem wielomianu nazywamy liczbę $n$ odpowiadającą najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ .
Jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$ .
Jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia.

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

Stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

Przykład 5

$W_{1} (x) = 32 x^{5} - 80 \sqrt{2} x^{4} + 160 x^{3} - 80 \sqrt{2} x^{2} + 40 x - 4 \sqrt{2}$ ,
wtedy $deg (W_{1} (x)) = 5$ .
$W_{2} (x) = (3 x^{2} + 1)^{12}$ ,
wtedy $deg (W_{2} (x)) = 24$
$W_{3} (x) = (5 x^{6} - 2 x^{5} + 3 x^{2} - 11) - 5 x^{3} (x^{3} + 3 x - 1)$ ,
wtedy $deg (W_{3} (x)) = 5$ , ponieważ współczynnik przy $x^{6}$ po redukcji wyrazów podobnych wyniesie $0$ .

Przykład 6

Określmy stopień podanych wielomianówstopień wielomianu jednej zmiennejstopień podanych wielomianów

RP1xvaqSX8w3H

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

, P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

, Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzysta, koniec indeksu górnego

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego

Wiadomo, że W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias trzy x, minus, pięć zamknięcie nawiasu
Zauważmy, że obliczając ten iloczyn najwyższą potęgę przy x uzyskamy w składniku siedemnaście razy poniżej ⏟ poniżej trzy x, razy, trzy x, razy, wielokropek, razy, trzy x, równa się, trzy indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, x indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego
Zatem deg nawias, W nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, siedemnaście

P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Składnikiem o najwyższej potędze będzie dwadzieścia jeden razy poniżej ⏟ poniżej pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, wielokropek, razy, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, x indeks górny, czterdzieści dwa, koniec indeksu górnego
zatem deg nawias, P nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści dwa

Wiemy, że Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzysta razy poniżej ⏟ poniżej nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, nawias, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu
Rozumując analogicznie jak poprzednio uzyskujemy deg nawias, Q nawias x zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa tysiące sto

Przykład 7

Dany jest wielomian trzeciego stopnia $W (x)$ . Wiadomo, że

$W (1) = - 11$
$W (2) = - 22$
$W (3) = 1$
$W (4) = 88$

Czy na tej podstawie można określić wzór wielomianuwielomianwielomianu?

R7oa8K8NBMdoD

Polecenie 3

W zadaniach z funkcją kwadratową często pojawiał się parametr. Podobnie może być przy wielomianach stopnia innego niż $2$ .

Przeanalizuj, jak zmieniają się współczynniki podanego wielomianu $W (x)$ w zależności od parametru $m$ . Zobacz, jakie wartości może przyjmować stopień wielomianu.

R1DFnPHcgTdGT

Polecenie 4

R1OYJ96lC4Yil

Polecenie 5

Ustal stopień wielomianu w zależności od parametru $m$ .

$W (x) = (m^{2} + 3 m - 10) x^{3} - (m^{2} - m - 2) x^{2} + (m^{2} + 5 m) x + 4 m - 8$

Rozważany wielomian może być co najwyżej stopnia trzeciego.

Wielomian $W (x)$ będzie wielomianem stopnia trzeciego wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik $a_{3}$ przy $x^{3}$ , czyli wyrażenie $m^{2} + 3 m - 10$ przyjmie wartość różną od $0$ .

Przekształcamy wyrażenie i sprowadzamy do postaci iloczynowej.

$m^{2} + 3 m - 10 = (m - 2) (m + 5)$

Wyrażenie to przyjmuje wartość $0$ wyłącznie dla $m = 2$ lub $m = - 5$ .

Zatem dla $m \in ℝ ∖ {- 5; 2}$ wielomian $W (x)$ jest wielomianem stopnia trzeciego.

Przeanalizujmy jak zmienia się współczynnik $a_{2}$ przy $x^{2}$ . Możemy wyrażenie $- (m^{2} - m - 2)$ sprowadzić do postaci iloczynowej. Prościej jednak będzie po prostu sprawdzić, jakie wartości przyjmuje dla $m \in {- 5; 2}$ .

dla $m = - 5$ otrzymujemy $- (m^{2} - m - 2) = - (25 + 5 - 2) = - 28 \neq 0$ ,
czyli $W (x)$ jest wielomianem stopnia drugiego,
dla $m = 2$ otrzymujemy $- (m^{2} - m - 2) = - (4 - 2 - 2) = 0$ ,
zatem wielomian na pewno nie jest stopnia trzeciego, ani nie jest stopnia drugiego.

Musimy jeszcze przeanalizować wartości współczynników przy niższych potęgach. Sprawdźmy wartość współczynnika $a_{1}$ przy $x$ dla $m = 2$ . Współczynnik przy $x$ to $m^{2} + 5 m = 14 \neq 0$ , czyli $W (x)$ jest wtedy wielomianem stopnia pierwszego.

Wartość wyrazu wolnego $a_{0}$ nie ma wpływu na stopień wielomianu $W (x)$ , dlatego dalsza analiza parametru $m$ nie jest potrzebna.

deg (W (x)) = \{\begin{cases} 1 dla m = 2 \\ 2 dla m = - 5 \\ 3 dla m \in ℝ ∖ {- 5; 2} \end{cases}

Polecenie 6

Ustal, jaki jest stopień wielomianu $W (x) = (3 p^{2} - 5 p - 2) x^{4} + (3 p^{2} - 2 p - 1) x^{2} - (9 p^{2} - 1) x + (3 p + 1)$ w zależności od parametru $p$ .

deg (W (x)) = \{\begin{cases} 0 dla p = - \frac{1}{3} \\ 2 dla p = 2 \\ 4 dla p \in ℝ ∖ \{- \frac{1}{3}; 2\} \end{cases}

W przypadku wielomianu jednej zmiennej porządkujemy go zwykle w kolejności malejących stopni jednomianów - czyli doprowadzamy do znanej z definicji wielomianu postaci $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ .

Przykład 8

Uporządkujmy wielomian $W (x) = - 3 x + 11 x^{7} - 5 x^{2} - 7 x^{3} - 2 x^{7} - 9$

R1RMSQTGawVOG

Przykład 9

W podobny sposób uporządkujmy wielomian $W (x) = 7 x \sqrt{3} - 12 x^{3} + x \sqrt{5} + 4 x^{2} \sqrt{2} - 9 x - x^{2} \sqrt{11} + 4 - 8 \sqrt{2} x^{3}$ .

R4RCxNzCHaHJ6

minus, dwanaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, wielokropek, plus, siedem x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, x pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć x W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego plus, nawias, siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, wielokropek, plus, cztery W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, dwanaście, minus, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z jedenaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego plus, nawias, siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, x, plus, cztery

Polecenie 7

Dany jest wielomian jednej zmiennej $x$ , w którego zapisie występują również parametry. Przeanalizuj poniższą prezentację pokazującą, jak uporządkować taki wielomian.

R1QBZZDMCRU4D

Polecenie 8

Postępując analogicznie jak w prezentacji, uporządkuj wielomian $W (x) = 3 \sqrt{7} x^{6} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{2} x^{3} + 4 x^{6} - 11 x + 7 x^{2} - \sqrt[3]{2} x +$ $+ \frac{2}{3} + \frac{x^{3}}{2} - 5 \sqrt{3} x^{5} + 3 \sqrt{5} x^{3}$ , zapisując go w kolejności malejących potęg przy niewiadomej.

$W (x) = (3 \sqrt{7} + 4) x^{6} - 5 \sqrt{3} x^{5} + \frac{10 \sqrt{2} + 1 + 6 \sqrt{5}}{2} x^{3} + 5 x^{2} - (11 + \sqrt[3]{2}) x + \frac{2}{3}$ .

Rn0iR4mAx3Im71

Ćwiczenie 1

RTeZKEVrJLkXd1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

RN3txhhreqsO7

R1e9hpqAlWEzs

Dany jest wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, pięć. Dobierz w pary wartości tego wielomianu dla odpowiednich argumentów x. W nawias, zero, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, cztery, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem W nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. jedenaście, 2. minus, trzynaście, 3. minus, pięć, 4. pięćdziesiąt, 5. minus, dziesięć, 6. minus, trzydzieści osiem, 7. minus, cztery, 8. minus, osiem

R1VpK8cIW9YdE21

Ćwiczenie 4

Połącz w pary wzory dotyczące tego samego wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sto sześćdziesiąt dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto siedemdziesiąt cztery x, minus, siedemdziesiąt dziewięć, 2. W nawias trzy x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemnaście x, plus, jeden, 3. W nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć x, plus, sześć, 4. W nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt trzy x, minus, trzydzieści W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sto sześćdziesiąt dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto siedemdziesiąt cztery x, minus, siedemdziesiąt dziewięć, 2. W nawias trzy x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemnaście x, plus, jeden, 3. W nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć x, plus, sześć, 4. W nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt trzy x, minus, trzydzieści W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sto sześćdziesiąt dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto siedemdziesiąt cztery x, minus, siedemdziesiąt dziewięć, 2. W nawias trzy x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemnaście x, plus, jeden, 3. W nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć x, plus, sześć, 4. W nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt trzy x, minus, trzydzieści W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x, minus, trzynaście Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sto sześćdziesiąt dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto siedemdziesiąt cztery x, minus, siedemdziesiąt dziewięć, 2. W nawias trzy x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiemnaście x, plus, jeden, 3. W nawias x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć x, plus, sześć, 4. W nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt trzy x, minus, trzydzieści

R3dMhzwIUf3G82

Ćwiczenie 5

RL2P5eCGuBFug2

Ćwiczenie 6

RDLd67MXLGHwL2

Ćwiczenie 7

RSGjpLx5LRqEt2

Ćwiczenie 8

R14yfqYbWBL7d1

Ćwiczenie 9

Pogrupuj wielomiany według ich stopnia. wielomian stopnia zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego wielomian stopnia większego od trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, trzy x, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć x, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jedenaście, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. nawias trzy x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy nawias x, plus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 5. trzy nawias dwa x, minus, siedem zamknięcie nawiasu, minus, dwa nawias trzy x, plus, szesnaście zamknięcie nawiasu, 6. początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, trzynaście indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 10

RCUXSrdkSOneZ

R1CcvWFNIyDRV

Dobierz w pary wielomiany tego samego stopnia. nawias pięć x zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa x, plus, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu nawias x, minus, pięć zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu dwa, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. zero, 2. trzynaście, minus, początek ułamka, x, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. x nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, zamknięcie nawiasu, 5. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. nawias jeden, minus, x zamknięcie nawiasu nawias trzy x, minus, siedem zamknięcie nawiasu

Rh0bpzvW75Vfq2

Ćwiczenie 11

R1SsypAObmdRj2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

R15w60u4cuKQo1

Określ stopień każdego z podanych wielomianów i podaj wartość jego wyrazu wolnego. $W (x) = 3 x^{5} - 2 x^{3} + 7, P (x) = 5 x^{6} - 4 x^{2} + 7, Q (x) = 5 x^{3} - 4 x^{2} + 7$

RfPZ1TUm9yUfJ

Ćwiczenie 14

RqAq3Z8bGPQfF2

Podaj stopnie obu wielomianów i oceń, który wielomian jest wyższego stopnia. $P (x) = \frac{{(x + 2)}^{3} (x - 2)}{x^{2} - 4}, Q (x) = \frac{25 - x^{4}}{10 + 2 x^{2}}$

RL5K7u4Fdg1Q4

RS9Dy5riijtj03

Ćwiczenie 15

Wyznacz wzór wielomianu trzeciego stopnia W nawias x zamknięcie nawiasu wiedząc, że W nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia trzy, W nawias, minus, jeden zamknięcie nawiasu, równa się, dziesięć, W nawias jeden zamknięcie nawiasu, równa się, osiem i W nawias dwa zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pięć. W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się 1. jedenaście, 2. jeden, 3. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 5. zero, 6. dziewięć, 7. siedem, 8. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 9. dwa, 10. siedem, 11. zero, 12. jeden, 13. dwa, 14. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 15. dziewięć, 16. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 17. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 18. jedenaściex indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus1. jedenaście, 2. jeden, 3. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 5. zero, 6. dziewięć, 7. siedem, 8. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 9. dwa, 10. siedem, 11. zero, 12. jeden, 13. dwa, 14. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 15. dziewięć, 16. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 17. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 18. jedenaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus 1. jedenaście, 2. jeden, 3. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 5. zero, 6. dziewięć, 7. siedem, 8. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 9. dwa, 10. siedem, 11. zero, 12. jeden, 13. dwa, 14. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 15. dziewięć, 16. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 17. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 18. jedenaściex, plus1. jedenaście, 2. jeden, 3. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 5. zero, 6. dziewięć, 7. siedem, 8. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 9. dwa, 10. siedem, 11. zero, 12. jeden, 13. dwa, 14. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 15. dziewięć, 16. nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 17. nawias, minus, trzy zamknięcie nawiasu, 18. jedenaście

Ćwiczenie 16

Dany jest wielomian $W (x) =$ $(m^{4} + 2 m^{3} - m^{2} - 2 m) x^{5} +$ $(m^{3} + m^{2} - 2 m) x^{4} +$ $(m^{3} + 2 m^{2} - m - 2) x^{3} +$ $(m^{3} + m^{2} - 2 m) x^{2} +$ $(m^{2} - 1) x +$ $(m^{2} + 3 m + 2)$

Ustal stopień wielomianu $W (x)$ dla podanych wartości parametru $m$ .

R17D11lyf2eGI

RbN8VwZ8nQV0k1

Ćwiczenie 17

Ustaw podane elementy tworząc wielomian uporządkowany w kolejności malejących wykładników przy niewiadomej: W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego 1. plus, początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 2. minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 3. plus, początek ułamka, trzynaście pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, 4. plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 6. minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R1SsXhCY4pYUt1

Ćwiczenie 18

R3F3Ijl3ZExTt1

Ćwiczenie 19

RfdrW6VVGdSXS1

Ćwiczenie 20

R1KXh3XPVLTxO1

Ćwiczenie 21

R1ecnOM5U9KXQ2

Ćwiczenie 22

Dany jest wielomian W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plussześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa a d, pluscztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wskaż postać wielomianu po uporządkowaniu według malejącego stopnia i wykładnika przy kolejnych zmiennych. Możliwe odpowiedzi: 1. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plusdwa a d, plus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa się minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusdziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusd indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plus, dwa a d, minus, cztery b d, 3. W nawias a, przecinek, b, przecinek, c, przecinek, d zamknięcie nawiasu, równa sięa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery a b, plussześć a c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a d indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dwa a d, pluscztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście b c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b d, plus, dziewięć c indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plussześć c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, d, plus, d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, d indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego

R17aGI4DwuUag2

Ćwiczenie 23

Uporządkuj wielomian trzech zmiennych. W nawias x, przecinek, y, przecinek, zet zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego1. minus, dziewięć, 2. plus, trzydzieści sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. plus, dwanaście x y zet, 5. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 6. minus, pięćdziesiąt cztery x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet, 7. plus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 8. minus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. plus, dziewięć x y zet indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, 10. plus, zet indeks górny, dwanaście, koniec indeksu górnego, 11. plus, dwadzieścia siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 12. minus, trzydzieści sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 24

R1IXBpkzgViXT

Zaznacz odpowiednimi kolorami składniki, których suma po uporządkowaniu utworzy podane wielomiany. Kolorem czerwonym zaznacz składniki wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka. Kolorem zielonym zaznacz składniki wielomianu P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Kolorem żółtym zaznacz składniki wielomianu Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

\frac{1}{24} x^{}

\frac{1}{12} x^{}

\frac{1}{6} x^{}

\frac{1}{3} x^{}

\frac{2}{3} x^{}

\frac{1}{24}^{}

\frac{1}{12}^{}

\frac{1}{6}^{}

\frac{1}{3}^{}

\frac{2}{3}^{}

\frac{1}{24} x^{}

\frac{1}{12} x^{}

\frac{1}{6} x^{}

\frac{1}{3} x^{}

\frac{2}{3} x^{}

\frac{1}{24}^{}

\frac{1}{12}^{}

\frac{1}{6}^{}

\frac{1}{3}^{}

\frac{2}{3}^{}

RZ20V8ycCpV7S

Uporządkuj podane elementy w taki sposób, aby składniki dawały podany wielomian. W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 10. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 11. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, x indeks górny, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, indeks górny, 13. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, trzy, 14. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, indeks górny, 15. początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, indeks górny, 16. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, x indeks górny, 17. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, 18. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, 19. początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, indeks górny, 20. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa

Słownik

jednomian zmiennej

x

jednomian zmiennej

x

iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian); wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

wyraz wolny wielomianu

składnik wielomianu, w którym nie występuje niewiadoma

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (przy założeniu, że $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi wielomianu; jeśli wielomian jest stałą niezerową, to jego stopień wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Symbol stopnia wielomianu $W (x)$ : $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$ .

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

M_R_W14_M2 Działania na wielomianach

1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

Słownik