1. Okrąg, koło. Kąty w kole. - Proste, koła i okręgi

R1UG3X9LFACHH

1. Okrąg, koło. Kąty w kole

Ze względu na fakt, że gwiazdy, planety i inne obiekty astronomiczne znajdują się na sferze, to odległości pomiędzy nimi wygodnie opisywać za pomocą kątów. Odległość kątowa $θ$ pomiędzy dwoma obiektami to kąt, którego ramionami są promienie „wychodzące z oka obserwatora” i przechodzące przez te obiekty. Miarą takiej odległości są stopnie i jego części: minuty i sekundy. Odległość kątowa służy nie tylko do mierzenia odległości między obiektami, ale także do charakteryzowania pojedynczego obiektu – w szczególności rozmiar kątowy Księżyca wynosi od $33^{'} 28^{''}$ (gdy ten znajduje się najbliżej Ziemi) do $29^{'} 55^{''}$ (gdy jego odległość od Ziemi jest największa).

R1J4G628XA6N3

Grafika przedstawia prostokątny fragment nieba, a pod nim oko, w którego stronę skierowany jest wierzchołek trójkąta podzielonego na pół linią przerywaną. Linia ta wychodzi z wierzchołka znajdującego się tuż nad okiem i opisana jest jako d. Przy tym wierzchołku oznaczono w trójkącie kąt teta. — Rozmiar kątowy
Źródło: FelixMittermeier, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Z pewnością kulisty obiekt można obserwować z różnych punktów przestrzeni i widzieć go pod tym samym kątem. Okazuje się, że także obiekty o charakterze liniowym można widzieć pod tym samym kątem, patrząc na nie z różnych stron.

Twoje cele

Poznasz pojęcie kąta wpisanego w koło i okrąg.
Poznasz pojęcie kąta środkowego w kole i w okręgu.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Okrąg i koło

Jednym z pewników, inaczej aksjomatów, geometrii euklidesowej jest ten mówiący o kreśleniu okręgu – z każdego punktu można zakreślić okrąg o dowolnym promieniu (Aksjomat 3). Tym samym „tworzenie” całej geometrii opiera się na pojęciu okręgu, a raczej na wykorzystaniu cyrkla, czyli przyrządu, który temu celowi służy. I chociaż aksjomatyaksjomaty Euklidesaaksjomaty są pojęciami pierwotnymi danej teorii, w tym momencie geometrii, to my jednak mówiąc o okręgu zaczniemy od definicji, w której pojęciami pierwotnymi będą punkt, odcinek oraz odległość.

Okrąg

Definicja: Okrąg

Okręgiem o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest równa $r$ .

REF1NOELMG5D8

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r.

$O (S, r)$ – okrąg ośrodku w punkcie $S$ i promieniu $r$ .

Zauważmy, przy tym, że:

bezpośrednio z definicji wynika, że okrąg, jako zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o zadanej własności, jest krzywą zamkniętą;
promieniem będziemy nazywać każdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na tym okręgu.

Sieczna

Definicja: Sieczna

Prostą, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem nazywamy sieczną okręgu.

Cięciwa

Definicja: Cięciwa

Odcinek $A$ $B$ siecznej, ograniczony punktami przecięcia z okręgiem, nazywamy cięciwą okręgu.

R16lT1vaNRh7S

Grafika przedstawia okrąg przez który przechodzi prosta. Punkty przecięcia prostej z okręgiem podpisano A oraz B.

O cięciwie

Twierdzenie: O cięciwie

Niech dany będzie okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ i cięciwa tego okręgu o długości $d$ . Wówczas $d \leq 2 r$ , a równość zachodzi tylko wówczas, gdy cięciwa przechodzi przez środek okręgu.

Oznacza to, że chociaż cięciwy danego okręgu mogą mieć różne długości, to nie mogą być dłuższe od podwojonego promienia tego okręgu. To ograniczenie długości cięciwy uzasadnia podanie definicji kolejnego obiektu związanego z okręgiem.

Średnica

Definicja: Średnica

Średnicą okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy każdą jego cięciwę, która przechodzi przez punkt $O$ . Bezpośrednio z przyjętych definicji i twierdzenia o cięciwie wynika poniższy wniosek.

Uwaga!

Długość średnicy okręgu o promieniu $r$ jest równa $2 r$ .

Końce każdej cięciwy, a ogólniej dwa różne punkty, dzielą okrąg na dwie części, co prowadzi do przyjęcia poniższej definicji.

Łuk okręgu

Definicja: Łuk okręgu

Łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami.

R387SDFSQCUVA

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono punkty A i B. Kolorem wyróżniono łuk okręgu znajdujący się między punktami A i B – jest to krótsza część okręgu między punktami.

Zauważmy, że dwa dane punkty na okręgu wyznaczają dwa łuki, które na rysunku oznaczono różnym kolorem. W praktyce stosowanie kolorów może być utrudnione, dlatego wygodne jest wprowadzenie jeszcze jednego punktu, który leży na odpowiednim łuku. Popatrzmy na poniższy rysunek.

RJ6JBDNJ8A623

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono kolejno punkty: Q, A, P i B. Kolorem wyróżniono łuk okręgu znajdujący się między punktami A i B przechodzący przez punkt P– jest to krótsza część okręgu między punktami.

Wówczas można przyjąć następujące oznaczenia: $\overset{⏜}{A P B}$ odpowiednio dla łuku, na którym leży punkt $P$ (oznaczony różowym kolorem) oraz $\overset{⏜}{A Q B}$ dla łuku, na którym leży punkt $Q$ (oznaczony kolorem niebieskim). Łuk jest obiektem związanym zawsze z pewnym okręgiem, dlatego sformułowanie „łuk o promieniu $r$ ” oznaczać będzie część okręgu, którego promień jest równy $r$ .

Półokrąg

Definicja: Półokrąg

Półokręgiem nazywamy każdy z dwóch łuków wyznaczonych przez końce średnicy danego okręgu.

Zauważmy, że cięciwa, która nie jest średnicą, dzieli dany okrąg na różne figury; w przypadku średnicy oba łuki (półokręgi) są figurami przystającymi.

Dany okrąg można podzielić na kilka łuków, w szczególności te łuki nie muszą być figurami rozłącznymi, jak na poniższym rysunku. W szczególności łuki $\overset{⏜}{A C D}$ i $\overset{⏜}{C D E}$ mają część wspólną, którą jest mniejszy z łuków, których końcami są punkty $C$ i $D$ .

RF24L5NXOMET6

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono kolejno punkty A, B, E, D, C. Między każdą parą sąsiadujących punktów wyróżniono kolorem łuki.

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest mniejsza bądź równa $r$ .

R11tz3lbsocPQ

Ilustracja przedstawia koło o środku w punkcie O i o promieniu r. Obszar ograniczony obwodem koła jest zaznaczony kolorem.

$K (O, r)$ – koło o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ .

Pozostaje wspomnieć, że środkiem, promieniem i średnicą koła nazywamy odpowiednio środek, promień i średnicę okręgu, o którym mowa w powyższej definicji.

Kąt wpisany

Kąt wpisany w koło

Definicja: Kąt wpisany w koło

Kątem wpisanym w koło nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła, a wierzchołek należy do brzegu koła.

R19PJJ7SJCP4B

Rysunek przedstawia koło, w którym wykreślono dwie cięciwy: C A oraz C B i przedłużono je poza pole koła linią przerywaną. Cięciwy tworzą dwa kąty: pierwszy z nich jest zaznaczony tylko w polu koła między cięciwami - to kąt wypukły alfa oraz kąt wklęsły ograniczony cięciwami zaznaczony w polu koła i poza nim. Kąt ten dopełnia kąt alfa do trzystu sześćdziesięciu stopni. Kąt wklęsły opisano jako BETA.

Na powyższym rysunku, dwie półproste: $C A$ i $C B$ , zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów o wierzchołku w punkcie $C$ : kąta wypukłego $α$ oraz kąta wklęsłego $β$ . Tylko kąt $α$ jest kątem wpisanym w kołokołokoło, bo zgodnie z definicją musi to być kąt wypukły.

Ilustrując zagadnienie kątów wpisanych, będziemy zwykle zaznaczać jedynie cięciwy danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.

R1FVHAZDQ57M5

Rysunek przedstawia koło, w którym wykreślono trzy cięciwy C A, C B oraz A B, które tworzą trójkąt ABC. Przy wierzchołku C zaznaczono kąt alfa.

W praktyce szkolnej spotykamy się z zamiennym stosowaniem pojęć: kąt wpisany w koło i kąt wpisany w okrąg, dlatego przyjmujemy również kolejną definicję.

Kąt wpisany w okrąg

Definicja: Kąt wpisany w okrąg

Rozważmy okrąg o środku $O$ i punkty $A$ , $B$ leżące na tym okręgu. Kątem wpisanym opartym na łuku $A B$ nazywamy kąt wypukły $A C B$ , którego ramiona zawierają cięciwy okręgucięciwa okręgucięciwy okręgu $C A$ i $C B$ .

R86OX3CFJH3GB

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono dwie cięciwy: C A oraz C B. Na okręgu zaznaczono łuk między punktami A i B.

Zauważmy, że każdy kąt wpisany danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza łuk, na którym jest on oparty.

R1ZA4XHV14MU8

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono cztery cięciwy. Są to kolejno: P C, P D, P A oraz P B. Między cięciwami P C i P D zaznaczono kąt DELTA oraz zaznaczono łuk między punktami C i D. Między cięciwami P A i P B zaznaczono kąt alfa oraz zaznaczono łuk między punktami A i B.

Z kolei istnieje nieskończenie wiele kątów wpisanych opartych na danym łuku.

R7UF5SH8VSG8R

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono sześć cięciw opartych na tym samym łuku A B. Cięciwy te to: C indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, A oraz C indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, B wyznaczają kąt alfa indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, cięciwy C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, A oraz C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, B wyznaczają kąt alfa indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, cięciwy C indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, A oraz C indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, B wyznaczają kąt alfa indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.

Przykład 1

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ .

Rozważmy dowolny kąt wpisany oparty na półokręgu $A B$ i poprowadźmy promień $O C$ tego okręgu.

Wówczas trójkąty $A O C$ i $B O C$ są równoramienne.

Oznaczmy: $∢ O A C = α$ oraz $∢ O B C = β$ .

RCFHK6AE55BNA

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na rysunku zaznaczono dwie cięciwy: C A oraz C B. Pomiędzy punktem A i B zaznaczono średnicę okręgu, a także narysowano promień okręgu: jest to odcinek C O. Na ilustracji oznaczono także kilka kątów. Kąty O A C i kąt A C O są równe alfa. Kąty O C B i kąt C B O są równe BETA.

Wtedy: $∢ A O C = 180 ° - 2 α$ oraz $∢ B O C = 180 ° - 2 β$ .

Ale kąty $A O C$ i $B O C$ są kątami przyległymi, zatem $(180 ° - 2 α) + (180 ° - 2 β) = 180 °$ .

Stąd $2 α + 2 β = 180 °$ , czyli $α + β = 90 °$ .

Ale to oznacza, że każdy kąt wpisany w okrągokrągokrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym, a w konsekwencji, że przeciwprostokątna dowolnego trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ważne!

Niekiedy zamiast mówić, że kąt jest oparty na łuku, będziemy mówić, że jest na tym łuku rozpięty. W przypadku kąta opartego na półokręgu, często będziemy spotykać się ze stwierdzeniem, że kąt jest rozpięty na średnicy okręgu. Rzadziej pojawia się określenie, że kąt wpisany jest rozpięty na cięciwie, której końcami są końce odpowiedniego łuku okręgułuk okręgułuku okręgu.

Związek między tymi siecznymi i utworzonymi przez nie kątami wpisanymi

Rozważmy teraz dowolny okrągokrągokrąg i dwie przecinające się sieczne. Zbadamy związek między tymi siecznymi i utworzonymi przez nie kątami wpisanymi. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sieczne przecinają się „wewnątrz” okręgu, tak, jak na poniższym rysunku.

R184ABLSNXX4D

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, przecinek, C, przecinek, N, przecinek, B, przecinek, D, przecinek, M. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: C A, C D oraz A B, przy czym cięciwy C D oraz A B przecinają się w punkcie P. Cięciwy te są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną. Wewnątrz okręgu oznaczono trzy kąty. Kąt B A C jest oznaczony jako kąt alfa, kąt A C D jest oznaczony jako kąt BETA oraz trzecim oznaczonym kątem jest kąt rozwarty A P D.

O kącie między siecznymi 1

Twierdzenie: O kącie między siecznymi 1

Kąt $A P D$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym „wewnątrz” okręgu, jest równy sumie dwóch kątów wpisanych opartych na łukach, z których jeden (łuk $\hat{A M D}$ ) zawarty jest między ramionami kąta, a drugi (łuk $\hat{B N C}$ ) jest zawarty między przedłużeniami ramion tego kąta.

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta.

O kącie między siecznymi 2

Twierdzenie: O kącie między siecznymi 2

Kąt $A P D$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym na zewnątrz okręgu, jest równy odpowiedniej różnicy dwóch kątów wpisanych opartych na łukach zawartych między ramionami kąta.

Dowód

Popatrzmy na rysunek.

RFQTZRL6TO22L

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, przecinek, M, przecinek, C, przecinek, D, przecinek, N, przecinek, B. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: C D, D A oraz A B, przy czym cięciwy C D oraz A B są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną tak, że spotykają się w punkcie P leżącym poza okręgiem. Przy punkcie P oznaczono kąt GAMMA pomiędzy przedłużeniem obu cięciw. Wewnątrz okręgu zaznaczono jeszcze dwa inne kąty. Kąt alfa, czyli kąt C D A oraz kąt BETA, czyli kąt D A B.

Ponieważ $|∢ A D P| = 180 ° - α$ oraz $γ = 180 ° - β - |∢ A D P|$ , więc $γ = 180 ° - β - (180 ° - α) = α - β$ .

Kąt środkowy

kąt środkowy w kole

Definicja: kąt środkowy w kole

Kątem środkowym w kolekołokole nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła.

R1PXSV5O9FFJ5

Na rysunku przedstawione jest koło o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego BETA. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią przerywaną od środka O poza jego wnętrze. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt BETA do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły alfa.

Na powyższym rysunku, dwie półproste, zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów środkowych danego okręgu o środku w punkcie $O$ : kąta wypukłego $β$ oraz kąta wklęsłego $α$ . Zwykle jednak, ilustrując zagadnienie kątów środkowych, będziemy zaznaczali jedynie promienie danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.

R1LR638H25XP9

Na rysunku przedstawiono koło o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego BETA. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią ciągłą od środka koła do jego brzegu. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt BETA do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły alfa.

kąt środkowy w okręgu

Definicja: kąt środkowy w okręgu

Rozważmy okrągokrągokrąg o środku $O$ i punkty $A$ , $B$ leżące na tym okręgu. Kątem środkowym opartym na łuku $A B$ nazywamy kąt $A O B$ , którego ramiona zawierają promienie $O A$ i $O B$ i w którym zawiera się łuk $A B$ .

Punkty $A$ , $B$ wyznaczają dwa łuki okręgu, tym samym dwa różne kąty środkowe, jak na rysunkach.

R643S6EN2CQKM

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego BETA. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: A oraz B leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk A B. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta wklęsłego alfa. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: A oraz B leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono dłuższy łuk A B.

Zauważmy, że dla danego łuku okręgułuk okręgułuku okręgu istnieje jednoznacznie wyznaczony kąt środkowy i odwrotnie – każdy kąt środkowy danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza jego łuk. Ponadto, jeśli łuk okręgu jest mniejszy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wypukłym; jeśli łuk jest większy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wklęsłym.

Przykład 2

Punkty $A$ , $B$ leżące na okręgu dzielą go w stosunku $1 : 7$ . Obliczymy miary kątów środkowych opartych na łuku $A B$ .

Kąt środkowy oparty na łuku, którym jest cały okrąg, ma miarę $360 °$ . Na każdym z dwóch łuków, których końcami są punkty $A$ , $B$ , zaznaczono odpowiednio punkty $P$ oraz $Q$ . Wtedy $\overset{⏜}{A P B}$ oznacza ten z łuków o końcach $A$ , $B$ , na którym leży punkt $P$ .

R3C3UFGJ12MFQ

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest O A oraz O B, wyznaczają kąt ostry alfa. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk A B. Na tym łuku zaznaczono punkt P, a poza nim zaznaczono na okręgu punkt Q. Ułatwia to orientację związaną z położeniem łuku, o który nam chodzi. Teraz, mając trzy punkty odniesienia, łatwo bowiem rozróżnić, o który łuk chodzi. Mamy więc na rysunku krótszy łuk A P B oraz dłuższy łuk A Q B.

Jeśli podzielimy okrąg na osiem równych łuków (części), to punkty $A$ , $B$ są końcami łuku $\overset{⏜}{A P B}$ , który stanowi ósmą część okręgu oraz łuku $\overset{⏜}{A Q B}$ , który stanowi pozostałą cześć okręgu, czyli $\frac{7}{8}$ . Wtedy miara wypukłego kąta środkowego, opartego na łuku $A B$ jest równa: $\frac{1}{8} \cdot 360 ° = 45 °$ , a miara kąta wklęsłego jest równa $315 °$ .

W praktyce, zamiast mówić o kącie rozpiętym na łuku $A B$ , mówi się o kącie rozpiętym na cięciwiecięciwa okręgucięciwie $A B$ , która odpowiada danemu kątowi środkowemu, pamiętając, że to przyporządkowanie nie jest jednoznaczne. Każdemu kątowi środkowemu odpowiada jedna cięciwa, ale każdej cięciwie odpowiadają dwa kąty środkowe, które w przypadku średnicy, są sobie równe

RHQ9HOPK1AGNU

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie O, którego dwa promienie wyznaczają kąt wklęsły alfa. Ramiona tego kąta to promienie O A oraz O B. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk A B oraz cięciwę A B, czyli odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie O, którego dwa promienie wyznaczają kąt wypukły alfa. Ramiona tego kąta to promienie O A oraz O B. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk A B oraz cięciwę A B.

Bezpośrednio, korzystając z cechy $b b b$ przystawania trójkątów, możemy sformułować poniższe twierdzenie.

O kątach środkowych rozpiętych na cięciwach

Twierdzenie: O kątach środkowych rozpiętych na cięciwach

Dla danego okręgu wypukłe kąty środkowe rozpięte na cięciwach o równych długościach mają jednakowe miary.

R8KXKZZS5S3HX

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest O A oraz O B, wyznaczają kąt ostry BETA oparty na zaznaczonej cięciwie A B. Kolejne dwa promienie tego okręgu, to jest O C oraz O D, wyznaczają kąt ostry GAMMA oparty na zaznaczonej cięciwie C D.

Oczywiście, analogiczne twierdzenie można sformułować dla wklęsłych kątów środkowych.

Pozostaje zauważyć, że jeśli ograniczymy się tylko do kątów środkowych, które są wypukłe, to im dłuższa cięciwa, tym większa miara kąta środkowego rozpiętego na tej cięciwie.

R1B6L971V345F

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Zagraj w grę, a następnie rozwiąż polecenia.

Odpowiedz na pytania z poniższego quizu.

R23Z9OSZ93ORZ

R1QS5NPLKDHMT

RGJB8125VK4M8

R14PLHLP9OQZP

R3CAM82SPZBAF

R1BHTL55QK1VL

R1QGO4NP2DLTZ1

Galeria zdjęć interaktywnych

Kąty w okręgu, w szczególności kąty wpisane, są przedmiotem zainteresowania optyki i astronomii. Zapoznaj się z przedstawionymi informacjami i dołączonymi komentarzami lektora, a następnie wykonaj polecenia.

R5HVCJP3NO4XV

Źródło: Pixabay.com, danielarealpeg, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R19ZMFTCX1UG1

Źródło: AlLes, Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1PPM9ATOUFPQ

Źródło: FelixMittermeier, Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R9KRGUFXPZ92P

Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

REQAOHLFON7XF

Źródło: Pixabay.com, surgull01, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Polecenie 2

Przyjmując, że średnia odległość od środka Księżyca od środka Ziemi jest równa $384400 km$ , a rozmiar kątowy Księżyca jest równy $30'$ , wyznacz średnicę Księżyca.

Oznaczmy przez $d$ odległość obu ciał niebieskich, przez $r$ promień Księżyca, a przez $θ$ rozmiar kątowy Księżyca.

Wtedy
$tg \frac{θ}{2} = \frac{r}{d}$ .

Zatem
$r = d \cdot t g \frac{θ}{2} \approx 384400 \cdot 0, 0044 = 1691, 36$
Więc
$2 r \approx 3383$ (km).

Polecenie 3

Długość odcinka $B C$ jest równa $6$ , a odległość obserwatora $A$ od środka odcinka $B C$ jest równa $10$ . Wyznacz rozmiar kątowy $θ$ odcinka $B C$ dla obserwatora w punkcie $A$ i wyznacz promień łuku, który jest miejscem geometrycznym, z którego odcinek $B C$ widać pod kątem $θ$ (rysunek).

R131XMFLOOOA7

Ilustracja przedstawia cztery punkty. Po lewo narysowano punkt A, po prawo w jednej pionowej linii punkty kolejno od góry: B, przecinek, E, przecinek, C. Punkt A połączony jest z każdym z tych punktów, tworząc ukośny odcinek A B, poziomy odcinek A E oraz ukośny odcinek A C. Punkty B, przecinek, E, przecinek, C połączone są w pionowy odcinek. Kąt oznaczono B A C jako THETA. Na rysunku zaznaczono także linią przerywaną łuk B A C.

Zauważmy, że $tg \frac{θ}{2} = \frac{\frac{1}{2} |B C|}{|A E|} = \frac{3}{10}$ .

Zatem $\frac{θ}{2} \approx 16 ° 41' 57''$ , czyli $θ \approx 33 ° 23' 55''$ .

Promień $r$ łuku okręgu jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ . Możemy go obliczyć stosując twierdzenie sinusów: $r = \frac{|B C|}{2 \cdot \sin θ} \approx 5, 5$ .

Infografika

Wskazówki „klasycznego” zegara wyznaczają kąty, które można utożsamiać z kątami środkowymi w kole. Przeanalizuj przedstawione interpretacje graficzne i odsłuchaj kolejne komunikaty lektora, klikając w odpowiednią ikonę. Opracuj swój model wyznaczania kąta między wskazówkami i rozwiąż dołączone poniżej zadania.

R1QS77DVNUZGJ

Polecenie 4

Wyznacz kąt, jaki tworzą wskazówki: godzinowa i minutowa na kwadrans przed ósmą.

$\frac{1}{12} \cdot 360 ° + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{12} \cdot 360 °) = 30 ° + \frac{1}{4} \cdot 30 ° = 37, 5 °$

Polecenie 5

Między godziną $8^{00}$ a $9^{00}$ Kuba zaobserwował, że kąt, jaki tworzą wskazówki: godzinowa i minutowa jest równy $10 °$ . Która to mogła być godzina?

Zauważmy,że o godzinie $8^{00}$ kąt środkowy ma miarę $120 °$ . Zatem zmiana czasu o $\frac{1}{t}$ część godziny powoduje, że kąt będzie równy: $120 ° - \frac{1}{t} \cdot 360 ° + \frac{1}{t} \cdot 30 ° = 10 °$ . Stąd $t = 3$ i wskazówka minutowa zakreśli łuk równy trzeciej części okręgu, czyli wyznaczy godzinę $8^{20}$ . Zauważmy, że po krótkiej chwili wskazówki ponownie wyznaczą kąt o mierze 10 stopni, wskazówka minutowa „wyprzedzi” wskazówkę godzinową. Wówczas bilans kątów przyjmuje postać: $\frac{1}{t} \cdot 360 ° - 120 ° - \frac{1}{t} \cdot 30 ° = 10 °$ . Stąd $t = 33$ , co w przybliżeniu daje upływ czasu równy $23$ i $\frac{7}{11}$ minuty.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu mają długości odpowiednio $6$ oraz $2 \frac{1}{2}$ , a ich wspólny punkt leży na tym okręgu.

Oblicz promień danego okręgu.

Niech $a$ , $b$ oznaczają odpowiednio długości obu cięciw. Zauważ, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym. Wtedy $a^{2} + b^{2} = {(2 r)}^{2}$ . Zatem $6^{2} + {(2 \frac{1}{2})}^{2} = {(2 r)}^{2}$ oraz $r = 3 \frac{1}{4}$ .

R157rI0bsowsT3

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Punkty $A$ , $B$ , $C$ dzielą dany okrąg w stosunku $4 : 5 : 6$ . Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach $A B$ , $B C$ i $C A$ .

Punkty $A$ , $B$ , $C$ wyznaczają podział okręgu na piętnaście równych łuków – wypukłe kąty środkowe oparte na tych łukach maja miarę $\frac{1}{15} \cdot 360 ° = 24 °$ . Zatem kąt oparty na łuku $A B$ ma miarę $4 \cdot 24 ° = 96 °$ , kąt oparty na łuku $B C$ ma miarę $5 \cdot 24 ° = 120 °$ , a kąt oparty na łuku $C A$ ma miarę $6 \cdot 24 ° = 144 °$ . Oczywiście, mając miary katów opartych na łukach $A B$ i $B C$ , trzeci z kątów można wyznaczyć, jako dopełnienie sumy ich miar do kąta pełnego.

Ćwiczenie 4

R1BB2HDKGVHBP

Zauważ, że trójkąt $A O B$ jest równoboczny.

R15FB9QL23TZ41

Ćwiczenie 5

Punkty A, B, C dzielą dany okrąg w określonym stosunku. Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach A B, B C i C A. Dopasuj, łącząc w pary, podział okręgu z miarami odpowiednich kątów. trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni dwa, podzielić na, cztery, podzielić na, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć, podzielić na, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, sześć, podzielić na, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni

Ćwiczenie 6

Dany jest okrąg o środku $O$ . Cięciwa $A B$ tego okręgu tworzy z jego promieniem $O A$ kąt o mierze $52 °$ . Wyznacz miary obu kątów środkowych rozpiętych na tej cięciwie.

Trójkąt $A O B$ jest równoramienny, zatem miara jego kąta przy wierzchołku $O$ jest równa: $|∡ A O B| = 180 ° - 2 \cdot 52 ° = 76 °$ . Ale ten kąt jest wypukłym kątem środkowym rozpiętym na danej cięciwie. Środkowy kąt wklęsły ma zatem miarę: $360 ° - 76 ° = 284 °$ .

Ćwiczenie 7

RXPBCV2GAPZK3

Jeśli $α$ , $β$ oznaczają miary kątów środkowych opartych na łuku $A B$ , to wówczas $α + β = 360 °$ oraz $α - β = 70 °$ .

Ćwiczenie 8

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, wyznacz stosunek długości łuków, na które cięciwa $A B$ podzieliła dany okrąg.

ROEA85JHE2EAC

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest O A oraz O B, wyznaczają kąt wklęsły o mierze cztery alfa, plus, sto stopni. Na rysunku zaznaczono również cięciwę A B i w ten sposób powstał trójkąt A O B, który przy wierzchołku B ma kąt wewnętrzny o mierze alfa.

Zauważmy, że $|∡ A O B| = 180 ° - 2 α$ . Ale $(180 ° - 2 α) + (4 α + 100 °) = 360 °$ . Stąd $2 α + 280 ° = 360 °$ , zatem $α = 40 °$ . Stąd kąty środkowe mają miary: $100 °$ oraz $260 °$ . Zatem podział okręgu nastąpił w stosunku $13 : 5$ .

Związek między tymi siecznymi i utworzonymi przez nie kątami wpisanymi - zestaw ćwiczeń

Ćwiczenie 9

Kąt, jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ leżącym na zewnątrz okręgu, ma miarę równą $30 °$ (patrz rysunek).

R3D4L5NJDQ7HV

Ilustracja przedstawia okrąg, w którym narysowano trzy cięciwy tak, że tworzą one kształt przypominający literę Z. Idąc od góry mamy następujące cięciwy: A B, B C oraz C D. Cięciwy A B oraz C D są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną tak, że spotykają się poza okręgiem w punkcie P. Wewnątrz okręgu oznaczono dwa kąty: kąt A B C oznaczono jako kąt alfa, kąt B C D oznaczono jako kąt BETA. W ten sposób powstaje trójkąt C P B, o kątach wewnętrznych równych: BETA przy wierzchołku C i 30 stopni przy wierzchołku P.

Oblicz miarę kątów $α$ , $β$ , jeśli $α + β = 70 °$ .

Z twierdzenia o kącie między siecznymi 1. wynika, że $α - β = 30 °$ .

Prowadzi to do układu równań: $\{\begin{cases} α - β = 30 ° \\ α + β = 70 ° \end{cases}$ .

Jego rozwiązaniem jest para: $α = 50 °$ , $β = 20 °$ .

Ćwiczenie 10

Zaznaczony na rysunku kąt, jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ leżącym wewnątrz okręgu, ma miarę równą $130 °$ (patrz rysunek).

ROX89NJZ21QN1

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, przecinek, B, przecinek, C, przecinek, D. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: A B, A C oraz B D, przy czym cięciwy A C oraz B D przecinają się w punkcie P pod kątem stu trzydziestu stopni. Przecinające się cięciwy są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną. Wewnątrz okręgu oznaczono trzy kąty. Kąt B A C jest oznaczony jako kąt alfa, kąt A B D jest oznaczony jako kąt BETA oraz trzecim oznaczonym kątem jest wpomniany już kąt rozwarty B P C o mierze stu trzydziestu stopni.

Oblicz miarę kątów $α$ , $β$ , jeśli $α - β = 42 °$ .

Z twierdzenia o kącie między siecznymi 2. wynika, że $α + β = 130 °$ .

Prowadzi to do układu równań: $\{\begin{cases} α + β = 130 ° \\ α - β = 42 ° \end{cases}$ .

Jego rozwiązaniem jest para: $α = 86 °$ , $β = 44 °$ .

Ćwiczenie 11

R46XBHVPPBNUV21

Podaj definicję cięciwy.

R1VX8M8ERKFM3

Ćwiczenie 12

Korzystając z danych przedstawionych na poniższym rysunku, wyznacz miarę kąta $γ$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym wewnątrz okręgu.

RMEJVAUJESTTA

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, B, C, D. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: AB, AC oraz BD, przy czym cięciwy AC oraz BD przecinają się w punkcie P pod kątem γ. Przecinające się cięciwy są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną. Wewnątrz okręgu oznaczono trzy kąty. Kąt BAC o mierze 77 stopni i 35 minut, kąt ABD o mierze 46 stopni i 25 minut oraz trzecim oznaczonym kątem jest wpomniany już kąt rozwarty BPC oznaczony jako γ.

R19R4FK2NRO25

Słownik

aksjomaty Euklidesa

aksjomaty Euklidesa to zestaw pięciu pewników (zdań uznawanych za prawdziwe), na których Autor oparł konstrukcję teorii zwanej dzisiaj geometrią euklidesową

koło

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$

cięciwa okręgu

cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu

okrąg

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

łuk okręgu

łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami

okrąg

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

koło

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$

okrąg

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

łuk okręgu

łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami

cięciwa okręgu

cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu

2. Długość okręgu. Długość łuku

Proste, koła i okręgi