Decimal expansion of a common fraction

R1SI3r42jhkfA

Rozwinięcia dziesiętne ułamka zwykłego

Learning objectives

You will learn to convert common fractions whose denominators are divisors of numbers 10, 100, 1000 etc. into finite decimals by extension or simplification and convert common fractions into decimals by division of the numerator by the denominator.

Learning effect

You convert common fractions whose denominators are divisors of numbers 10, 100, 1000 etc. into finite decimals by extension or simplification and convert common fractions into decimals by division of the numerator by the denominator.

R1Wh9AMcynnWR1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Think about the relations between common fractions with denominators 10, 100, 1000 … and decimal fractions. Interpret the common fraction as a quotient.

Task 1

R1dWskdrQhfNe1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Write fractions $\frac{3}{10}, \frac{8}{100}, \frac{7}{1000}, \frac{26}{10}$ in the decimal form.

Task 2

RpSUoBObrcAuC1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Divide the numerator by the denominatordenominatordenominator in each fraction: $\frac{3}{10}, \frac{26}{10}, \frac{7}{3}, \frac{8}{6}$ . Is the division finite in each case?

Conclusion:

R1BWHQrl8aXBx1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

By dividing the numerator by the denominatordenominatordenominator we can obtain a decimal fractiondecimal fractiondecimal fraction with finite number of digits after the dot – then the fraction has finite decimal expansionfinite decimal expansionfinite decimal expansion.
If the division does not end, then the common fraction has infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion.

Task 3

R1D07r6V6p2ry1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Open the applet. Analyse the relation between the numerators of the given common fraction and its decimal expansion. After having completed the exercise, draw proper conclusions.

RRVRpyKvC3fCk1

RsaC0X7Ghgvam1

Na rysunku przedstawiony jest ułamek zwykły trzydzieści cztery dwudzieste i jego przybliżenie dziesiętne – jeden i siedem dziesiątych. Widoczne są suwaki pozwalające zmieniać licznik i mianownik ułamka oraz rozkład mianownika tego ułamka na czynniki pierwsze: dwa, dwa i pięć. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1S1cmbZVRvQl1

Na rysunku przedstawiony jest ułamek zwykły dziesięć trzydziestych i jego przybliżenie dziesiętne – zero i nieskończenie wiele trójek po przecinku. Widoczne są suwaki pozwalające zmieniać licznik i mianownik ułamka oraz rozkład mianownika tego ułamka na czynniki pierwsze: dwa, trzy i pięć. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Are the conclusions you drew similar to the following ones?

Conclusions:

RU9Y4ZBGSOYRu1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Common, simplified fractioncommon, simplified fractionCommon, simplified fraction has decimal expansion:

finite, if the only divisors of its denominatordenominatordenominator are numbers 2 or 5,
infinite, if the denominator can be divided by a prime number different than 2 or 5.

A recurring set of digits in the infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion is called its period. To simplify such expansion, we write it in parentheses.

In the following exercises, verify your results using the calculator.

Task 4

RwHbKDSEEE8tW1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Find decimal expansions of fractions.

a) $\frac{9}{10}$

b) $\frac{13}{50}$

c) $\frac{126}{20}$

d) $\frac{7}{8}$

e) $\frac{138}{40}$

f) $\frac{31}{200}$

g) $\frac{11}{10000}$

h) $\frac{1200}{250}$

Task 5

RZojq9Y83mUVy1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Identify the period of the given fraction and write it in parentheses.

Example:

6,987987987…. = 6,(987)

a) 0,55555…

b) 3,486486486…

c) 35,1565656…

d) 78,787878…

e) 16,021458745874587….

Task 6

RN3anO2u6S5GW1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Without doing calculations, place fractions in proper parts of the table.

\frac{4}{5}, \frac{2}{15}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{7}{25}, \frac{3}{4}, \frac{2}{11}, \frac{3}{16}, \frac{7}{32}, \frac{6}{125}


Fractions that have finite decimal expansionfinite decimal expansionfinite decimal expansion	Fractions that have infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion

Task 7

An extra task:

Find the decimal expansion of the fraction $\frac{8}{10}$ . Calculate the sum of the hundred first digits of the decimal expansion of this fraction.

Remember:

RU9Y4ZBGSOYRu1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Common, simplified fractioncommon, simplified fractionCommon, simplified fraction has decimal expansion:

finite, if the only divisors of its denominatordenominatordenominator are numbers 2 or 5,
infinite, if the denominator can be divided by a prime number different than 2 or 5.

A recurring set of digits in the infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion is called its period. To simplify such expansion, we write it in parentheses.

Exercises

R1GkqgBWyW76o

Exercise 1

Determine which sentence is true.

8,5 > 8,(5)
2,25(2) < 2,(252)
2,25(2) < 2,252
0,7(3) > 0,(73)

R1Pi3OOvJ0D27

Exercise 2

The fraction $\frac{18}{144}$ is equal to

1,215
0,125
0,251
0,215

Exercise 3

Using the calculator, write decimal expansions of numbers: $\frac{21}{121}, \frac{3}{49}, 3 \frac{13}{45}$ .

Justify in English that each of these fractions has infinite decimal expansion.

Exercise 4

RGVxZGb0BimOJ

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

ułamek dziesiętny - decimal fraction
mianownik - denominator
ułamek zwykły nieskracalny - common, simplified fraction
okres ułamka dziesiętnego nieskończonego - period of an infinite decimal
rozwinięcie dziesiętne skończone - infinite decimal expansion
rozwinięcie dziesiętne nieskończone - finite decimal expansion

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RTDkpkIaPr7mx1

Match Polish terms with their English equivalents.

rozwinięcie dziesiętne nieskończone
rozwinięcie dziesiętne skończone
denominator
finite decimal expansion
common, simplified fraction
period of an infinite decimal
infinite decimal expansion
okres ułamka dziesiętnego nieskończonego
ułamek zwykły nieskracalny
mianownik

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

common, simplified fraction

ułamek zwykły nieskracalny

R4YjkFEPvnjfX1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: common simplified fraction

decimal fraction

ułamek dziesiętny

RjhaIGLTT6lrE1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: decimal fraction

denominator

mianownik

R1LfwYNF5AFLT1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: denominator

finite decimal expansion

rozwinięcie dziesiętne skończone

R1WppNm04cbF31

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: finite decimal expansion

infinite decimal expansion

rozwinięcie dziesiętne nieskończone

R1BoveVo91plB1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: infinite decimal expansion

period of an infinite decimal

okres ułamka dziesiętnego nieskończonego

RTdU8ZXgFntLo1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: period of an infinite decimal

Keywords

common, simplified fractioncommon, simplified fractioncommon, simplified fraction

denominatordenominatordenominator

finite decimal expansionfinite decimal expansionfinite decimal expansion

infinite decimal expansioninfinite decimal expansioninfinite decimal expansion

period of an infinite decimalperiod of an infinite decimalperiod of an infinite decimal

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords