Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego $\left(q\ne 0\right)$.

Na podstawie treści zadania otrzymujemy układ równań:

$a+aq+a{q}^2=14$ i $aq=\frac{a+a{q}^2-2}{2}$

Po przekształceniach układ równań  przyjmuje postać:

$a+aq+a{q}^2=14$ i $a-2aq+a{q}^2=2$

Odejmujemy stronami do pierwszego równania drugie równanie.

Otrzymujemy:

$3aq=12$

$aq=4$

$a=\frac{4}{q}$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do pierwszego równania.

$\frac{4}{q}+4+4q=14$

$4q^2-10q+4=0 |:2$

$2q^2-5q+2=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$∆=25-16=9>0$

$q=0,5$ lub $q=2$

Jeśli $q=0,5$ to $a=8$.

Jeśli $q=2$ to $a=2$.

Odpowiedź:

Otrzymaliśmy dwa ciągi spełniające warunki zadania: $\left(8, 4, 2\right)$ oraz $\left(2, 4, 8\right)$.