Przekształcanie wzorów

Wzór to inaczej równanie matematyczne wyrażające związek między pewnymi zmiennymi wielkościami. Może w nim występować jedna lub kilka niewiadomych. Przekształcanie wzorów polega na wyznaczaniu niewiadomej w zależności od innych zmiennych.
Ma to zastosowanie przy wyznaczaniu potrzebnych niewiadomych ze wzorów matematycznych, fizycznych, chemicznych.

Przykład 1

RWDV5CVH4ft4A1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RQWHsppuzHaBe1

Przykład 3

R11r7rO3P7Ki31

iI4YjmYz11_d5e183

Ćwiczenie 1

R1Jy6fC3ElXrt1

Połącz w pary wzór z jego opisem.

wzór na obwód dowolnego trójkąta, wzór na obwód prostokąta, wzór na obwód trójkąta równobocznego, wzór na obwód kwadratu, wzór na obwód trójkąta równoramiennego

3a
2a+b
a+b+c
2a+2b
4a

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RYJpyuL6cpPNr1

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{5}$ , $\frac{5}{2}$ , $4$ , $\frac{3}{2}$

Jeśli $y = 0, 25 x$ , to $x =$ ............ $y$
Jeśli $s = 0, 4 t$ , to $t =$ ............ $s$
Jeśli $z = 5 v$ , to $v =$ ............ $z$
Jeśli $p = \frac{2}{3} q$ , to $q =$ ............ $p$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Z podanego wzoru wyznacz zmienną $x$ .

$2 x - 1 = x + 2 a$
$1 - x = 1 - 2 a$
$x + 2 y + z = y$
$a + ab + 2 x = b + 3 x$

$x = 2 a + 1$
$x = 2 a$
$x = - y - z$
$x = a + ab - b$

Ćwiczenie 4

Z podanego równania

$2 x - 3 a = 3 a + 2$ wyznacz $a$ i $x$
$5 z - 4 x = 3 v + 3 z + 3 x$ wyznacz $z$ , $x$ i $v$
$2 (a - 2 b) = 3 (2 a + b)$ wyznacz $a$ i $b$
$3 x - 3 (a - 2 x) = a + 2 (a + 5 x)$ wyznacz $a$ i $x$

$a = \frac{x - 1}{3}$ , $x = 3 a + 1$
$z = \frac{7 x + 3 v}{2}$ $x = \frac{2 z - 3 v}{7}$ , $v = \frac{2 z - 7 x}{3}$
$a = \frac{- 7 b}{4}$ , $b = \frac{- 4 a}{7}$
$x = - 6 a,$ $a = \frac{- x}{6}$

Ćwiczenie 5

RlAQnJ7XQOZ5C1

Z podanego wzoru wyznacz zmienną $x$ . Przyjmij, że wszystkie zmienne są różne od zera.

Przeciągnij i upuść.

$x = \frac{- 6 p - p q + 1}{p}$ , $x = \frac{b - 7 a b}{8 a}$ , $x = \frac{a + c}{5 b}$ , $x = \frac{- 6 p - p q - 1}{p}$ , $x = \frac{a - c}{5 b}$ , $x = \frac{2 n + 3 m n}{5}$ , $x = \frac{7 a b - b}{8 a}$ , $x = \frac{2 - 3 m}{5}$

$2 b x - a = c - 3 b x$ ......................................
$3 n m - 5 n x = 2 n (1 - 5 x)$ ......................................
$2 a b - 2 a x + b = 3 a (2 x + 3 b)$ ......................................
$- 2 (p x + p) + p q = p (4 - x + 2 q) + 1$ ......................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Z podanego wzoru wyznacz wskazane zmienne. Wszystkie zmienne są liczbami dodatnimi.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ wyznacz $c$ i $d$
$\frac{a}{2 b} = \frac{3 c}{d}$ wyznacz $c$ i $d$
$\frac{a + 1}{b} = \frac{2}{c}$ wyznacz $b$ i $c$
$\frac{a}{b + 1} = \frac{3 c}{d + 2}$ wyznacz $a$ i $c$

$c = \frac{ad}{b},$ $d = \frac{bc}{a}$
$c = \frac{ad}{6 b}$ , $d = \frac{6 bc}{a}$
$b = \frac{(a + 1) c}{2}$ , $c = \frac{2 b}{a + 1}$
$a = \frac{3 c (b + 1)}{d + 2}$ , $c = \frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}$

Ćwiczenie 7

Z podanego wzoru wyznacz wskazaną zmienną. Podaj konieczne założenia.

$P = \frac{a + b}{2} ∙ h$ wyznacz $h$
$O = 3 (a + b + c)$ wyznacz $b$
$V = a ∙ b ∙ h$ wyznacz $h$
$V = \frac{1}{3} a^{2} ∙ h$ wyznacz $h$

$h = \frac{2 P}{a + b} a \neq - b$
$b = \frac{O - 3 a - 3 c}{3}$
$h = \frac{V}{a * b}, a \neq 0$ i $b \neq 0$
$h = \frac{3 V}{a^{2}}, a \neq 0$

Ćwiczenie 8

Z podanego wzoru wyznacz wskazaną zmienną. Podaj konieczne założenia.

$I = \frac{U}{R}$ , wyznacz $U$
$F = m ∙ a$ , wyznacz $m$
$s = \frac{a ∙ t^{2}}{2}$ , wyznacz $a$
$\frac{T_{1}}{v_{1}} = \frac{T_{2}}{v_{2}}$ , wyznacz $T_{1}$

$U = IR$
$m = \frac{F}{a}, a \neq 0$
$a = \frac{2 s}{t^{2}}, t \neq 0$
$T_{1} = \frac{v_{1} ∙ T_{2}}{v_{2}}, v_{2} \neq 0$

Ćwiczenie 9

Z podanego wzoru wyznacz wskazaną zmienną.

$2 x + c = ax + 2$ , wyznacz $x$
$v - 3 z = p (v + 2)$ , wyznacz $v$
$a = \frac{b}{b + 1}$ , wyznacz $b$
$x = \frac{y + 1}{y} + z$ , wyznacz $y$

$x = \frac{2 - c}{2 - a}$
$v = \frac{2 p + 3 z}{1 - p}$
$b = \frac{a}{1 - a}$
$y = \frac{1}{x - z - 1}$

iI4YjmYz11_d5e481

classicmobile

Ćwiczenie 10

Jeżeli $X = \frac{Y}{Z}$ $(Z > 0, X > 0, Y > 0)$ to

RX3LlY0lux1lg

$Z = XY$
$Z = \frac{Y}{X}$
$Z = \frac{X}{Y}$
$Z = X - Y$

static

Ćwiczenie 10

Jeżeli $X = \frac{Y}{Z}$ $(Z > 0, X > 0, Y > 0)$ to

RgKIGGZSVm5Ks

$Z = XY$
$Z = \frac{Y}{X}$
$Z = \frac{X}{Y}$
$Z = X - Y$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Po wyznaczeniu $x$ ze wzoru $bx - 3 c = cx - 5$ , otrzymamy

RJgvB37vesPCY

$x = \frac{3 c + 5}{b - c} dla b \neq c$
$x = \frac{3 c - 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c + 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c - 5}{b - c} dla b \neq c$

static

Ćwiczenie 11

Po wyznaczeniu $x$ ze wzoru $bx - 3 c = cx - 5$ , otrzymamy

R1P2QDKluGaP2

$x = \frac{3 c + 5}{b - c} dla b \neq c$
$x = \frac{3 c - 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c + 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c - 5}{b - c} dla b \neq c$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Wysokość trapezu o podstawach $x$ i $3 x (x > 0)$ oraz polu $3 p (p > 0)$ jest równa

R5NGzmIDzjqx8

$h = \frac{3 p}{2 x}$
$h = \frac{2 p}{3 x}$
$h = \frac{2 x}{3 p}$
$h = \frac{3 x}{2 p}$

static

Ćwiczenie 12

Wysokość trapezu o podstawach $x$ i $3 x (x > 0)$ oraz polu $3 p (p > 0)$ jest równa

RnkeIUtdKpKyN

$h = \frac{3 p}{2 x}$
$h = \frac{2 p}{3 x}$
$h = \frac{2 x}{3 p}$
$h = \frac{3 x}{2 p}$

Ćwiczenie 13

Podaj wzór na pole trójkąta o podstawie równej $x$ i wysokości równej $3 y$ . Wyznacz z tego wzoru podstawę i wysokość tego trójkąta.

$P = \frac{x ∙ 3 y}{2}$ , $x = \frac{2 P}{3 y}$ , $3 y = \frac{2 P}{x}$

Ćwiczenie 14

Obwód równoległoboku o bokach $x$ i $2 y$ wynosi $3 z$ . Wyznacz długości boków równoległoboku.

$x = \frac{3 z - 4 y}{2}$ , $2 y = \frac{3 z - 2 x}{2}$

Ćwiczenie 15

Boki czworokąta mają długości $x, 2 x, 3 x$ i $4 x$ , a jego obwód wynosi $p + 3 q$ . Wyznacz długość najkrótszego i najdłuższego boku czworokąta.

$x = \frac{p + 3 q}{10},$ $4 x = \frac{2 (p + 3 q)}{5}$

Ćwiczenie 16

R1IObrusDH79B1

Uszereguj równości w odpowiedniej kolejności, aby ze wzoru wyznaczyć $v$ . Podaj konieczne założenia.

Przeciągnij i upuść.

$3 (p + 2 v) = (s + v) t$ , $t \neq 0$ , $p + 2 v = \frac{s + v}{3} t$ , $3 p + 6 v = s t + v t$ , $6 v - t v = s t - 3 p$ , $v (6 - t) = s t - 3 p$ , $t \neq 6$ , $t \neq - 6$ , $v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}$

Start: ....................................
Przekształcenie 1: ....................................
Przekształcenie 2: ....................................
Przekształcenie 3: ....................................
Przekształcenie 4: ....................................
Koniec: ....................................
Założenia: ....................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Do wzoru $x = \frac{y}{z}$ podstaw odpowiednio: $y = \frac{a + b}{2}$ i $z = \frac{2 a - b}{3}$ . Doprowadź wzór do najprostszej postaci. Wyznacz $a$ i $b$ oraz podaj konieczne założenia.

$x = \frac{3 a + 3 b}{4 a - 2 b}, a = \frac{3 b + 2 bx}{4 x - 3}, b = \frac{4 ax - 3 a}{2 x + 3}$
$a \neq \frac{b}{2}, x \neq \frac{3}{4}, x \neq - \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 18

Wyszukaj w dostępnych źródłach informacje o zjawisku fizycznym, które opisane jest wzorem. Wyznacz z tego wzoru jedną ze zmiennych.

Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem równań i procentów

Siatki i modele brył