1. Potęga o wykładniku naturalnym

R6A19E2NP7ERN

Często obserwowanym zjawiskiem jest nadawanie nazwy obiektowi lub zjawisku, które powtarza się w jakiś konkretnych sytuacjach. Wraz z rozwojem arytmetyki matematycy zwrócili uwagę na iloczyny, w których wszystkie czynniki były takie same. Obliczając pole kwadratu o boku $a$ , wykonujemy mnożenie $a \cdot a$ , chcąc wyznaczyć objętość sześcianu o krawędzi $a$ , rozważamy iloczyn $a \cdot a \cdot a$ . Dla uproszczenia zapisu w takich i analogicznych wyrażeniach wprowadzono pojęcie potęgi.

Twoje cele

Zastosujesz definicję potęgowania do obliczania wartości potęg o wykładniku naturalnym.
Zastosujesz własności potęg o wykładniku naturalnym.

Potęgowanie to uogólnienie mnożenia.

Potęgą o podstawie $a$ i wykładniku naturalnym dodatnim $n$ nazywamy iloczyn zbudowany z $n$ czynników, z których każdy ma wartość równą $a$ :

R13N9HF2TUAGC

Na ilustracji znajduje się równanie A do potęgi N równa się A razy A razy A razy trzy kropki razy A. A oznaczone jest jako podstawa potęgi A należy do zbioru liczb rzeczywistych. Potęga N oznaczona jest jako wykładnik potęgi N należy do zbioru liczb naturalnych bez zera. A mnożone przez siebie oznaczone są jako N czynników.

Ponadto jeśli $a$ nie jest zerem definiujemy zerową potęgę liczby $a$ i przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ .

Ważne!

Nie definiujemy wartości wyrażenia $0^{0}$ .

W niektórych działach matematyki wygodnie jest się umówić, że wartość wyrażenia $0^{0}$ jest równa $1$ , w innych – że ta wartość to $0$ . W szkole przyjmujemy umowę, że jest to tzw. symbol nieoznaczonysymbol nieoznaczony lub wyrażenie nieoznaczonewyrażenie nieoznaczone, czyli takie którego wartości nie definiujemy.

Przykład 1

Obliczmy:

$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$3^{0} = 1$

$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

${(\sqrt{2})}^{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$

${(\sqrt[3]{5})}^{3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{125} = 5$

Pole kwadratu o boku długości $x$ jest równe $x \cdot x = x^{2}$ , zaś objętość sześcianu o krawędzi długości $x$ to $x \cdot x \cdot x = x^{3}$ . W związku z tym wyrażenie “ $x^{2}$ ” czytamy najczęściej jako “ $x$ kwadrat”, zaś wyrażenie “ $x^{3}$ ” jako “ $x$ sześcian”.

Poniewaz rozwiązując zadania często potrzebujemy kwadratów i sześcianów liczb, warto znać na pamięć niektóre z nich lub przynajmniej je kojarzyć.

Przykład 2

Podamy kwadraty wybranych liczb naturalnych, których wartości wykraczają poza tradycyjną tabliczkę mnożenia w zakresie do stu.

Liczba naturalna $n$	Kwadrat liczby $n$
$11$	$11^{2} = 11 \cdot 11 = 121$
$12$	$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$
$13$	$13^{2} = 13 \cdot 13 = 169$
$14$	$14^{2} = 14 \cdot 14 = 196$
$15$	$15^{2} = 15 \cdot 15 = 225$
$16$	$16^{2} = 16 \cdot 16 = 256$
$17$	$17^{2} = 17 \cdot 17 = 289$
$18$	$18^{2} = 18 \cdot 18 = 324$
$19$	$19^{2} = 19 \cdot 19 = 361$
$21$	$21^{2} = 21 \cdot 21 = 441$
$22$	$22^{2} = 22 \cdot 22 = 484$
$23$	$23^{2} = 23 \cdot 23 = 529$
$24$	$24^{2} = 24 \cdot 24 = 576$
$25$	$25^{2} = 25 \cdot 25 = 625$
$26$	$26^{2} = 26 \cdot 26 = 676$
$27$	$27^{2} = 27 \cdot 27 = 729$
$28$	$28^{2} = 28 \cdot 28 = 784$
$29$	$29^{2} = 29 \cdot 29 = 841$
$31$	$31^{2} = 31 \cdot 31 = 961$

Przykład 3

Podamy sześciany wybranych liczb naturalnych.

Liczba naturalna $n$	Sześcian liczby naturalnej $n$
$0$	$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$1$	$1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$2$	$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$3$	$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$4$	$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$5$	$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$6$	$6^{3} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
$7$	$7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
$8$	$8^{3} = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
$9$	$9^{3} = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$

Przykład 4

W zadaniach związanych z informatyką przydają się również potęgi liczby $2$ .

Potęga liczby $2$	Wartość potęgi
$2^{0}$	$1$
$2^{1}$	$2$
$2^{2}$	$4$
$2^{3}$	$8$
$2^{4}$	$16$
$2^{5}$	$32$
$2^{6}$	$64$
$2^{7}$	$128$
$2^{8}$	$256$
$2^{9}$	$512$
$2^{10}$	$1024$

Przykład 5

Wykonamy mnożenie potęg o tych samych podstawach:

$5^{3} \cdot 5^{4} = (5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{7}$

${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{5} = [(\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3})] \cdot [(\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3})] =$

$= (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{7}$

Jeśli $a$ nie jest równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

a^{k} \cdot a^{m} = \underset{k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot . . . \cdot a)} \cdot} \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot . . . \cdot a)}} = \underset{k + m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} = a^{k + m}

Zatem iloczyn potęg o tej samej podstawie $a$ jest równy potędze o podstawie $a$ i wykładniku równym sumie wykładników mnożonych czynników.

Przykład 6

Wykonamy dzielenie potęg o tych samych podstawach:

$\frac{6^{7}}{6^{3}} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{1} = 6^{4}$

$\frac{{0,2}^{6}}{0, 2^{4}} = \frac{0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2}{0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2} = \frac{0,2 \cdot 0,2}{1} = 0, 2^{2}$

Jeśli $a$ nie jest równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

\frac{a^{k}}{a^{m}} = \frac{\overset{k c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot a}}}{\underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}} = \frac{\overset{k - m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot . . . \cdot a}}}{1} = a^{k - m}

Powyższe rozumowanie przeprowadziliśmy przy założeniu, że $k \geq m$ , ale po omówieniu potęg o wykładniku ujemnym przekonamy się, że reguła jest prawdziwa również w przypadku, gdy $k < m$ .

Zatem iloraz potęg o tej samej podstawie $a$ jest równy potędze o podstawie $a$ i wykładniku równym różnicy wykładników mnożonych czynników.

Przykład 7

Wykonamy mnożenie potęg o takich samych wykładnikach:

$2^{4} \cdot 3^{4} = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = {(2 \cdot 3)}^{4} = 6^{4}$

${(\frac{3}{4})}^{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{5} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) =$

$= (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) = {(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5})}^{5} = {(\frac{3}{5})}^{5}$

Jeśli $a$ i $b$ nie są równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnej liczby naturalnej $m$ zachodzi:

a^{m} \cdot b^{m} = \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot . . . \cdot a)} \cdot} \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(b \cdot . . . \cdot b)}} = \underset{m n a w i a s ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}} = {(a \cdot b)}^{m}

Zatem iloczyn potęg o tym samym wykładniku i podstawach różnych od zera jest równy potędze o podstawie będącej iloczynem podstaw czynników oraz wykładniku równym wykładnikowi czynników.

Przykład 8

Wykonamy dzielenie potęg o takich samych wykładnikach:

$\frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = {(\frac{2}{3})}^{4}$

$\frac{{0,1}^{3}}{{0,4}^{3}} = \frac{0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1}{0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4} = \frac{0,1}{0,4} \cdot \frac{0,1}{0,4} \cdot \frac{0,1}{0,4} = {(\frac{0,1}{0,4})}^{3}$

Jeśli $a$ i $b$ nie są równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnej liczby naturalnej $m$ zachodzi:

\frac{a^{m}}{b^{m}} = \frac{\overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}}{\underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}}} = \overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot . . . \cdot \frac{a}{b}}} = {(\frac{a}{b})}^{m}

Zatem iloraz potęg o tym samym wykładniku i podstawach różnych od zera jest równy potędze o podstawie będącej ilorazem podstaw czynników oraz wykładniku równym wykładnikowi czynników.

Przykład 9

Rozważymy potęgę o podstawie również będącej potęgą:

${(3^{2})}^{5} = 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) =$

$= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{10}$

${(7^{3})}^{4} = 7^{3} \cdot 7^{3} \cdot 7^{3} \cdot 7^{3} = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) =$

$= 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{12}$

Jeśli $a$ jest liczbą różną od zera, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

{(a^{m})}^{k} = \underset{k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a^{m} \cdot . . . \cdot a^{m}}} = \underset{k n a w i a s ó w}{\underset{⏟}{\overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{(a \cdot . . . \cdot a)}} \cdot . . . \cdot \overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{(a \cdot . . . \cdot a)}}}} = \underset{m \cdot k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot . . . \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot . . . \cdot a}} = a^{m \cdot k}

Zatem potęga o wykładniku naturalnympotęga o wykładniku naturalnympotęga o wykładniku naturalnym $k$ potęgi o wykładniku $m$ niezerowej liczby $a$ jest równa potędze liczby $a$ o wykładniku równym iloczynowi wykładników $k$ i $m$ .

Przykład 10

Rozważmy jeszcze kilka przykładów:

$2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4}$

$3^{4} + 3^{4} + 3^{4} = 3 \cdot 3^{4} = 3^{5}$

$5^{6} + 2 \cdot 5^{6} + 2 \cdot 5^{6} = 5^{6} \cdot (1 + 2 + 2) = 5^{6} \cdot 5 = 5^{7}$

$6^{5} - 6^{4} = 6 \cdot 6^{4} - 6^{4} = 6^{4} \cdot (6 - 1) = 5 \cdot 6^{4}$

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Ułóż domino. Jeśli dane wyrażenie nie ma wartości przyporządkuj mu kostkę z krzyżykiem.

R1VKOEZAB5F4B1

RMFDHPDB25EPL

Polecenie 2

Zbuduj podobne domino złożone z sześciu kostek, w którym wykorzystasz własności potęg o wykładniku naturalnym. Swoje domino daj do rozwiązania koledze lub koleżance z klasy.

R1DSAC6DJSSJ8

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RQRFT53UNJBKA1

Ćwiczenie 1

R1P1TS94TZO181

Ćwiczenie 2

Połącz w pary potęgę i jej wartość. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwieście szesnaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 9. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt sześć, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R1B9DP37PZAQ2

R1NA39RK68LEG

RHXHEDQU6ZANX

RGNAVB175XXHV

R13F8PRKVQSQO

RUZ95A5F8DT1T2

Ćwiczenie 4

RNQT1XLXPB49P2

Ćwiczenie 5

R1FFS1N832JJL2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Przedstaw w postaci potęgi:

a) o podstawie $2$ wyrażenie ${[{(0, 3)}^{4} : {(0, 6)}^{4}]}^{5} \cdot 16^{8}$ ,

b) o podstawie $3$ wyrażenie ${(18^{2} \cdot 81^{3})}^{2} : {(4 \cdot 3^{15})}^{2}$ .

${[{(0, 3)}^{4} : {(0, 6)}^{4}]}^{5} \cdot 16^{8} = {[{(0, 3 : 0, 6)}^{4}]}^{5} \cdot {(2^{4})}^{8} = {[{(\frac{1}{2})}^{4}]}^{5} \cdot 2^{32} =$

$= {(\frac{1}{2})}^{20} \cdot 2^{32} = \frac{1}{2^{20}} \cdot 2^{32} = \frac{2^{32}}{2^{20}} = 2^{12}$

${(18^{2} \cdot 81^{3})}^{2} : {(4 \cdot 3^{15})}^{2} = {[{(3^{2} \cdot 2)}^{2} \cdot {(3^{4})}^{3}]}^{2} : (16 \cdot 3^{30}) =$

$= {(3^{4} \cdot 4 \cdot 3^{12})}^{2} : (16 \cdot 3^{30}) = {(4 \cdot 3^{16})}^{2} : (16 \cdot 3^{30}) =$

$= 16 \cdot 3^{32} : (16 \cdot 3^{30}) = \frac{16 \cdot 3^{32}}{16 \cdot 3^{30}} = 3^{2}$

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że $a \neq 0$ . Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci potęgi o podstawie $a$ .

a) $\frac{{(a^{7} \cdot a^{3})}^{2}}{a^{7} : {[{(a^{3})}^{3} \cdot a^{5}]}^{2}}$

b) $\frac{{(a^{9} : a^{3})}^{2} : a^{5}}{{[{(a^{4})}^{3} : a^{4}]}^{2} : a^{10}}$

$\frac{{(a^{7} \cdot a^{3})}^{2}}{a^{7} : {[{(a^{3})}^{3} \cdot a^{5}]}^{2}} = \frac{{(a^{10})}^{2}}{a^{7} : {[a^{9} \cdot a^{5}]}^{2}} = \frac{a^{20}}{a^{7} : {[a^{14}]}^{2}} = \frac{a^{20}}{a^{7} : a^{28}} = \frac{a^{20}}{a^{- 21}} = a^{41}$

$\frac{{(a^{9} : a^{3})}^{2} : a^{5}}{{[{(a^{4})}^{3} : a^{4}]}^{2} : a^{10}} = \frac{{(a^{6})}^{2} : a^{5}}{{[a^{12} : a^{4}]}^{2} : a^{10}} = \frac{a^{12} : a^{5}}{{[a^{8}]}^{2} : a^{10}} = \frac{a^{7}}{a^{16} : a^{10}} = \frac{a^{7}}{a^{6}} = a^{1}$

Słownik

potęga o wykładniku naturalnym

potęgą o podstawie $a$ i wykładniku będącym liczbą naturalną $n$ nazywamy wyrażenie $a^{n} = \underset{n c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot . . . \cdot a}}$ dla $n > 1$ ; jeśli $n = 1$ , przyjmujemy $a^{1} = a$ ; jeśli $a \neq 0$ , przyjmujemy $a^{0} = 0$ ; nie definiujemy wartości wyrażenia $0^{0}$

symbol nieoznaczony / wyrażenie nieoznaczone

wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego; próby przypisania wartości takiemu wyrażeniu kończą się uzyskaniem sprzeczności

2. Potęga o wykładniku całkowitym

Potęgi