4. Miejsce zerowe funkcji

R12FTDP2P2LO4

Czy wiesz, że słowo argument ma więcej niż jedno znaczenie? Zwróć uwagę, że każdy z nas w rozmowie używa argumentów. Najczęściej przez argument rozumiemy wypowiedź, która ma na celu potwierdzenie lub obalenie tezy. To również dowód i uzasadnienie, fakt, który za czymś przemawia.

Argument w matematyce, to element dziedziny funkcji. Zajmiemy się teraz szczególnymi argumentami funkcji, które nazywamy miejscami zerowymi.

Ile miejsc zerowych może posiadać funkcja?
Czy każda funkcja posiada miejsce zerowe?
W jaki sposób możemy wyznaczyć miejsce zerowe funkcji opisanej za pomocą grafu, tabelki, zbioru par uporządkowanych, wzoru lub wykresu?
Czy funkcja przedstawiona za pomocą opisu słownego też może posiadać miejsce zerowe?

Odpowiedzi na te pytania znajdziesz poniżej.

Twoje cele

Wyznaczysz miejsce zerowe funkcji opisanej różnymi sposobami.
Sprawdzisz, czy dana liczba jest miejscem zerowym funkcji.
Udowodnisz, że dana liczba jest miejscem zerowym funkcji.

Miejsce zerowe funkcji

Definicja: Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument, dla którego wartość funkcji jest równa $0$ .

Wiemy, że funkcję możemy opisywać różnymi sposobami. Poznamy sposoby wyznaczania miejsca zerowego funkcji w zależności od sposobu jej opisu. Pomogą nam w tym poniższe przykłady.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

RTH48E5NUAC8B

Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych elips reprezentujących odpowiednio: lewa zbiór X, prawa zbiór Y. Z liczb będących elementami zbioru X poprowadzone są strzałki z grotami skierowanymi do elementów ze zbioru Y. Nad strzałkami widnieje litera „f” oznaczająca funkcję odwzorowującą zbiór X w zbiór Y. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają parę. Pary są następujące: minus 4, minus 5; minus 2, minus 3; minus 1, 0; minus pięć dziesiątych, dwa i pół; 0, 2; 2, 3; 4, 7.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wśród wartości funkcji $f$ , które są umieszczone w prawej części grafu oznaczonej literą $Y$ , szukamy liczby $0$ .

W następnym kroku przesuwamy się wzdłuż strzałki do lewej części grafu oznaczonej literą $X$ .

Liczba $0 \in Y$ połączona jest z liczbą $- 1 \in X$ .

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 1$ . Często miejsce zerowe oznaczamy $x_{0}$ . Możemy więc zapisać, że $x_{0} = - 1$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$5, 5$	$- 3, 6$	$- 1, 4$	$0$	$1, 3$	$2, 6$	$3$	$4, 7$	$5$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3, 5$	$4, 6$	$5, 8$	$6$	$8$

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wśród wartości funkcji, czyli w drugim wierszu, oznaczonym symbolem $f (x)$ , szukamy liczby $0$ .

Następnie w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem $x$ , szukamy odpowiedniego argumentu.

Jest nim liczba $- 1, 4$ .

Stąd możemy zapisać, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 1, 4$ .

Zapisujemy to symbolicznie $x_{0} = - 1, 4$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ , takiej, że $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2\}$ przyporządkowuje różnicę wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby $3$ .

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Przykład ten możemy rozwiązać dwoma sposobami.

Sposób pierwszy

Ponieważ do dziedziny należy tylko siedem liczb, to możemy wykonać tabelkę i z tabelki odczytać miejsce zerowe.

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

Zauważamy, że miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 3$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 3$ .

Sposób drugi

Zapiszemy funkcję $f$ za pomocą wzoru.

$f (x) = |x| - 3$ , gdy $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2\}$ .

Rozwiążemy równanie $f (x) = 0$ .

$|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

$x = - 3$ lub $x = 3$ .

Równanie jest spełnione przez dwie liczby $3$ i $- 3$ .

Sprawdzamy, która z liczb spełniających równanie, należy do dziedziny funkcji.

Do dziedziny funkcji należy liczba $- 3$ .

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 3$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 3$ .

Przykład 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 4,4; - 2,4), (- 3,7; - 1,7), (- 2; 0), (1; 1), (3,3; 5,3), (5; 7)\}$

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Para uporządkowana jest postaci $(x, f (x))$ , tzn., że na pierwszym miejscu w każdej parze znajduje się element należący do dziedziny funkcji, a na drugim odpowiadająca temu elementowi wartość funkcji.

Wśród elementów zbioru par uporządkowanych wybieramy tę parę, w której na drugim miejscu jest $0$ .

Jest to para to para $(- 2, 0)$ .

Stąd miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 2$ .

Zapisujemy symbolicznie $x_{0} = - 2$ .

Ile miejsc zerowych może posiadać funkcja liczbowa?

Odpowiedź na to pytanie uzyskamy analizując kolejne przykłady.

Przykład 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RBQFZ8AUKUNK8

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus siedmiu do czterech i pionową oś y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się wykresy o następującym kształcie: początek wykresu jest w punkcie początek nawiasu, minus 7,5, minus 2, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 4,5, 2, zamknięcie nawiasu zaznaczonego niezamalowaną kropką biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 6. Współrzędne kolejnego punktu to początek nawiasu, minus 4,5, 1, zamknięcie nawiasu, jest on zaznaczony zamalowaną kropką. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, minus 1,5 minus 1, zamknięcie nawiasu biegnie linia prosta, która przecina oś x w punkcie minus 3. Punkt początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony zamalowaną kropką. Kolejny punkt wykresu o współrzędnych początek nawiasu, minus 1,5, minus 2, zamknięcie nawiasu jest zaznaczony niezamalowaną kropką stąd linia biegnie poziomo aż do punktu początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu, z tego miejsca biegnie krzywa o kształcie przypominającym ramię paraboli skierowane w dół. Begnie do punktu początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu, tam zmienia kształt na krzywą przypominająca ramię paraboli skierowane do góry. Ostatni punkt ma współrzędne początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu i jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.

Wyznaczymy jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Odczytajmy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$ .

Są to punkty: $(- 6, 0)$ , $(- 3, 0)$ , $(3, 0)$ .

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$ .

Są nimi liczby: $(- 6)$ , $(- 3)$ , $3$ .

Funkcja $f$ ma więc trzy miejsca zerowe: $(- 6)$ , $(- 3)$ , $3$ .

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1NBZ31KQ2757

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie widnieją trzy odcinki będące wykresem funkcji f. Końce pierwszego odcinka znajdują się odpowiednio w punktach minus 6, 3 oraz minus 2, minus 1. Końce drugiego odcinka, który jest odcinkiem otwartym znajdują się w punktach: minus 1 minus 2 oraz 2, 1. Końce trzeciego odcinka znajdują się w punktach o współrzędnych 2, 3 oraz 6, minus 3.

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ przecina oś $X$ w trzech punktach: $(- 3, 0)$ , $(1, 0)$ , $(4, 0)$ .

Funkcja ta ma trzy miejsca zerowe: $- 3$ , $1$ , $4$ .

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu, którego fragment przedstawiony jest na rysunku.

RTXEJ4A35C9AE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 4 do trzech. Na wykresie przedstawiono funkcję y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu składającą się z jednej linii ciągłej , która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie przecinając oś x w punkcie minus 5 do punktu początek nawiasu, minus 3, minus 4, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia bieg i biegnie przez punkt początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce, następnie biegnie przez punkt początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu i punkt początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu do punktu początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu. Tutaj wykres zmienia bieg i biegnąc przez punkt początek nawiasu, 5, 0, zamknięcie nawiasu wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Na podstawie wykresu określimy jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Odczytajmy z wykresu funkcji współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią $X$ .

Są to punkty o współrzędnych: $(- 5, 0)$ , $(- 2, 0)$ , $(2, 0)$ , $(5, 0)$ .

Miejscami zerowymi funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejscami zerowymi funkcji $f$ są pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji i osi $X$ .

Funkcja $f$ ma cztery miejsca zerowe: $(- 5)$ , $(- 2)$ , $2$ , $5$ .

Przykład 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1GAU4XAONU5T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 5 oraz z pionową osią Y od minus 1 do sześciu. Na wykresie przedstawiono funkcję y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, która rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie linią prostą do punktu początek nawiasu, minus 3, 1,5, zamknięcie nawiasu, w tym miejscu wykres zmienia kształt na parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu. Koniec drugiego ramienia znajduje się w punkcie początek nawiasu, 3, 1,5, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres znów przybiera kształt linii prostej i wychodzi w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu.

Sprawdzimy, czy funkcja posiada miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f$ nie ma punktów wspólnych z osią $X$ .

Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych.

Przykład 9

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R3GQS952V61HZ

Grafika przedstawia układ współrzędnych z wyznaczoną osią x od minus 6 do 6 i osią y wyznaczoną od minus 3 do trzech. Na układzie współrzędnych wyznaczono funkcję y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, ,której przebieg rozpoczyna się w ćwiartce trzeciej w okolicach punktu początek nawiasu, 3,5, minus 3, zamknięcie nawiasu i przebiega w formie łuku do punktu początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Od punktu tego do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu funkcja przebiega wzdłuż osi x. Od punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. funkcja w formie łuku kieruje się ku górnej części grafiki i kończy się w pobliżu punktu początek nawiasu, 3,5, 3, zamknięcie nawiasu.

Ile miejsc zerowych posiada funkcja $f$ ?

Rozwiązanie

Część wykresu funkcji pokrywa się z osią $X$ .

Stąd wniosek, że dla każdego argumentu $x$ , takiego, że $x \in ⟨- 2, 2⟩$ funkcja ma wartość równą $0$ .

Czyli każda liczba należąca do przedziału obustronnie domkniętego $⟨- 2, 2⟩$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ .

Funkcja $f$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x \in ⟨- 2, 2⟩$ .

Podsumowując, jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to:

funkcja posiada miejsca zerowe wtedy, gdy wykres funkcji ma punkty wspólne z osią $X$ ,

funkcja nie posiada miejsc zerowych wtedy, gdy wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią $X$ .

Przykład 10

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot |x - 3| + 3$ , gdy $x \in ⟨- 4, 10⟩$ .

Wyznaczymy jej miejsce zerowe.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji $f$ należy rozwiązać równanie $f (x) = 0$ i sprawdzić, czy otrzymane pierwiastki równania należą do dziedziny funkcji.

$- \frac{1}{2} \cdot |x - 3| + 3 = 0$

$- \frac{1}{2} \cdot |x - 3| = - 3 | \cdot (- 2)$

$|x - 3| = 6$

$x - 3 = - 6 \lor x - 3 = 6$

$x = - 3 \lor x = 9$

Otrzymaliśmy dwie liczby, które spełniają równanie $f (x) = 0$ .

Sprawdzamy, która z liczb należy do dziedziny funkcji $f$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 4, 10⟩$ .

Zarówno liczba $- 3$ , jak i liczba $9$ należą do dziedziny funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $- 3$ i $9$ .

Zapisujemy to symbolicznie $x_{0_{1}} = - 3$ , $x_{0_{2}} = 9$ .

Przykład 11

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = x (x + 4) (3 x - 2)$ , gdy $x \in ℤ$ .

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsc zerowych funkcji $f$ rozwiążemy równanie

$f (x) = 0$ .

$x (x + 4) (3 x - 2) = 0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$x = 0$ lub $x + 4 = 0$ lub $3 x - 2 = 0$

Stąd $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 4$ , $x_{3} = \frac{2}{3}$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb całkowitych, czyli funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Są nimi liczby: $- 4$ , $0$ .

Przykład 12

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

a) $f (x) = 7 - x^{2}$ , gdy $x \in ℚ$ ,

b) $f (x) = 7 - x^{2}$ , gdy $x \in ℝ$ .

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ , w obu podpunktach, opisana jest za pomocą takiego samego wzoru. Różne są tylko dziedziny funkcji.

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ rozwiązując równanie

$f (x) = 0$ .

$7 - x^{2} = 0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

$(\sqrt{7} - x) (\sqrt{7} + x) = 0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$\sqrt{7} - x = 0$ lub $\sqrt{7} + x = 0$

Stąd $x_{1} = \sqrt{7}$ , $x_{2} = - \sqrt{7}$ .

Ad. a). Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb wymiernych.

Ad. b). Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Są nimi liczby: $- \sqrt{7}$ , $\sqrt{7}$ .

Podsumujmy nasze wiadomości

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą grafu, to miejscem zerowym funkcji jest argument, należący do zbioru oznaczonego literą $X$ , który jest połączony strzałką z liczbą $0$ znajdującą się w zbiorze $Y$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą tabelki, to miejscem zerowym funkcji jest argument, zapisany w wierszu pierwszym, oznaczonym symbolem $x$ , któremu odpowiada wartość funkcji równa $0$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru, to miejscem zerowym funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejscem zerowym funkcji jest pierwiastek równania $f (x) = 0$ wtedy, gdy należy on do dziedziny funkcji $f$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to miejscem zerowym funkcji jest pierwsza współrzędna wykresu funkcji i osi $X$ .

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych, to miejscem zerowym funkcji jest liczba, zapisana na pierwszym miejscu w tej parze, w której na drugim miejscu znajduje się $0$ .

Materiały multimedialne

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w prezentacji multimedialnej. Wykonaj wszystkie wskazane w niej polecenia.

R17CEP3963196

Slajd pierwszy zawiera przykład pierwszy. Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu, który znajduje się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do dziewięciu. Kształt wykresu jest następujący: półprosta pojawiająca się w drugiej ćwiartce układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 3, 10, zamknięcie nawiasu biegnie do punktu początek nawiasu, minus 1, 5, zamknięcie nawiasu, stąd linia biegnie równolegle do osi x aż do punktu początek nawiasu, 3, 5, zamknięcie nawiasu. Z tego miejsca rozpoczyna się kolejna półprosta, która wychodzi poza płaszczyznę układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 5, 10, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest podpisana y równa się f od x. Pod wykresem znajduje się pytanie: Ile miejsc zerowych ma funkcja f?

Slajd drugi zawiera kontynuację przykładu pierwszego. Na tym slajdzie znajduje się odpowiedź na zadane wcześniej pytanie, mianowicie: Wykres funkcji znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Nie ma punktów wspólnych z osią x. Funkcja f nie posiada miejsc zerowych.

Slajd trzeci zawiera przykład drugi. Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu, który znajduje się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus sześciu do pięciu. Kształt wykresu jest następujący: wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 2, 5, zamknięcie nawiasu biegnie po łuku do punktu początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu, po drodze przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu. Z punktu początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu, linia biegnie przez punkt początek nawiasu, 1, minus 2, zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w okolicach początek nawiasu, 2, minus 6, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest podpisana y równa się f od x. Pod wykresem znajduje się pytanie: Ile miejsc zerowych ma funkcja f?

Slajd czwarty zawiera kontynuację przykładu drugiego. Znajduje się na nim odpowiedź na zadane wcześniej pytanie. Wykres funkcji f przecina oś x w punkcie o współrzędnych początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu. Funkcja f posiada jedno miejsce zerowe. Miejscem zerowym funkcji jest pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu z osią x.

Slajd piąty zawiera przykład trzeci. Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu, który znajduje się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus pięciu do sześciu. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry. Wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 3, 7, zamknięcie nawiasu biegnie po łuku do wierzchołka o współrzędnych początek nawiasu, 0, minus 4, zamknięcie nawiasu, po drodze przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Z wierzchołka krzywa biegnie przez punkt początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w okolicach początek nawiasu, 3, 7, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest podpisana y równa się f od x. Pod wykresem znajduje się pytanie: Ile miejsc zerowych ma funkcja f?

Slajd szósty zawiera kontynuację przykładu trzeciego. Znajduje się na nim odpowiedź na zadane wcześniej pytanie. Wykres funkcji f przecina oś x w dwóch punktach o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu oraz początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Funkcja f posiada dwa miejsca zerowe. Miejscami zerowymi są pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią x. Czyli x zero jeden równa się minus dwa oraz x zero dwa równa się dwa.

Slajd siódmy zawiera przykład czwarty. Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu, który znajduje się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus pięciu do sześciu. Wykres ma następujący kształt: półprosta pojawia się w trzeciej ćwiartce układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 4, minus 5, zamknięcie nawiasu biegnie punktu początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Stąd linia biegnie równolegle do osi x do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie półprosta, która wychodzi poza płaszczyznę układu w okolicach punktu początek nawiasu, 4, 6, zamknięcie nawiasu. Funkcja jest podpisana y równa się f od x. Pod wykresem znajduje się pytanie: Ile miejsc zerowych ma funkcja f?

Slajd ósmy zawiera kontynuację przykładu czwartego. Znajduje się tutaj odpowiedź na zadane wcześniej pytanie. Część wykresu pokrywa się z osią x. Każdy punkt tej części wykresu funkcji, która pokrywa się z osią x ma drugą współrzędną równą zero. Czyli pierwsza współrzędna tych punktów jest miejscem zerowym funkcji f. Funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Zatem x zero należy do przedziału obustronnie domkniętego od minus dwóch do dwóch.

Slajd dziewiąty zawiera przykład piąty. Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu, który znajduje się na płaszczyźnie układu współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus pięciu do sześciu. Wykres znajdujący się na płaszczyźnie składa się z krzywych , a występujące wierzchołki są zaokrąglone. Wykres ma następujący przebieg: wykres zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu w okolicach punktu początek nawiasu, minus 2, minus 5, zamknięcie nawiasu biegnie do pierwszego wierzchołka w punkcie początek nawiasu, minus 1,5, 3,5, zamknięcie nawiasu przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Z pierwszego wierzchołka krzywa biegnie do kolejnego wierzchołka w punkcie początek nawiasu, minus 0,5, minus 4, zamknięcie nawiasu przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu. Z drugiego wierzchołka krzywa biegnie do trzeciego wierzchołka w punkcie początek nawiasu, 1,5, 1, zamknięcie nawiasu, przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu. Z trzeciego wierzchołka krzywa biegnie do ostatniego czwartego wierzchołka znajdującego się w punkcie początek nawiasu, 2,5, minus 2, zamknięcie nawiasu po drodze przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Z czwartego wierzchołka przez punkt początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu krzywa wybiega w pierwszej ćwiartce poza płaszczyznę układu współrzędnych. Funkcja jest podpisana y równa się f od x. Pod wykresem znajduje się napis: posługując się wykresem odczytajmy miejsca zerowe funkcji f.

Slajd dziesiąty zawiera kontynuację przykładu piątego. Znajduje się tutaj odpowiedź na rozważania zawarte na slajdzie dziewiątym. Wykres funkcji f ma pięć punktów wspólnych z osią x o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu oraz początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu. Miejscami zerowymi funkcji są pierwsze współrzędne tych punktów. Czyli x zero należy do zbioru pięcioelementowego składającego się z liczb: minus 2, minus 1, 1, 2, 3.

Po przeanalizowaniu przykładów przedstawionych w prezentacji multimedialnej wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1DXJB35QD81X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 5 do sześciu oraz z pionową osią Y od minus 1 do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, która kształtem przypomina dwie połączone ze sobą parabole. Lewe ramię pierwszej paraboli pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wierzchołek pierwszej paraboli znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Prawe ramię pierwszej paraboli kończy się w punkcie początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu. Lewe ramię drugiej paraboli rozpoczyna się punkcie początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Prawe ramię drugiej paraboli wychodzi poza płaszczyznę układu w ćwiartce pierwszej. Wykres jest podpisany y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu.

Wyznacz jej miejsca zerowe (o ile istnieją).

Miejscami zerowymi funkcji są liczby: $(- 2)$ , $2$ .

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1EANO29S8M8K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji, którego przebieg jest następujący: półprosta rozpoczyna się w ćwiartce drugiej i biegnie do punktu początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu, tutaj linia zmienia kąt nachylenia i biegnie do punktu początek nawiasu, 0, minus 2, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu przez punkt początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu biegnie półprosta, która wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Sprawdź, czy liczba $(- 3)$ jest jej miejscem zerowym.

Liczba $(- 3)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ .

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj samodzielnie rozwiązać wskazane zadania, następnie porównaj swoje rozwiązania z tymi, które przedstawione są w animacji.

R73ECPSCNNV2X

Po przeanalizowaniu przykładów przedstawionych w animacji, wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = |x + 4| - 1$ , gdy $x \in ⟨- 4, 6⟩$ .

Wyznacz jej miejsce zerowe.

Rozwiązujemy równanie $f (x) = 0$ .

$|x + 4| - 1 = 0$

$|x + 4| = 1$

$x + 4 = - 1$ lub $x + 4 = 1$

$x = - 5$ lub $x = - 3$

Liczba $- 5$ nie należy do dziedziny tej funkcji.

Jedynym miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $- 3$ .

Polecenie 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R2LE4VV6BB1MC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji przypominający kształtem wielką pisaną literę M pochyloną lekko w prawą stronę. Wykres znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce Wykres przecina oś Y w punkcie 0 1 i nie dotyka osi X.

Wyznacz jej miejsce zerowe.

Wykres funkcji $f$ nie ma punktów wspólnych z osią $X$ , więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych.

Ważne!

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji opisanej za pomocą wzoru należy rozwiązać równanie $f (x) = 0$ .

Przeanalizuj przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj je rozwiązać samodzielnie, a następnie porównaj je z tymi, które są podane w animacji.

RLXDNVLTQPX1V

Po przeanalizowaniu animacji wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} + 5 x}$

Wyznacz jej dziedzinę oraz oblicz jej miejsca zerowe (o ile istnieją).

$D_{f} = ℝ ∖ \{- 5, 0\}$

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R48OSPMKFHGVD1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R75PR48BBAK5H1

Ćwiczenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RJDCV8X5BOJ6N

RUJNSJART87UD

R1JFTVZFMA88B2

Ćwiczenie 4

RHSM85B78UZD42

Ćwiczenie 5

RS2KRXBG8L4M62

Ćwiczenie 6

RQEORHQODUST63

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RTTBKBC1VAJ43

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z dwóch równoległych do siebie odcinków. Początek pierwszego z nich znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Koniec tego odcinka znajduje się w punkcie początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu, który również jest zaznaczony zamalowaną kropką. Odcinek pierwszy przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu. Drugi odcinek zaczyna się w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony niezamalowaną kropką, a kończy się w punkcie początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu.

R12821TV4EGOC

Ćwiczenie 9

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1XRMC6BBK5DD

RAGO3VQ1OSPNB

Ćwiczenie 10

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RL2UZTRVUC79Z

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Początek wykresu znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Stąd wykres biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu, i następnie równolegle do osi x biegnie do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu Z tego punktu wykres biegnie do punktu początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką.

R13K54JHZG6OK

Ćwiczenie 11

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R19V25BZ17TMK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Początek wykresu znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 3, 1, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Stąd wykres biegnie do punktu początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, przecinając oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu. Następnie linia prosta biegnie do punktu początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony niezamalowaną kropką. Z tego punktu wykres biegnie do punktu początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu, i następnie równolegle do osi x biegnie do punktu początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie wykres zaczyna biec równolegle do osi x aż do punktu początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres biegnie do punktu początek nawiasu, 4, minus1, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony niezamalowaną kropką i przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu. Dodatkowo na płaszczyźnie zamalowaną kropką zaznaczony został punkt początek nawiasu, 0, 2, zamknięcie nawiasu.

R14OQU1RAKRM4

Ćwiczenie 12

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RRRUARTT4O3FA

R1L3QV4V7JMH6

Ćwiczenie 13

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RPPUJVT8PL4C8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z trzech części. Początek pierwszej części wykresu znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 6, 0, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Stąd wykres biegnie punktu początek nawiasu, minus 4, minus, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony niezamalowaną kropką. Druga część wykresu przypomina kształtem parabolę o ramionach skierowanych do dołu. Lewe ramię paraboli rozpoczyna się w punkcie początek nawiasu, minus 4, 0, zamknięcie nawiasu , wierzchołek znajduje się w punkcie początek nawiasu, minus 2, 2, zamknięcie nawiasu, a prawe ramie kończy się w punkcie początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu. który jest zaznaczony niezamalowaną kropką. Trzeci fragment wykresu zaczyna się w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką, kończy się on w punkcie początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu przecinając po drodze oś x w punkcie początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu.

R1LMJTZN58XZ3

Ćwiczenie 14

R1BA5XVTN7QDB

RRFMFHL9VPVHK

Ćwiczenie 15

R15ROFZA9TZ5D

RNBNVO5GZNQQJ

Ćwiczenie 15

R1ZF12RQP7R1Q1

Ćwiczenie 16

R1MACF6ZFQ2B81

Ćwiczenie 17

RU4ZZJU97EEZM2

Ćwiczenie 18

RH1H1MVRHRMB72

Ćwiczenie 19

RL1KX15J7PE7S3

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

R1FFJ6E6A3FJF

Ćwiczenie 22

R1HNCZ5HA8TN1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{3 - x} - 2, & gdy x \in (- \infty, 3⟩ \\ \frac{x + 3}{x - 1}, & gdy x \in (3, \infty) \end{cases}$ .

Zaznacz, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

ROP2PEPANASNF

R16H23JD98P61

R11TGZGFNXCDO

RJCKQ1HV2CGH7

Słownik

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero

3. Najmniejsza i największa wartość funkcji

5. Wartości dodatnie i ujemne funkcji