4. Pola trójkątów podobnych

R1T3CMXU1DV9X

Poniższa grafika pokazuje kolejne etapy tworzenia trójkąta Sierpińskiego - jednego z najprostszych fraktali.

R1HMRMMS6OSTF

Ilustracja przedstawia pięć kolejnych etapów tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po lewej stronie narysowany jest i zamalowany na czarno trójkąt równoboczny. Obok niego jest trójkąt równoboczny tej samej wielkości, w którym połączono środki jego boków, dzieląc go na cztery identyczne trójkąty, przy czym trójkąt środkowy usunięto. Trzeci trójkąt powstał z drugiego w ten sposób, że w każdym trójkącie składowym zastosowano procedurę dzielenia trójkąta na cztery części i usuwania środka każdego z nich. Podobnie czwarty i piąty trójkąt powstał z poprzedniego trójkąta poprzez stosowanie tej samej procedury dzielenia trójkątów składowych i usuwania środka każdego z nich.

Łącząc środki boków trójkąta równobocznego dzielimy go na cztery mniejsze trójkąty równoboczne. Każdy z nich jest podobny do trójkąta wyjściowego. Każdy z nich ma bok będący połową długości dzielonego trójkąta i pole będące czwartą częścią tego trójkąta. Powtarzając tą procedurę dla kolejnych trójkątów otrzymujemy fraktal nazywany trójkątem Sierpińskiego.

Jedną z ciekawostek dotyczącym tego fraktalu jest fakt, że jest on tak „dziurawy”, że jego pole wynosi zero.

W materiale omówimy zależność, jaka występuje pomiędzy polami trójkątów podobnych.

Twoje cele

Określisz wzór na skalę podobieństwa trójkątów podobnych, gdy dane są ich pola.
Obliczysz zależności między bokami, obwodami i polami trójkątów podobnych.
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

O figurach mających ten sam kształt, a różniących się co najwyżej wielkością mówimy, że są podobne.

O wielokątach mówimy, że są podobne, jeśli miary ich kątów są odpowiednio równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.

Trójkąty są podobnetrójkąty podobneTrójkąty są podobne, gdy zachodzi jeden z poniższych warunków (cech podobieństwa trójkątów):

długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta,
trójkąty mają takie same kąty,
długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równej miary.

RCRQAHC8TFDF3

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty jeden A B C, a drugi A prim B prim C prim. Jednym łukiem został zaznaczony kąt przy wierzchołku A oraz A prim. Dwoma łukami kąt przy wierzchołku C oraz C prim. A trzema łukami został oznaczony kąt przy wierzchołku B oraz B prim.

Jeżeli trójkąty mają ustalone nazwy wierzchołków, to podobieństwo tych trójkątów zapisujemy symbolicznie $△ A B C ~ △ A' B' C'$ .

Na rysunku przedstawiono trójkąty podobne z zaznaczonymi długościami boków oraz obwodami.

R1VBHUQ2BAA7M

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty. Pierwszy o bokach a b oraz c. Obwód pierwszego trójkąta zapisano równaniem L, równa się, a, plus, b, plus, c. Drugi o bokach a prim b prim c prim. Obwód drugiego trójkąta zapisano równaniem L, równa się, a prim, plus, b prim, plus, c prim

Jeżeli przez $k$ oznaczymy skalę podobieństwa tych trójkątów, to:

$k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$ ,

$k = \frac{L'}{L}$ .

pola trójkątów podobnych

Twierdzenie: pola trójkątów podobnych

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych trójkątów.

Dowód twierdzenia

Narysujmy dwa trójkąty, które są podobne w skali $k$ , gdzie $k > 0$ . Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach:

RX3O8HDDL2DA1

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty. Pierwszy o podstawie o długości a i wysokości h upuszczonej na tą podstawę. Drugi o podstawie a prim i wysokości h upuszczonej na tą podstawę.

Jeżeli trójkąty są podobne w skali $k$ , to ich odpowiednie boki oraz wysokości są proporcjonalne.

Zatem:

$k = \frac{a'}{a}$ , więc $a' = k \cdot a$ ,

$k = \frac{h'}{h}$ , więc $h' = k \cdot h$ .

Oznaczmy pole mniejszego trójkąta jako $P$ , a większego jako $P'$ .

Wówczas, stosując oznaczenia z rysunków otrzymujemy:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ ,

$P' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot h'$ .

Zatem:

$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a' \cdot h'}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h} = \frac{\frac{1}{2} \cdot k \cdot a \cdot k \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h} = k^{2}$ .

Przykład 1

Obwód trójkąta $A B C$ wynosi $72$ , a jego pole $144$ . Obwód trójkąta $A' B' C'$ do niego podobnego wynosi $18$ . Obliczymy pole trójkąta $A' B' C'$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ trójkąty $A B C$ oraz $A' B' C'$ są podobne, zatem:

$k = \frac{L_{A B C}}{L_{A' B' C'}} = \frac{72}{18} = 4$ .

Korzystając z faktu, że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa otrzymujemy, że:

$k^{2} = \frac{P_{A B C}}{P_{A' B' C'}}$ , więc $4^{2} = \frac{144}{P_{A' B' C'}}$ .

Zatem $P_{A' B' C'} = 9$ .

Przykład 2

Stosunek pól trójkątów podobnych $K L M$ oraz $K' L' M'$ wynosi $\frac{9}{16}$ . Wiedząc, że długość podstawy $K L$ trójkąta $K L M$ jest o $4$ mniejsza od długości podstawy $K' L'$ , obliczymy długości tych podstaw.

REKNVQJN8TTE5

Ilustracja przedstawia trójkąty podobne KLM oraz k prim l prim m prim.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $k$ oznaczymy skalę podobieństwa tych trójkątów oraz zapiszemy $|K' L'| = |K L| + 4$ , to:

$k^{2} = \frac{9}{16}$ , zatem $k = \frac{3}{4}$ .

Zauważmy, że $k = \frac{|K L|}{|K' L'|}$ , zatem $\frac{3}{4} = \frac{|K L|}{|K L| + 4}$ .

Z równania otrzymujemy, że $|K L| = 12$ , zatem $|K' L'| = 16$ .

Przykład 3

Suma pól dwóch trójkątów podobnych jest równa $270$ , a skala podobieństwa tych trójkątów wynosi $k = 3$ . Wyznaczymy pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia:

$P_{1}$ – pole pierwszego trójkąta,

$P_{2}$ – pole drugiego trójkąta.

Jeżeli skala podobieństwa tych trójkątów wynosi $k = 3$ , to do wyznaczenia pola każdego z tych trójkątów rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} P_{1} + P_{2} = 270 \\ \frac{P_{1}}{P_{2}} = 3^{2} \end{cases}$

Z drugiego równania wynika, że $P_{1} = 9 \cdot P_{2}$ , zatem:

$9 \cdot P_{2} + P_{2} = 270$ , czyli $P_{2} = 27$ .

$P_{1} = 9 \cdot P_{2} = 9 \cdot 27 = 243$ .

Pola tych trójkątów wynoszą $243$ i $27$ .

Zależność pomiędzy polami trójkątów podobnych możemy wykorzystać do obliczania pól innych figur.

Przykład 4

Wyznaczymy pole trapezu $A B C D$ przedstawionego na rysunku, jeżeli wiadomo, że pola trójkątów $A B S$ oraz $S C D$ wynoszą odpowiednio $28$ i $7$ .

RMJZP36SM87MB

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że trójkąty $A B S$ oraz $S C D$ są podobne, ponieważ mają takie same kąty.

RLTKJGFGGXQES

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S. Kąt pomiędzy przekątną a wierzchołkiem A oraz C ma miarę alfa. Kąt pomiędzy wierzchołkiem B oraz D ma miarę beta. Kąty wierzchołkowe na przecięciu przekątnych maja miarę gamma.

Zatem $k^{2} = \frac{P_{A B S}}{P_{S C D}} = \frac{28}{7} = 4$ , więc skala podobieństwa tych trójkątów wynosi $2$ .

Podstawy i wysokości trójkątów $A B S$ oraz $S C D$ pozostają zatem w stosunku $2 : 1$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RRDCAPDUU64AO

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S. Ze środka górnej podstawy DC o długości a upuszczono wysokość na dolną podstawę 2 a. Długość wysokości od górnej podstawy do punktu S ma miarę h, a długość od dolnej podstawy do punktu S ma miarę 2h.

Zgodnie z oznaczeniami mamy:

$P_{S C D} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ , czyli $7 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ , więc $a \cdot h = 14$ .

$P_{A B C D} = \frac{(2 a + a) \cdot 3 h}{2} = \frac{9 \cdot a \cdot h}{2} = \frac{9 \cdot 14}{2} = 63$ .

Pole trapezu $A B C D$ wynosi $63$ .

Przykład 5

Obliczymy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jeśli wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o polach $81$ i $225$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R196PTZM2DFKL

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Przekątna upuszczona z wierzchołka A na przeciwprostokątną ma miarę h. Tworzy ona z nią punkt D, który dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki x oraz y. Powstały dwa trójkąty. Pierwszy A C D o polu równym 81 jednostek oraz drugi A B D o polu równym 225

Trójkąty $A B D$ oraz $A D C$ są podobne (ich odpowiednie kąty są równe), zatem zachodzi zależność:

$\frac{h}{x} = \frac{y}{h}$ , czyli $h^{2} = x y$

Pola trójkątów $A B D$ oraz $A D C$ obliczamy ze wzorów:

$P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot y \cdot h$

$P_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h$

Zatem $\frac{1}{2} \cdot x \cdot h = 81$ oraz $\frac{1}{2} \cdot y \cdot h = 225$ .

Zauważmy, że $\frac{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot y \cdot h} = \frac{81}{225}$ .

Wobec tego $\frac{x}{y} = \frac{9}{25}$ , czyli $y = \frac{25}{9} x$ .

Po przekształceniu mamy: $x \cdot h = 162$ , czyli $h = \frac{162}{x}$ .

Po podstawieniu zależności $h = \frac{162}{x}$ oraz $y = \frac{25}{9} x$ do równania $h^{2} = x y$ , rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$ :

${(\frac{162}{x})}^{2} = x \cdot (\frac{25}{9} x)$

$\frac{26244}{x^{2}} = \frac{25}{9} x^{2}$

$x^{4} = \frac{9 \cdot 26244}{25}$

Ponieważ $x > 0$ , zatem $x = \frac{\sqrt{3} \cdot 9 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{9 \sqrt{30}}{5}$ .

Długość przeciwprostokątnej $B C$ wynosi:

$|B C| = x + \frac{25}{9} x = \frac{34}{9} x$

Wobec tego

$|B C| = \frac{34}{9} \cdot \frac{9 \sqrt{30}}{5} = \frac{34 \sqrt{30}}{5}$

Przykład 6

W trójkącie prostokątnym $A B C$ przyprostokątne $A B$ i $A C$ mają odpowiednio długości $a \sqrt{2}$ i $a$ . Na przyprostokątnej $A B$ wybrano taki punkt $P$ , że $|∢ A P C| = |∢ A C B|$ . Obliczymy pola trójkątów $A P C$ i $P B C$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1N2SE1M2TPHP

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o podstawie równej a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka oraz wysokości równej a. Z wierzchołka C upuszczono odcinek na podstawę tworząc punkt P.

Zauważmy, że trójkąty $A P C$ i $A B C$ są podobne na podstawie cechy podobieństwa $k k k$ .

Pole trójkąta $A B C$ wynosi:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Jeżeli $k$ jest skalą podobieństwa trójkąta $A P C$ do trójkąta $A B C$ , to:

$k = \frac{|A C|}{|A B|} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, zatem:

$P_{A P C} = k^{2} \cdot P_{A B C} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

oraz

$P_{P B C} = P_{A B C} - P_{A P C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

Aplet

Zapoznaj się ze apletem, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1J7HRNOCTH7P

Polecenie 1

Odcinki $D E$ , $F G$ , $A B$ są równoległe, a pola trójkątów $A B C$ , $F G C$ i $D E C$ pozostają w stosunku $16 : 9 : 4$ .

R19KNGLU94EHH

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Odcinki DE, FG oraz AB sa do siebie równoległe. Punkty D F oraz E G zaznaczone są na bokach trójkąta.

Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów:

$A B C$ i $D E C$ ,
$D E C$ i $F G C$ .

Ponieważ pola trójkątów $A B C$ i $D E C$ pozostają w stosunku $16 : 4$ , zatem ich boki pozostają w stosunku $4 : 2$ . Skala podobieństwa tych trójkątów wynosi więc $2$ .
Ponieważ pola trójkątów $D E C$ i $F G C$ pozostają w stosunku $4 : 9$ , zatem ich boki pozostają w stosunku $2 : 3$ , Skala podobieństwa tych trójkątów wynosi więc $\frac{2}{3}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R19MDVLBD5NAO1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty równoramienne, które są podobne.

RK7DAP3S1K6O8

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty podobne, które są równoramienne. Trójkąt po lewej stronie jest mniejszy, jego podstawa ma długość 8, a ramiona mają długość 5 każde. Trójkąt po prawej stronie ma podstawę o długości dwadzieścia.

R1S4CBT6ML8RX

RJS95MZRMSLNZ1

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wartości pola P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego z odpowiadającą im skalą podobieństwa trójkąta o polu P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego do trójkąta o polu P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. k, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. k, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście Możliwe odpowiedzi: 1. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. k, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. k, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. k, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy

R1FPBS5O241TE2

Ćwiczenie 4

R14GPPEPLMCZU2

Ćwiczenie 5

R1V2LZA2RPL252

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Trójkąty prostokątne $A B C$ oraz $A' B' C'$ przedstawione na poniższym rysunku są podobne. Przyprostokątne $A B$ i $A C$ trójkąta prostokątnego $A B C$ mają długości odpowiednio $8$ i $10$ , a przeciwprostokątna $B' C'$ trójkąta $A' B' C'$ ma długość $\sqrt{82}$ .

Wyznacz pole trójkąta $A' B' C'$ .

RTNPQLPPH1XJH

Ilustracja przedstawia dwa podobne trójkąty równoramienne A B C oraz A prim B prim C prim.

Zacznij od wyznaczenia długości przeciwprostekątnej $B C$ trójkąta $A B C$ . Następnie określ skalę podobieństwa trójkątów.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej $B C$ trójkąta $A B C$ .

Zatem:

${|B C|}^{2} = 8^{2} + 10^{2}$ ,

${|B C|}^{2} = 164$ , więc $|B C| = \sqrt{164} = 2 \sqrt{41}$ .

Ponieważ trójkąty z rysunku są podobne, zatem skala podobieństwa $k$ trójkąta $A' B' C'$ do trójkąta $A B C$ wynosi:

$k = \frac{\sqrt{82}}{2 \sqrt{41}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Obliczamy pole trójkąta $A B C$ :

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$ .

Zatem $k^{2} = \frac{P_{A' B' C'}}{P_{A B C}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{P_{A' B' C'}}{40}$ , więc $P_{A' B' C'} = 20$ .

Ćwiczenie 8

Odcinki $D E$ , $F G$ , $A B$ są równoległe, a boki trójkątów $A B C$ , $F G C$ i $D E C$ pozostają w stosunku $4 : 2 : 1$ . Wyznacz pole trójkąta $A B C$ i $F G C$ , jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $D E C$ wynosi $2$ .

R19A7ES3AUC1V

Zauważ, że skoro $D E$ , $F G$ , $A B$ są równoległe, to trójkąty te są podobne. Zastosuj twierdzenie o polach trójkątów podobnych.

Ponieważ boki trójkątów $F G C$ i $D E C$ pozostają w stosunku $2 : 1$ , to skala podobieństwa tych trójkątów wynosi $2$ . Ich pola pozostają zatem w stosunku $4 : 1$ .

Zatem $4 = \frac{P_{F G C}}{P_{D E C}}$ , więc $P_{F G C} = 8$ .

Ponieważ trójkąty $A B C$ i $D E C$ pozostają w stosunku $4 : 1$ , to skala podobieństwa tych trójkątów wynosi $4$ , zatem ich pola pozostają w stosunku $16 : 1$ .

Zatem $16 = \frac{P_{A B C}}{P_{D E C}}$ , więc $P_{A B C} = 32$ .

Słownik

trójkąty podobne

trójkąty, w których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, a kąty między tymi bokami są równe

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były podobne

3. Pole trójkąta - wzór Herona

5. Dowodzenie twierdzeń w geometrii