1. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi X

Rlc4DP67XL9qf

Przesuwanie obiektów wykonujemy każdego dnia. Przesuwamy w prawo lub w lewo.

RjWrCTequW7fA1

Ilustracja przedstawia półotwarte drzwi przesuwne prowadzące do toalety. — Drzwi przesuwne
Źródło: dostępny w internecie: pxfuel.com, domena publiczna.

Producenci drzwi, okien, mebli stosują systemy przesuwne, które pozwalają zaoszczędzić sporą część przestrzeni w małych bądź wąskich pomieszczeniach, czy też korytarzach.

Naszym obiektem, który będziemy przesuwać wzdłuż osi $X$ , czyli w prawo lub lewo, będzie wykres funkcji.

Twoje cele

Podasz współrzędne punktu otrzymanego w wyniku przesunięcia wzdłuż osi $X$ .
Przesuniesz wykres funkcji wzdłuż osi $X$ o podaną liczbę jednostek i w odpowiednim kierunku.
Na podstawie wykresu podasz o ile jednostek i w którą stronę został przesunięty dany wykres, widząc jego przekształcenie.
Wyznaczysz zależność między wzorem funkcji danej, a otrzymanej w wyniku przesunięcia wzdłuż osi $X$ .
Określisz własności funkcji $y = f (x - p)$ , $y = f (x + p)$ , gdzie $p > 0$ , znając własności funkcji $y = f (x)$ .

Już wiesz

Wykres funkcji $f$ to zbiór wszystkich punktów postaci $(x, f (x))$ , gdzie $x$ jest dowolnym argumentem z dziedziny funkcjiDziedzina funkcjidziedziny funkcji $f$ , a $f (x)$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$ .

Jeśli punktwspółrzędne punktupunkt $P = (a, b)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to $b = f (a)$ .

Przykład 1

Dany jest punktwspółrzędne punktupunkt $K = (3, 5)$ . Wyznaczymy współrzędne punktu:

a) $K'$ , który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o cztery jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ ,

b) $K''$ , który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o cztery jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ ,

c) $L$ , który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o $p$ jednostek wzdłuż osi $X$ , gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą.

R18UzQbjGRGGR

zmiany odciętej punktu po przesunięciu wzdłuż osi

X

Reguła: zmiany odciętej punktu po przesunięciu wzdłuż osi

X

R1cSmp6sHjrXD

Ilustracja przedstawia punkt A o współrzędnych nawias x średnik y koniec nawiasu, po prawej stronie od punkt znajduje się punkt A prim odsunięty od punktu A o 4 jednostki w prawo, o współrzędnych nawias x dodać cztery średnik y koniec nawiasu. Trzy jednostki w lewo od punktu A znajduje się punkt A bis o współrzędnych nawias x odjąć x średnik y koniec nawiasu.

Przykład 2

Dany jest wykres funkcji $y = f (x)$ . Sporządzimy wykres funkcji $g (x)$ otrzymany w wyniku:

a) przesunięcia danego wykresu o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$ ,

b) przesunięcia danego wykresu o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ .

RRRLAq0EZEvQP

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziewięciu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także różne punkty. Punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu, punkt B nawias zero średnik dwa koniec nawiasu, punkt C nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, punkt E nawias minus pięć średnik trzy koniec nawiasu.

Wykres danej funkcji to zbiór pięciu punktów. Aby otrzymać wykres funkcji w wyniku przesunięcia wzdłuż osi $X$ należy każdy punktwspółrzędne punktupunkt przesunąć analogicznie jak robiliśmy to w przykładzie 1.

Ad a)

R14fyapGPFHuI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do jedenastu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także różne punkty. Punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu, punkt B nawias zero średnik dwa koniec nawiasu, punkt C nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, punkt E minus pięć średnik trzy koniec nawiasu. Na rysunku zaznaczono także dodatkowo punkty. Punkt A z indeksem dolnym a o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu, punkt B z indeksem dolnym a nawias pięć średnik dwa koniec nawiasu, punkt C z indeksem dolnym a nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D z indeksem dolnym a nawias osiem średnik cztery koniec nawiasu, punkt E z indeksem dolnym a nawias zero średnik trzy koniec nawiasu.

Ad b)

RuzDrCPNZQMPn

Przykład 3

W kolejnym przykładzie będziemy przesuwać wzdłuż osi $X$ wykres funkcji $f (x) = \sqrt{x}$ , $x \in ⟨0, + \infty)$ . W przykładzie zwrócimy uwagę na dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę nowej funkcji oraz jej wzór.

Aby sporządzić wykres funkcji $f (x) = \sqrt{x}$ skorzystamy z tabeli częściowej, dzięki której będziemy mieli punkty o współrzednych całkowitych, które będą punktami przesuwanymi.

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$y = f (x)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Zwróćmy uwagę na poniższy interaktywny wykres. Przesuwając suwakiem można zauważyć jak zmienia się dziedzinaDziedzina funkcjidziedzina oraz wzór funkcji w zależności od przesunięcia.

RhxgvhVt7AZ4i

Wyprowadzimy zależność między wzorem $y = g (x)$ , a wzorem danej funkcji $y = f (x)$ i liczbą $p$ o którą przesuwamy dany wykres wzdłuż osi $X$ .

R10PtcmHMPwnr

Ilustracja przedstawia Punkt P o współrzędnych nawias a średnik b koniec nawiasu, pod punktem znajduje się równanie b równa się f od a. Po prawej stronie od punktu i równania, po przesunięciu wzdłuż osi X o p jednostek utworzono nowy punkt P prim o współrzędnych nawias a dodać p średnik b koniec nawiasu. Pod nowym punktem powstało równanie b równa się g od a dodać p. Poniżej znajduje się równanie funkcji f od a równa się g od a dodać p. Jeżeli x równa się a dodać p to a równa się x odjąć p, zatem g od x równa się f od x odjąć p.

o przesuwaniu wykresu funkcji wzdłuż osi X

Twierdzenie: o przesuwaniu wykresu funkcji wzdłuż osi X

Jeżeli przesuwamy wykres funkcji $y = f (x)$ wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek, gdzie $p > 0$ , to:

w wyniku przesunięcia w prawo otrzymamy wykres funkcji $y = f (x - p)$ ,
w wyniku przesunięcia w lewo otrzymamy wykres funkcji $y = f (x + p)$ .

Zmiany wzoru funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia wzdłuż osi X

Reguła: Zmiany wzoru funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia wzdłuż osi X

gdy przesuwamy wykres $y = f (x)$ o 6 jednostek w lewo, wówczas każdy argument $x$ we wzorze funkcji $f (x)$ zamieniamy na argument $(x + 6)$ .
gdy przesuwamy wykres $y = f (x)$ o 3 jednostki w prawo, wówczas każdy argument $x$ we wzorze funkcji $f (x)$ zamieniamy na argument $(x - 3)$ ,

R3qcd8uchjlmy

Ilustracja przedstawia wzór funkcji y równa się f od x, po prawej stronie znajduje się wzór funkcji przesunięty o trzy jednostki w prawo, g od x równa się f od x odjąć trzy. Sześć jednostek w lewo od punktu A znajduje się wzór funkcji g od x równa się f od x dodać sześć.

Przykład 4

Poćwiczymy przesuwanie wykresu funkcji $y = f (x)$ znając jej wykres oraz wzór funkcji $g (x)$ . Dany jest wykres funkcji $y = f (x)$

R1bMV6Hqb5voI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedenastu do jedenastu i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się f od x. Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Następnie funkcja rośnie do punktu nawias zero średnik trzy koniec nawiasu po czym maleje do punktu nawias trzy średnik minus sześć koniec nawiasu. Następnie znów zaczyna rosnąć do punktu nawias pięć średnik minus dwa koniec nawiasu i pozostaje stała do niezamalowanego punktu nawias osiem średnik minus dwa koniec nawiasu.

Sporządzimy wykres funkcji:

a) $g (x) = f (x + 4)$

b) $g (x) = f (x - 2)$

ad a)

Zwróćmy uwagę, że $g (x) = f (x + 4)$ , co oznacza, że nasz wykres przesuniemy o $4$ jednostki w lewo.

R14zmDjmjQTJl

ad b)

Zwróćmy uwagę, że $g (x) = f (x - 2)$ , co oznacza, że przesuwamy wykres danej funkcji o $2$ jednostki w prawo.

RSb6aBM8amcH7

Ważne!

Przesunięcie wykresu funkcji $y = f (x)$ wzdłuż osi $X$ ma wpływ na:

dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę funkcji $g (x)$ ,
miejsca zeroweMiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $g (x)$ ,
przedziały monotoniczności funkcji $g (x)$ .

Dla zainteresowanych

Przesuwając hiperbolę $y = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ wzdłuż osi $X$ należy pamiętać, aby przesunąć w tym samym kierunku i o tyle samo jednostek asymptotę pionową wykresu funkcji.

R1FshEt50ktB2

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do ośmiu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji homograficznej f od x równa się dwa przez x. Funkcja posiada dwie asymptoty o równaniu x równa się zero oraz y równa się zero. Funkcja jest malejąca i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus dwa średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu.

RDkcH8Wp9gqUd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dziesięciu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji homograficznej f od x równa się dwa przez x odjąć trzy. Funkcja posiada dwie asymptoty o równaniu x równa się trzy oraz y równa się zero. Funkcja jest malejąca i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias cztery średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias pięć średnik jeden koniec nawiasu.

Przykład 5

Naszkicujemy wykres funkcji $g$ , stosując odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = |x|$ . Podamy miejsca zerowemiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $g$ .

a) $g (x) = |x - 3|$

Wiemy już, że wzór funkcji $y = f (x - 3)$ oznacza przesunięcie w prawoprzesunięcie w prawoprzesunięcie w prawo o $3$ jednostki, wzdłuż osi $X$ wykresu funkcji $y = f (x)$ .

Rozpoczynamy od sporządzenia wykresu funkcji $f (x) = |x|$ , a następnie przesuwamy go (zgodnie z wcześniejszym ustaleniem) o $3$ jednostki w prawo, otrzymując wykres funkcji $g (x) = |x - 3|$ .

RDQbunkhTGQgK2

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jedenastu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do ośmiu. W układzie zaznaczono dwa wykresy funckji w postaci łamanych. Pierwszy wykres funckji maleje do początku układu współrzędnych przechodząc przez punkty -2,2 oraz -1,1 a następnie rośnie przechodząc przez punkty o współrzędnych 1,1 i 2,2. Wykres funckji opisany jest wzorem fx=x. Drugi wykres funckji maleje do punktu 3,0 przechodząc przez punkty -2,5 oraz -1,4 a następnie rośnie przechodząc przez punkty o współrzędnych 5,2 i 6,3. Wykres funckji opisany jest wzorem fx=x-3.

Zwróćmy uwagę, że miejscem zerowym funkcji $f (x) = |x|$ jest $x = 0$ . Wykres funkcji $g (x) = |x - 3|$ otrzymaliśmy w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, więc i punkt wspólny wykresu i osi odciętych został przesunięty o $3$ jednostki w prawo. Zatem miejscem zerowym funkcji $g$ jest $x = 3$ .

b) $g (x) = |x + 5|$

Postępując analogicznie, jak w przykładzie a)- rozpoczynamy pracę od przypomnienia, że wzór $y = f (x + 5)$ oznacza przesunięcie w lewoprzesunięcie w lewoprzesunięcie w lewo o $5$ jednostek, wzdłuż osi $X$ wykresu funkcji $y = f (x)$ .

Sporządzamy wykres funkcji $f (x) = |x|$ , przesuwamy go o $5$ jednostek w lewo, wzdłuż osi $X$ .

RvHwtWzvNNS0b

Miejscem zerowym funkcji $g$ jest $x = - 5$ , co ma swoje uzasadnienie w przesunięciu w lewo o $5$ jednostek odpowiedniego punktu wykresu funkcji $f$ .

Przykład 6

RJhGjWyw9KiTn2

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do dziewięciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji w postaci łamanej, która zaczyna się w punkcie należącym do wykresu o współrzędnych -8,9. Następnie wykres funkcji maleje do punktu o współrzędnych -2,4, a potem rośnie do punktu o współrzędnych 1,7. Ostatecznie wykres funkcji maleje do punktu nie należącego do wykresu o współrzędnych 4,1.

Na powyższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ⟨- 7, 4) \to (1, 9⟩$ . Naszkicujemy wykres funkcji $g (x) = f (x - 4)$ i podamy jej dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę oraz zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości.

Zaczynamy od interpretacji wzoru $g (x) = f (x - 4)$ , który oznacza przesunięcie w prawoprzesunięcie w prawo o $4$ jednostki, wzdłuż osi $X$ danego wykresu.

RMr6ctL8ST5FA

Z wykresu odczytamy dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji $g$ .

$D_{g} = ⟨- 3, 8)$

$Z W_{g} = (1, 9⟩$

Przykład 7

Uzupełnimy tabelę, mając własności funkcji $f$ .

Funkcja	Dziedzina	Miejsca zerowe
$f (x)$	$D_{f} = ⟨- 5, 2⟩ \cup \{4, 5, 6\}$	$- 3, 1, 5$
$g (x) = f (x + 7)$
$g (x) = f (x - 6)$

Rozwiązanie rozpoczynamy od wyjaśnienia wzoru $g (x) = f (x + 7)$ . Wiemy już, że oznacza on przesunięcie w lewoprzesunięcie w lewoprzesunięcie w lewo o $7$ jednostek wykresu danej funkcji, co ma przełożenie na przesunięcie o $7$ jednostek w lewo każdego punktu wykresu.

Zatem: $D_{g} = ⟨- 12, - 5⟩ \cup \{- 3, - 2, - 1\}$ , zaś miejscami zerowymi tej funkcji są liczby: $- 10$ , $- 6$ , $- 2$ .

Podobnie postępujemy w przypadku funkcji $g (x) = f (x - 6)$ . Wzór ten oznacza, że wykres danej funkcji należy przesunąć w prawoprzesunięcie w prawoprzesunąć w prawo o $6$ jednostek, czyli każdemu argumentowi funkcji, odpowiada liczba o 5 większa. Z powyższego wynika, że $D_{g} = ⟨1, 8⟩ \cup \{10, 11, 12\}$ , miejscami zerowymi funkcji są liczby: $3$ , $7$ , $11$ .

Funkcja	Dziedzina	Miejsca zerowe
$f (x)$	$D_{f} = ⟨- 5, 2⟩ \cup \{4, 5, 6\}$	$- 3, 1, 5$
$g (x) = f (x + 7)$	$D g = ⟨- 12, - 5⟩ \cup \{- 3, - 2, - 1\}$	$- 10, - 6, - 2$
$g (x) = f (x - 6)$	$D_{g} = ⟨1, 8⟩ \cup \{10, 11, 12\}$	$3, 7, 11$

Przykład 8

Dany jest wykres funkcji $f$ .

RZKtzPCFWrZo12

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do dziewięciu. Wykres funkcji jest w postaci łamanej, który zaczyna się w punkcie należącym do wykresu funkcji o współrzędnych -8,9. Następnie wykres funkcji maleje do punktu o współrzędnych -4,-3 a potem rośnie do punktu (-1,6). Dalej wykres funkcji maleje do punktu (2,3) i ostatecznie od podanego punktu wykres funkcji jest stały do punktu o współrzędnych (6,3) , który należy do wykresu funkcji.

Wyznaczymy dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości, miejsca zerowemiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowe, maksymalne przedziały monotoniczności danej funkcji oraz funkcji:

a) $g (x) = f (x - 1)$

b) $g (x) = f (x + 2)$

Rozwiązanie rozpoczniemy od wypisania wszystkich informacji na temat funkcji $f$

$D_{f} = ⟨- 8, 6⟩$
$Z W_{f} = ⟨- 3, 9⟩$
miejsca zerowe funkcji $f$ : $- 5$ , $- 3$
maksymalne przedziały monotoniczności:
funkcja maleje w przedziałach $⟨- 8, - 4⟩, ⟨- 1, 2⟩$
funkcja rośnie w przedziale $⟨- 4, - 1⟩$
funkcja jest stała w przedziale $⟨2, 6⟩$ .

RqP3Agoyk9xxo

Przykład 9

Dany jest wykres funkcji $f$ .

R3QqUCYEoykCd2

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziesięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do dwóch. Wykres funkcji jest w postaci łamanej, który zaczyna sie w punkcie nie należącym do wykresu funkcji o współrzędnych -7,2. Następnie wykres funkcji maleje do punktu o współrzędnych -4,-1 a potem rośnie do punktu (-1,2). Dalej wykres funkcji maleje do punktu o współrzędnych (2,-4)</math, który należy do wykresu funkcji.

Wyznaczymy argumenty, dla których:

a) $f (x + 3) \geq 0$ ,

b) $f (x - 4) < 0$ .

ad a) Na początku ustalimy argumenty, dla których $f (x) \geq 0$ .

$f (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (- 7, - 5⟩ \cup ⟨- 3, 0⟩$

$f (x + 3)$ oznacza przesunięcie w lewoprzesunięcie w lewoprzesunięcie w lewo o $3$ jednostki odpowiedniego wykresu, zatem

$f (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (- 10, - 8⟩ \cup ⟨- 6, - 3⟩$

ad b) Podobnie jak w przykładzie a), ustalamy argumenty dla których $f (x) < 0$ .

$f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 5, - 3) \cup (0, 2⟩$

$f (x - 4)$ oznacza przesunięcie w prawoprzesunięcie w prawoprzesunięcie w prawo o $4$ jednostki wykresu funcji f, zatem

$f (x - 4) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1, 1) \cup (4, 6⟩$ .

Ważne!

Przesunięcie wykresu funkcji $y = f (x)$ wzdłuż osi $X$ nie ma wpływu na:

zbiór wartości funkcji,
najmniejszą, największą wartość funkcji (o ile istnieją).

Aplet

Korzystając z symulacji interaktywnej, zaobserwuj, jak zmienia się wzór funkcji, gdy przesuniesz dany wykres wzdłuż osi $X$ (w prawo lub w lewo), a następnie wykonaj poniższe polecenia.

R6vBGLmJjy5uZ

Polecenie 1

Korzystając z symulacji interaktywnej funkcji liniowej (pierwsza funkcja) sporządź wykres funkcji $y = \frac{1}{2} x - 1$ . Używając suwaka $p$ przesuń wykres o $3$ jednostki w prawo. Podaj wzór otrzymanej funkcji oraz miejsce zerowe.

Wykres funkcji $y = \frac{1}{2} x - 1$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo. Podaj wzór otrzymanej funkcji oraz miejsce zerowe.

$y = \frac{1}{2} (x - 3) - 1 = \frac{1}{2} x - 2 \frac{1}{2}$

Miejscem zerowym funkcji jest $x = 5$ .

Polecenie 2

Korzystając z symulacji interaktywnej funkcji kwadratowej (druga funkcja) sporządź wykres funkcji $y = - 2 x^{2}$ . Używając suwaka $p$ przesuń wykres o $4$ jednostki w lewo. Podaj wzór otrzymanej funkcji oraz maksymalne przedziały monotoniczności.

Wykres funckji $y = - 2 x^{2}$ przesunięto o $4$ jednostki w lewo. Podaj wzór otrzymanej funkcji oraz maksymalne przedziały monotoniczności.

$y = - 2 {(x + 4)}^{2} = - 2 (x^{2} + 8 x + 16) = - 2 x^{2} - 16 x - 32$

funkcja rośnie dla $x \in (- \infty, - 4⟩$

funkcja maleje dla $x \in ⟨- 4, + \infty)$ .

Polecenie 3

Korzystając z wykresu funkcji $f$ (trzecia funkcja w symulacji interaktywnej), wyznacz argumenty, dla których:

a) $f (x - 3) > 0$

b) $f (x + 2) \leq 0$ .

ad a)

$f (x - 3) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 0) \cup (2, 4)$ .

ad b)

$f (x + 2) \leq 0 \Leftrightarrow x \in ⟨- 5, - 3⟩ \cup ⟨- 1, + \infty)$ .

Zestaw ćwiczen interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1PfaNo5lmbBG1

Ćwiczenie 1

RIbIZ1e19ZQUY1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

RbVkGeQJ1zev41

RJ77QzNgBApEr

Dany jest wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu jest obrazem wykresu funkcji f otrzymanym w wyniku przesunięcia wzdłuż osi X o pięć jednostek w lewo. Wskaż opis rysunku, który obrazuje to przesunięcie. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do dziesięciu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch łamanych funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punktu nawias minus jeden średnik minus trzy koniec nawiasu po czym rośnie do punktu nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik minus dwa po czym znów rośnie. Wykres drugiej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punktu nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu, po czym zaczyna rosnąc do punktu nawias siedem średnik zero koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias dziewięć średnik minus dwa koniec nawiasu i znów zaczyna rosnąć., 2. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziesięciu i siedmiu oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch łamanych funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punkt nawias minus jeden średnik minus trzy nawiasu po czym rośnie do punktu nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik minus dwa po czym znów rośnie. Wykres drugiej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punktu nawias minus sześć średnik minus trzy, po czym zaczyna rosnąć do punktu nawias minus trzy średnik zero koniec nawiasu. Następnie zaczyna maleć do punktu nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, po czym znów zaczyna rosnąć., 3. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do siedmiu i oś Y od minus ośmiu do jedynki. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch łamanych funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punkt nawias minus jeden średnik minus trzy nawiasu po czym rośnie do punktu nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik minus dwa po czym znów rośnie. Wykres drugiej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punktu nawias minus jeden średnik minus osiem koniec nawiasu, po czym rośnie do punktu nawias dwa średnik minus pięć koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik minus siedem koniec nawiasu, po czym znów zaczyna rosnąć., 4. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do siedmiu i oś Y od minus trzech do ośmiu. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch łamanych funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punkt nawias minus jeden średnik minus trzy nawiasu po czym rośnie do punktu nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik minus dwa po czym znów rośnie. Wykres drugiej funkcji zaczyna się w minus nieskończoności i maleje do punktu nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu, po czym zaczyna rosnąć do punktu nawias dwa średnik pięć koniec nawiasu. Następnie maleje do punktu nawias cztery średnik trzy koniec nawiasu, po czym znów zaczyna rosnąć.

R1IpPSCSJVxM42

Ćwiczenie 4

Połącz zapis symboliczny przesunięcia wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu wzdłuż osi X z opisem słownym g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w prawo, 2. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w prawo, 3. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w lewo, 4. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w lewo g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias x, plus, sześć zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w prawo, 2. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w prawo, 3. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w lewo, 4. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w lewo g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias x, minus, sześć zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w prawo, 2. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w prawo, 3. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w lewo, 4. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w lewo g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias x, plus, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w prawo, 2. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w prawo, 3. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 4 jednostki w lewo, 4. przesunięcie wykresu funkcji y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu o 6 jednostek w lewo

Ćwiczenie 5

Rji6STc4jmV9G2

RtIxAdVSangZu

Dany jest wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu jest obrazem otrzymanym w wyniku przesunięcia wykresu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu wzdłuż osi X. Połącz w pary opisy wykresów z właściwym podpisem przekształcenia. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus sześciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias jeden średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Wykres drugiej funkcji także jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias trzy średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias cztery średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus sześciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias jeden średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Wykres drugiej funkcji także jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias minus pięć średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias minus cztery średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus sześciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji, pierwsza o równaniu y równa się f od x oraz druga o równaniu y równa się g od x. Wykres pierwszej funkcji jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias jeden średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Wykres drugiej funkcji także jest częściową parabolą z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie nawias minus jeden średnik minus cztery koniec nawiasu. Po prawej stronie od wierzchołka funkcja rośnie do punktu nawias zero średnik minus trzy po czym wykres zmienia się w malejącą prostą. Możliwe odpowiedzi: 1. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, 2. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu

RJFqgqwoUE7k02

Ćwiczenie 6

RNm9mvw0yIoQZ2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R18v4Y6NEFr4i3

R7bFXqBjWYD2x

Ćwiczenie 9

Dany jest wykres funkcji $y = f (x)$ .

RbWOlyeVS6daJ

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do ośmiu. Na układzie współrzędnych zaznaczono dwa wykresy funkcji w postaci łamanych. Pierwszy wykres funkcji maleje przechodząc przez punkty o współrzędnych -7,6 oraz -3,2 do punktu o współrzędnych -1,0. Następnie wykres funkcji rośnie przechodząc przez punkty 2,3 oraz 7,8. Wykres nazwany jest y=fx. Drugi wykres funkcji maleje przechodząc przez punkty o współrzędnych -4,7 oraz -1,4 do punktu o współrzędnych 3,0. Następnie wykres funkcji rośnie przechodząc przez punkty 5,2 oraz 8,5. Wykres nazwany jest y=gx.

R1RMQqr1yIvGv

Ćwiczenie 10

R13izHmNhHdkl

R3RQXuVOqM7Bb1

Ćwiczenie 11

R1eWm4aCuUgy8

RtexjJPzOCSr22

Ćwiczenie 12

RX4UXYIlpqlGd

Dziedziną funkcji f jest zbiór D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, siedem, przecinek, pięć. Połącz wzór funkcji g z jej dziedziną. g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwanaście, przecinek, zero, 2. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa, przecinek, dziesięć, 3. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dziesięć, przecinek, dwa, 4. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, osiem, 5. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pięć, przecinek, siedem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwanaście, przecinek, zero, 2. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa, przecinek, dziesięć, 3. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dziesięć, przecinek, dwa, 4. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, osiem, 5. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pięć, przecinek, siedem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwanaście, przecinek, zero, 2. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa, przecinek, dziesięć, 3. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dziesięć, przecinek, dwa, 4. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, osiem, 5. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pięć, przecinek, siedem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwanaście, przecinek, zero, 2. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa, przecinek, dziesięć, 3. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dziesięć, przecinek, dwa, 4. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, osiem, 5. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pięć, przecinek, siedem g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwanaście, przecinek, zero, 2. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa, przecinek, dziesięć, 3. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dziesięć, przecinek, dwa, 4. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, osiem, 5. D indeks dolny, g, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pięć, przecinek, siedem

Ćwiczenie 13

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f (x)$ .

Ry8SmrmidK48I

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji w postaci łamanej, który zaczyna się w punkcie -3,1, który należy do wykresy funkcji. Od podanego punktu wykres funkcji rośnie do punktu 0,2 a następnie maleje do punktu 3,-1. Ostatecznie wykres funkcji rośnie do punktu 4,0, który nie należy do wykresu funkcji.

Określamy funkcję $g$ wzorem $g (x) = f (x + 2)$ .

RNexpCe6vtj5f

Ćwiczenie 14

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f (x)$ .

R1OvGioD1MTse

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji w postaci łamanej, który początkowo rośnie przechodząc przez punkt -3,5;0 do punktu -2,1. Od podanego punktu wykres funkcji jest stały aż do punktu 0,1 a następnie rośnie do punktu 2,3. Ostatecznie wykres funkcji maleje dla argumentów dążących do nieskończoności przechodząc przez punkt o współrzędnych 3,1.

Określamy funkcję $g$ wzorem $g (x) = f (x - 2)$ .

R1Aog6VDjSrFs

Ćwiczenie 15

Dany jest wykres funkcji $y = f (x)$ .

RFuI719kbiwtx

Na rysunku przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dziesięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. W układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcji wymiernej, który posiada asymptotę pionową o równaniu x=3 oraz asymptotę poziomą o równaniu y=1. Wykres jest w postaci dwóch krzywych znajdujących się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu wyznaczonego przez asymptoty. Pierwsza krzywa przechodzi przez punkt 4,2 a druga krzywa przechodzi przez punkt 2,0. Obydwie krzywe są malejące.

RRihNB7wvDzjc

Ćwiczenie 16

Rw8z0ZXJUrrI6

Słownik

dziedzina funkcji

dziedzina funkcji liczbowej określonej za pomocą wzoru - zbiór wszystkich liczb, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy; z wykresu dziedzinę funkcji odczytujemy na osi $X$

miejsce zerowe funkcji

argument, czyli $x$ dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ ; mając wykres funkcji, jest to odcięta punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

przesunięcie w prawo

wzór $y = f (x - p)$ , gdzie $p > 0$ określa przesunięcie wykresu funkcji $y = f (x)$ w prawo o $p$ jednostek, wzdłuż osi $X$

przesunięcie w lewo

wzór $y = f (x + p)$ , gdzie $p > 0$ określa przesunięcie wykresu funkcji $y = f (x)$ w lewo o $p$ jednostek, wzdłuż osi $X$

współrzędne punktu

uporządkowana para liczb $(x, y)$ ; pierwszą współrzędną punktu nazywamy odciętą, zaś drugą rzędną punktu

zbiór wartości funkcji

zbiór wartości funkcji liczbowej - zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów; z wykresu funkcji zbiór wartości odczytujemy na osi $Y$

2. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi Y

Podstawowe przekształcenia wykresu funkcji