4. Równoległość i prostopadłość prostych

RiIaUkqmFbY6N

Potrafisz już za pomocą równania kierunkowego opisać prostą, która nie jest równoległa do osi $Y$ oraz narysować zbiór punktów, których współrzędne $(x, y)$ spełniają równanie $y = a x + b$ . W tej lekcji poznasz pewną ważną zależność, która ma wiele zastosowań w geometrii analitycznej, choć na pierwszy rzut oka wydaje się być mało istotna.

Twoje cele

Rozpoznasz równania prostych równoległych i prostopadłych.
Wyznaczysz równanie prostej równoległej i prostej prostopadłej do danej spełniającej określone warunki.
Wyznaczysz wartości parametrów, przy których proste opisane danymi równaniami są równoległe lub prostopadłe.

Równoległość prostych

Rozważmy prostą $k$ określoną wzorem $k$ : $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz prostą $l$ określoną wzorem $l$ : $y = a_{2} x + b_{2}$ .
Załóżmy teraz, że proste te są równoległe. Oznacza to, że są nachylone do półosi $X$ pod tym samym kątem. Ponadto wiemy już, że $a_{1}$ jest równe tangensowi kąta nachylenia prostej $k$ do osi $X$ , zaś $a_{2}$ jest równe tangensowi kąta nachylenia prostej $l$ do osi $X$ . A zatem $a_{1} = a_{2}$ . Można więc sformułować wniosek, że proste opisane równaniami kierunkowi są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych równań są równe.

Warunek równoległości prostychwarunek równoległości prostychWarunek równoległości prostych

$k$ : $y = a_{1} x + b_{1} ∥ l$ : $y = a_{2} x + b_{2}$ wtedy i tylko wtedy gdy $a_{1} = a_{2}$

RccR9kWnxwREf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Poziomą oś oznaczono jako X, pionową jako Y. Narysowano dwie ukośne proste y=ax+b1 oraz y=ax+b2. Obie proste mają ten sam współczynnik a, czyli są równoległe względem siebie. Obie proste są nachylone do osi X pod kątem alfa. — Dwie proste równoległe.
Źródło: licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rozstrzygniemy, czy proste o podanych równaniach są równoległe.

a) $k$ : $y = \sqrt{3} x - x + 1$ , $l$ : $y = x - \sqrt{3} x + 5$

Wyznaczmy najpierw współczynniki kierunkowe podanych prostych:

$k$ : $y = \sqrt{3} x - x + 1 = (\sqrt{3} - 1) x + 1 \Rightarrow a_{1} = \sqrt{3} - 1$ ,

$l$ : $y = x - \sqrt{3} x + 5 = (1 - \sqrt{3}) x + 5 \Rightarrow a_{2} = 1 - \sqrt{3} = - (\sqrt{3} - 1)$

Zauważmy, że wyznaczone współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi. Zatem proste nie są równoległe.

b) $k$ : $y = \sqrt{2} x - x + 4$ , $l$ : $y = \frac{x}{(\sqrt{2} + 1)} - 7$

Wyznaczmy najpierw współczynniki kierunkowe podanych prostych:

$k$ : $y = \sqrt{2} x - x + 4 = (\sqrt{2} - 1) x + 4 \Rightarrow a_{1} = \sqrt{2} - 1$

$l$ : $y = \frac{x}{(2 + 1)} - 7 \Rightarrow a_{2} = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} - 1)} = (\sqrt{2} - 1) \cdot (2 - 1) =$

$= \sqrt{2} - 1$

Zauważmy, że wyznaczone współczynniki kierunkowe są równe. Zatem proste są równoległe.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt $A$ o współrzędnych $(- 0, 5; 4)$ równoległej do prostej o równaniu $y = (- 2 x) + 5$ .

Prosta taka ma równanie postaci $y = a x + b$ .

Ponieważ ma być ona równoległa do prostej o równaniu $y = (- 2 x) + 5$ , więc $a = (- 2)$ .

Aby wyznaczyć współczynnik $b$ wystarczy do równania $y = (- 2 x) + b$ podstawić współrzędne punktu $A$ :

$4 = (- 2) \cdot (- 0, 5) + b$

$4 = 1 + b$

$b = 3$

Zatem szukane równanie prostej to $y = (- 2 x) + 3$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , dla którego proste o równaniach $y = x - m x + m$ i $y = 2 m x - 5 x - 9$ są równoległe.

Zaczniemy od uporządkowania równań, aby odczytać współczynniki kierunkowe:

$y = x - m x + m = (1 - m) x + m \Rightarrow a_{1} = 1 - m$

$y = 2 m x - 5 x - 9 = (2 m - 5) x - 9 \Rightarrow a_{2} = 2 m - 5$

Ponieważ proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe, wystarczy więc rozwiązać równanie:

$1 - m = 2 m - 5$

$- 3 m = (- 6)$

$m = 2$

Wobec powyższego jedyna wartość parametru $m$ , dla której proste o równaniach $y = x - m x + m$ i $y = 2 m x - 5 x - 9$ są równoległe wynosi $2$ .

Przykład 4

Dwa boki równoległoboku $A B C D$ zawarte są w prostych o równaniach $y = 2 x - 1$ oraz $y = (- x) - 1$ . Ponadto $A = (3; 5)$ i $C = (4; - 5)$ . Wyznacz równania prostych zawierających pozostałe dwa boki równoległoboku oraz współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ .

RvrvnbgHCHE5Z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -1 do osiem. Oś pionowa Y ma liczby z zakresu od -5 do pięć. Zaznaczono cztery punkty A B C oraz D, podane zostały tylko współrzędne: A=3;5 oraz C=4;-5. Narysowano prostą y=2x-1, przechodzi ona przez punkty B oraz A. Narysowano kolejną prostą y=-x-1, przechodzi ona przez punkty B oraz C. Punkt B to punkt przecięcia tych dwóch prostych. Narysowano prostą równoległą do prostej y=2x-1, nie znamy jej równania. Prosta ta przechodzi przez punkty C oraz D. Narysowano prostą równoległą do prostej y=-x-1, nie znamy jej równania. Przechodzi przez punkty A oraz D. Punkt D to punkt przecięcia dwóch nieznanych prostych. Wszystkie narysowane proste tworzą równoległobok A B C D. — Źródło: licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne trzeciego wierzchołka równoległoboku - nazwijmy go $B$ - możemy obliczyć rozwiązując układ równań opisujących obie proste. W tym szczególnym przypadku możemy zauważyć, że obie proste przecinają oś $Y$ w punkcie $(0; - 1)$ i nie są to te same proste, zatem jest to ich jedyny punkt wspólny. Stąd $B = (0; - 1)$ .

Zauważmy, że punkt $A = (3; 5)$ należy do prostej o równaniu $y = 2 x - 1$ , ponieważ współrzędne punktu $A$ spełniają równanie tej prostej. Ponadto punkt $C$ leży na prostej o równaniu $y = (- x) - 1$ .

Wyznaczymy teraz równanie prostej $A D$ .

Ponieważ jest ona równoległa do prostej $B C$ (więc równania obu prostych mają równe współczynniki kierunkowe), to jej równanie ma postać $y = (- x) + b$ . Wyraz wolny $b$ możemy wyznaczyć, korzystając z faktu, że punkt $A = (3; 5)$ należy do tej prostej. Po podstawieniu współrzędnych punktu $A = (3; 5)$ do równania $y = (- x) + b$ otrzymamy:

$5 = (- 3) + b$

$b = 8$

Zatem równanie prostej $A D$ to $y = (- x) + 8$ .

Analogicznie postąpimy w przypadku prostej $C D$ . Ponieważ prosta $C D$ jest równoległa do prostej $A B$ , zatem jej równanie ma taki sam współczynnik kierunkowy jak równanie prostej $A B$ .

Równanie kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejRównanie kierunkowe prostej $C D$ ma postać $y = 2 x + b_{1}$ . Aby wyznaczyć wyraz wolny $b_{1}$ podstawimy do równania $y = 2 x + b_{1}$ współrzędne punktu $C$ :

$(- 5) = 2 \cdot 4 + b_{1}$

$(- 5) - 8 = b_{1}$

$(- 13) = b_{1}$

Zatem równanie prostej $C D$ to $y = 2 x - 13$ .

Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka $D$ , wystarczy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} y = (- x) + 8 \\ y = 2 x - 13 \end{cases}$

Z powyższego układu równań wynika

$(- x) + 8 = 2 x - 13$

$3 x = 21$

$x = 7$

$\{\begin{cases} x = 7 \\ y = (- 7) + 8 = 1 \end{cases}$

Zatem współrzędne wierzchołka $D$ to $(7, 1)$ .

Przykład 5

Dane są współrzędne trzech punktów $X = (2; 3)$ , $Y = (4; - 1)$ , $Z = (5; 0)$ . Wyznacz współrzędne takich punktów $A$ , aby wszystkie cztery punkty $X$ , $Y$ , $Z$ i $A$ byłby wierzchołkami równoległoboku.

Zauważmy najpierw, że będą trzy takie punkty $A$ :

RD7Izqf0FuXQC

W pierwszej kolejności wyznaczymy równania prostych $X Y$ , $Y Z$ i $X Z$ .

Ponieważ żadna z tych prostych nie jest równoległa do osi $Y$ , ich równania są postaci $y = a x + b$ .

Aby wyznaczyć równanie prostej $X Y$ , tworząc układ równiań podstawiamy do równania $y = a x + b$ najpierw współrzędne punktu $X$ , potem współrzędne punktu $Y$

$\{\begin{cases} 3 = 2 a + b \\ (- 1) = 4 a + b \end{cases}$

Po odjęciu równań stronami otrzymujemy

$4 = (- 2 a)$

$a = (- 2)$

$\{\begin{cases} a = (- 2) \\ b = 3 - 2 \cdot (- 2) = 7 \end{cases}$

Zatem równanie prostej $X Y$ to $y = - 2 x + 7$ .

Analogicznie wyznaczamy równania prostej $Y Z : y = x - 5$ oraz prostej $X Z : y = (- x) + 5$ .

W trzecim przypadku współrzędne punktu $A$ wyznaczymy, rozwiązując układ równań opisujących proste $A X$ i $AZ$ . Otrzymamy wówczas równoległobok $X Y Z A$ .

Ponieważ prosta $A X$ jest równoległa do prostej $Y Z$ , zatem jej równanie jest postaci $y = x + b_{1}$ . Po podstawieniu za zmienne $x$ i $y$ współrzędnych punktu $X (2; 3)$ wyznaczamy $b_{1}$ :

$3 = 2 + b_{1}$

$b_{1} = 1$

Zatem równanie prostej $A X$ to $y = x + 1$ .

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej $A Z : y = (- 2 x) + 10$ . Rozwiązując układ równań:

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = (- 2 x) + 10 \end{cases}$

otrzymujemy współrzędne punktu $A = (3; 4)$ .

Postępując podobnie otrzymujemy: w przypadku drugim równoległobok $Y Z X A$ , gdzie $A = (1; 2)$ oraz w przypadku pierwszym równoległobok $Z X Y A$ , gdzie $A = (7; - 4)$ .

Przykład 6

W prostokątnym układzie współrzędnych narysujemy zbiór wszystkich punktów spełniających warunek $x - 1 < y \leq x + 2$ .

Zauważmy najpierw, że warunek $x - 1 = y$ spełniają punkty o współrzędnych $(x, y)$ , które leżą na prostej opisanej tym równaniem. Warunek $x - 1 < y$ opisuje takie punkty, dla których druga współrzędna jest większa od pierwotnej, a zatem punkty leżące “ponad” prostą o równaniu $x - 1 = y$ .

R1IJxhK1CxQEs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -5 do pięć oraz z pionową osią Y od -5 do pięć. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Zaznaczono część płaszczyzny nad prostą. — Źródło: licencja: CC BY 3.0.

Analogicznie możemy dojść do wniosku, że warunek $y \leq x + 2$ opisuje punkty, które leżą „na” prostej lub „pod” prostą o równaniu $y = x + 2$ .

R1JFICZUAyyEk

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z poziomą osią X od -5 do pięć oraz z pionową osią Y od -5 do pięć. Na płaszczyźnie linią ciągłą narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez punkt nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu. Zaznaczono kolorem niebieskim część płaszczyzny pod prostą. — Źródło: licencja: CC BY 3.0.

Oba warunki jednocześnie spełniają współrzędne punktów, które leżą pomiędzy prostymi o równaniach $x - 1 = y$ oraz $y = x + 2$ lub na prostej o równaniu $y = x + 2$ .

R11jrsVO0C6ZL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od -5 do 5 i osią pionową Y od -5 do pięć. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Pierwsza prosta leżąca powyżej narysowana jest linią ciągłą i przebiega między innymi przez punkty nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez punkt nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu. Druga prosta narysowana jest linią przerywaną i przebiega między innymi przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Zaznaczono obszar znajdujący pomiędzy prostymi, jest to ukośny pas. — Źródło: licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Przy pomocy suwaków zmieniaj wartości współczynników równań kierunkowych obu prostych. Zwróć uwagę, kiedy proste są równoległe.

R1GM7yARhMB1x

Rozwiąż quiz, pamiętając o warunku równoległości prostych.

R1dHopE8T9B5W

RIkKU70Zm5s7Y

R1cC71Z5nYKm8

Polecenie 2

R1JCWb43EnUrF

Polecenie 3

RpPFiLX5kZdWu

Prostopadłość prostych

R1C3uTWOIgqQt

Rozważmy proste o równaniach:

y = a_{1} x + b_{1}

y = a_{2} x + b_{2}

Przyjmijmy założenia jak na rysunku poniżej. Załóżmy, że są one prostopadłe. Oznacza to, że kąty nachylenia tych prostych do osi $X$ różnią się o $90 °$ .

Przypomnijmy, że $a_{1} = tg α$ oraz $a_{2} = tg (α + 90 °)$ . Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy wykonać poniżesz przekształcenia:

a_{2} = tg (α + 90 °) = - ctgα

Wynika stąd

a_{1} \cdot a_{2} = tg α \cdot (- ctg α) = - 1

Ponieważ powyższe rozumowanie można odwrócić, mamy więc prawo sformułować następujący wniosek, zwany warunkiem prostopadłości prostych.

Proste o równaniach kierunkowych

y = a_{1} x + b_{1}

y = a_{2} x + b_{2}

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn współczynników kierunkowychwspółczynnik kierunkowy prostejwspółczynników kierunkowych tych prostych jest równy $(- 1)$ .

k : y = a_{1} x + b_{1} ⊥ m : y = a_{2} x + b_{2} \Leftrightarrow a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Rjxzt3g36n7w4

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie prostopadłe do siebie proste opisane wzorami: pierwsza: y=a1x+b1 oraz druga: y=a2x+b2. Na rysunku zaznaczono także następujące kąty: kąt ostry α, który jest kątem nachylenia pierwszej prostej do osi X, kąt prosty między obiema prostymi oraz kąt między osią X i drugą prostą o mierze: α+90°.

Przykład 1

Rozstrzygniemy, czy proste o podanych równaniach są prostopadłe.

a) $y = 0, (3) x - 6$ i $y = - 3 x + 2$ .

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a_{1} = 0, (3)

a_{2} = - 3

Zauważmy, że liczba $0, (3)$ to $\frac{1}{3}$ , zatem

a_{1} \cdot a_{2} = \frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1

Wynika stąd, że proste o równaniach $y = 0, (3) x - 6$ i $y = - 3 x + 2$ są prostopadłe.

b) $y = \sqrt{3} x - 2 x + 6$ i $y = \sqrt{3} x + 2 x + 5$ .

Uporządkujmy podane równania:

y = (\sqrt{3} - 2) x + 6

y = (\sqrt{3} + 2) x + 5

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a_{1} = \sqrt{3} - 2

a_{2} = \sqrt{3} + 2

Zatem $a_{1} \cdot a_{2} = (\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 2) = 3 - 4 = - 1$ .

Wynika stąd, że proste o równaniach $y = \sqrt{3} x - 2 x + 6$ i $y = \sqrt{3} x + 2 x + 5$ są prostopadłe.

c) $y = (\log_{2} 3) x + 4$ i $y = (\log_{3} \frac{1}{2}) x + 2$ .

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a_{1} = \log_{2} 3

a_{2} = \log_{3} \frac{1}{2}

Zauważmy, że

a_{2} = \log_{3} \frac{1}{2} = \log_{3} 2^{- 1} = - \log_{3} 2 = - \frac{1}{\log_{2} 3}

Zatem

a_{1} \cdot a_{2} = \log_{2} 3 \cdot (- \frac{1}{\log_{2} 3}) = - 1

Wynika stąd, że proste o równaniach $y = (\log_{2} 3) x + 4$ i $y = (\log_{3} \frac{1}{2}) x + 2$ są prostopadłe.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkt $A$ o współrzędnych $(2 \sqrt{3}, - \sqrt{3})$ prostopadłej do prostej o równaniu $y = - x + 8$ .

Odczytajmy współczynnik kierunkowy podanej prostej:

a_{1} = - 1

Szukana prosta ma równanie postaci

y = a_{2} x + b_{2}

gdzie

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Zatem po podstawieniu do warunku prostopadłości $a_{1} = - 1$ , otrzymujemy $a_{2} = 1$ . Aby wyznaczyć $b_{2}$ podstawimy współrzędne punktu $A$ do równania $y = x + b_{2}$ :

- \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} + b_{2}

b_{2} = - 3 \sqrt{3}

Zatem równanie szukanej prostej to $y = x - 3 \sqrt{3}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , dla którego proste o równaniach

y = - x + 3 \sqrt{5} m

y = 2 m x - \sqrt{5} x - 19 m

są prostopadłe.

Zaczniemy od uporządkowania równań i odczytania współczynników kierunkowych.

y = - x + 3 \sqrt{5} m \Rightarrow a_{1} = - 1

y = 2 m x - \sqrt{5} x - 19 m = (2 m - \sqrt{5}) x - 19 m \Rightarrow a_{2} = 2 m - \sqrt{5}

Ponieważ proste opisane równaniami kierunkowymi są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(- 1)$ , wystarczy więc rozwiązać równanie

(2 m - \sqrt{5}) \cdot (- 1) = - 1

2 m - \sqrt{5} = 1

m = \frac{(\sqrt{5} + 1)}{2}

Wobec powyższego jedyna wartość parametru $m$ , dla której proste o równaniach $y = - x + 3 \sqrt{5} m$ i $y = 2 m x - \sqrt{5} x - 19 m$ są prostopadłe to $\frac{(\sqrt{5} + 1)}{2}$ .

Przykład 4

Prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ . Wiadomo, że przecinają się one w punkcie $A (4, 12)$ . Prosta $k$ przecina oś $X$ w punkcie $(1, 0)$ . Wyznacz równania tych prostych wiedząc, że żadna z nich nie jest równoległa do osi $Y$ .

Ponieważ żadna z prostych nie jest równoległa do osi $Y$ , każdą z nich można opisać równaniem postaci

k : y = a_{1} x + b_{1}

l : y = a_{2} x + b_{2}

Najpierw wyznaczymy równanie prostej $k$ . Korzystając z faktu, że przechodzi ona przez punkty o współrzędnych $(4, 12)$ i $(1, 0)$ , możemy zapisać układ równań:

\{\begin{cases} 12 = 4 a_{1} + b_{1} \\ 0 = a_{1} + b_{1} \end{cases}

Po odjęciu równań stronami, otrzymujemy równanie

12 = 3 a_{1}

a_{1} = 4

\{\begin{cases} a_{1} = 4 \\ b_{1} = - a_{1} = - 4 \end{cases}

Zatem prosta $k$ ma równanie

y = 4 x - 4

Ponieważ prosta $l$ jest prostopadła do prostej $k$ , współczynnik kierunkowy jej równania można wyznaczyć z warunku

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

4 \cdot a_{2} = - 1

a_{2} = - \frac{1}{4}

Aby wyznaczyć $b_{2}$ , podstawimy współrzędne punktu $(4, 12)$ do równania $y = - \frac{1}{4} x + b_{2}$ :

12 = - \frac{1}{4} \cdot 4 + b_{2}

b_{2} = 13

Zatem równanie szukanej prostej to

y = - \frac{1}{4} x + 13

Polecenie 4

Zmieniając wartość współczynników równania prostej przy pomocy suwaków, obserwuj zależność między współczynnikami kierunkowymi równań prostych prostopadłych. Wykonaj poniższe ćwiczenia.

Do podanych prostych dobierz prostopadłe do nich proste. W każdym przypadku może być więcej, niż jedna poprawna odpowiedź.

R1FjwVlXiNG8w

R19uUQwxcjLEk

R1SYFsYdgkWt1

RDFMIB7VgBA0d

R1IFmgva6975D

Rgu3yNocyuOku1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D68OBBQUN

Polecenie 5

RSDZCzpbGJX3B1

Polecenie 6

R1WsyJhTrh5w7

R1c9ok0IW6COy11

Ćwiczenie 1

RS9wByyalX3CP1

Ćwiczenie 2

Rh5AlXgUxzuys2

Ćwiczenie 3

Rn1WHM3QhQvWh2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Dany jest trapez $A B C D$ . Wyznacz równanie prostej zawierającej krótszą podstawę $A B$ trapezu, znając:

równanie $y = 0, 5 x - 1$ prostej zawierającej dłuższą podstawę $C D$ trapezu,
równanie $y = (- 2 x) + 2$ prostej zawierającej wysokość poprowadzoną przez wierzchołek $A$

oraz wiedząc, że ramię $A D$ zawiera się w osi $Y$ .

Ponieważ ramię $A D$ zawiera się w osi $Y$ , to punkt $A$ jest punktem przecięcia prostej zawierającej wysokość przechodzącą przez $A$ z osią $Y$ . Stąd $A = (0, 2)$ Ponieważ prosta $A B$ jest równoległa do prostej $C D$ , więc współczynnik kierunkowy równania prostej $A B$ jest równy $0, 5$ . Ponieważ prosta $A B$ przechodzi przez punkt $A = (0, 2)$ , więc wyraz wolny równania prostej $A B$ to $2$ . Prosta $A B$ ma zatem równanie $y = 0, 5 x + 2$ .

Ćwiczenie 6

Bok $A B$ sześciokąta foremnego $A B C D E F$ ma długość $6$ i zawiera się w prostej o równaniu $y = 1$ . Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok $D E$ tego sześciokąta.

Zauważmy, że sześciokąt foremny zbudowany jest z sześciu trójkątów równobocznych - w naszym przypadku o boku $6$ . Rozważmy jeden taki trójkąt
$A B S$ , gdzie $S$ to środek okręgu opisanego na tym sześciokącie. Odległość między równoległymi bokami sześciokąta jest równa dwóm wysokościom trójkąta $A B S$ , czyli $2 \cdot \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$ . Zatem prosta zawierająca bok $D E$ tego sześciokąta może mieć równanie $y = 1 + 6 \sqrt{3}$ lub $y = 1 - 6 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

RuueaNRZnWFE9

Ćwiczenie 8

R1SttkZhiOfRj

RDVg9QmVGR9WR

R184jCawAmqGb1

Ćwiczenie 9

R5C8duqlUH2pm1

Ćwiczenie 10

R16QLWp2yELwQ2

Ćwiczenie 11

R1KIfzPLvQ6w22

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Proste $k$ i $l$ są prostopadłe i przecinają oś $Y$ w punkcie $A$ o rzędnej $4$ . Wyznacz równania tych prostych wiedząc, że do prostej $l$ należy punkt $B (- 2, 8)$ .

Prosta $l$ przechodzi przez punkty o współrzędnych $(0, 4)$ i $(- 2, 8)$ , zatem nie jest równoległa do osi $Y$ . Stąd wniosek, że można ją opisać równaniem postaci

y = a_{1} x + b_{1}

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do tego równania, otrzymujemy układ równań pozwalający wyznaczyć współczynniki $a_{1}$ i $b_{1}$ :

\{\begin{cases} 4 = a_{1} \cdot 0 + b_{1} \\ 8 = - 2 a_{1} + b_{1} \end{cases}

\{\begin{cases} b_{1} = 4 \\ 8 = - 2 a_{1} + 4 \end{cases}

\{\begin{cases} b_{1} = 4 \\ a_{1} = - 2 \end{cases}

Zatem równanie prostej $l$ to

y = - 2 x + 4

Ponieważ prosta $k$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 4)$ , więc jej równanie jest postaci

y = a_{2} x + 4

Wiemy ponadto, że prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ , zatem iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(- 1)$ . Stąd

- 2 \cdot a_{2} = - 1

a_{2} = \frac{1}{2}

Zatem prosta $k$ ma równanie

y = \frac{1}{2} x + 4

R1AZEt70BLRI72

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Dany jest trójkąt $A B C$ , którego wierzchołki mają następujące współrzędne: $A (0, 2)$ , $B (4, - 4)$ , $C (9, 6)$ . Wyznacz współrzędne ortocentrum (punktu przecięcia prostych zawierających wysokości) tego trójkąta.

Najpierw wyznaczymy równania prostych $A B$ i $B C$ zawierających boki trójkąta $A B C$ . Ponieważ żadne dwie odcięte punktów $A$ , $B$ , $C$ nie są równe, to proste zawierające boki trójkąta nie są równoległe do osi $Y$ , czyli można je opisać równaniami postaci $y = a x + b$ .

Aby wyznaczyć równanie prostej $A B$ , wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 2 = a \cdot 0 + b \\ - 4 = a \cdot 4 + b \end{cases}

\{\begin{cases} b = 2 \\ a = - \frac{3}{2} \end{cases}

Zatem równanie prostej $A B$ to

y = - \frac{3}{2} x + 2

Aby wyznaczyć równanie prostej $B C$ wystarczy rozwiązać układ równań:

\{\begin{cases} 6 = 9 a + b \\ - 4 = 4 a + b \end{cases}

\{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 12 \end{cases}

Zatem równanie prostej $B C$ to

y = 2 x - 12

Następnie wyznaczymy równania prostych przechodzących przez wierzchołki $A$ i $C$ , zawierających wysokości tego trójkąta.

Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z punktu $A$ to $(- \frac{1}{2})$ (bo jest ona prostopadła do prostej zawierającej bok $B C$ o równaniu $y = 2 x - 12$ ).

Zatem prosta ta ma równanie postaci

y = - \frac{1}{2} x + b

i przechodzi przez punkt $A (0, 2)$ , więc równanie tej prostej to

y = - \frac{1}{2} x + 2

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej pokrywającej się z wysokością opuszczoną z punktu $C$ :

y = \frac{2}{3} x

Aby wyznaczyć współrzędne ortocentrum wystarczy rozwiązać układ równań opisujących proste zawierające wysokości.

\{\begin{cases} y = \frac{2}{3} x \\ y = - \frac{1}{2} x + 2 \end{cases}

\{\begin{cases} x = \frac{12}{7} \\ y = \frac{8}{7} \end{cases}

Zatem ortocentrum tego trójkąta ma współrzędne $(\frac{12}{7}, \frac{8}{7})$ .

Ćwiczenie 16

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki $A (1, 7)$ i $C (1; - 5, 5)$ prostokąta $A B C D$ . Prosta o równaniu $y = 2 x - \frac{5}{4}$ jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ tego prostokąta.

Szkicujemy opisaną sytuację.

RulvKyhxZwSuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowany jest prostokąt. Zaznaczono jego wierzchołki o następujących współrzędnych: A=1;7, B=-4;-3, C=1;-5,5, D=6;4,5. Na płaszczyźnie naarysowane są rownież trzy proste. Dwie z nich pokrywają się z dwoma bokami prostokąta. To prosta AB i prosta BC. Trzecia prosta przecina figurę wzdłuż na pół. Narysowano również przekątną prostokąta, czyli odcinek BD i zaznaczono jej punkt przecięcia z prostą dzielącą prostokąt na pół wzdłuż. Punkt przecięcia oznaczono jako S.

Wyznaczmy najpierw równanie prostej $A B$ (przy oznaczeniach z powyższego rysunku). Ponieważ jest równoległa do osi symetrii, więc szukamy prostej w postaci $y = 2 x + b$ . Podstawiamy współrzędne punktu $A$

> <equation><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>&#x21D2;</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></math>.</equation>

Prosta $A B$ ma więc równanie

y = 2 x + 5

Wyznaczymy teraz równanie prostej $B C$ . Ponieważ jest ona prostopadła do prostej $A B$ , jej równanie jest więc postaci

y = - \frac{1}{2} x + b

Podstawiamy współrzędne punktu $C$

- \frac{11}{2} = - \frac{1}{2} + b \Rightarrow b = - 5

Prosta $B C$ ma więc równanie

y = - \frac{1}{2} x - 5

Szukamy teraz punktu wspólnego $B$ prostych $A B$ i $B C$ .

\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ y = - \frac{1}{2} x - 5 \end{cases}

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 2 x + \frac{1}{2} x + 10

- 10 = \frac{5}{2} x

x = - 4

Stąd

y = 2 x + 5 = - 3

i

B (- 4, - 3)

Współrzędne punktu $D$ wyznaczamy analogicznie – pisząc równania prostych $A D$ i $C D$ . Otrzymujemy punkt o współrzędnych

D (6; 4, 5)

Słownik

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , $a, b \in ℝ$ ; można nim opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi $Y$

warunek równoległości prostych

twierdzenie matematyczne, które orzeka, że proste opisane równaniami kierunkowymi są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe

współczynnik kierunkowy prostej

liczba $a$ we wzorze $y = a x + b$ zwanym równaniem kierunkowym prostej; określa nachylenie prostej

3. Współczynnik kierunkowy prostej

5. Równanie ogólne prostej