1. Przedziały liczbowe ograniczone

W matematyce rozróżniamy różnego rodzaje zbiory. Jednym z kryteriów rozróżniania zbiorów jest ich liczebność. Przypomnijmy, że zapis $\left\{1,2,3\right\}$ oznacza zbiór, którego jedynymi elementami są liczby $1$, $2$ i $3$. Jest to przykład zbioru skończonego trzyelementowego. Omówiliśmy już też przykłady zbiorów o nieskończonej liczbie elementów, np. zbiór liczb naturalnych $\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\right\}$. Innym przykładem zbiorów nieskończonych są przedziały, które szczegółowo omówimy w tej lekcji.

Na przedziałach, podobnie jak na innych zbiorach, możemy wykonywać działania. Najbardziej elementarne z nich to suma, iloczyn, różnica i dopełnienie. Dzięki wykonanym rysunkom znacznie łatwiej będzie Ci odczytać przedziały, które są sumą, iloczynem i różnicą podanych przedziałów.

Ogólnie mówiąc przedziałem nazywamy pewien podzbiór zbioru liczb rzeczywistych o nieskończenie wielu elementach, który zawiera wszystkie liczby z podanego zakresu.

W tej lekcji skupimy się na omówieniu przedziałów ograniczonych. Wyróżniamy cztery ich rodzaje. Ustalmy najpierw dwie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, dla których zachodzi warunek $a<b$.

Przedziałem obustronnie domkniętym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie domkniętego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in ⟨a, b⟩$.

Przedział obustronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy wyraźnie zamalowanymi kółeczkami:

RNLTNFPL7TCZ4

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty $a$ $b$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $a$ oraz w punkcie odpowiadającym liczbie $b$ zaznaczone są na osi zamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem obustronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right)$.

Przedział obustronnie otwarty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy kółeczkami, które nie są zamalowane:

RC8LPM6OSN7SL

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $a$ oraz w punkcie odpowiadającym liczbie $b$ zaznaczone są na osi niezamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem prawostronnie domkniętym i lewostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału prawostronnie domkniętego i lewostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right.⟩$.

Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że lewy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś prawy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

RP4KGA222B2HD

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $a$ zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie $b$ kropka jest zamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left.⟨a, b\right)$.

Przedział prawostronnie otwarty i lewostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że prawy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś lewy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

RN5O35PQ5O4CS

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty $a$ $b$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $a$ zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie $b$ kropka jest niezamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Zwróćmy jeszcze uwagę na pewne istotne rozróżnienie. Omawiane w tej lekcji przedziały z jednej strony są zbiorami nieskończonymi, co oznacza, że należy do nich nieskończenie wiele liczb, ale jednocześnie są zbiorami ograniczonymi. Mówimy, że zbiór $A$ jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $m$ i $M$ takie, że dla każdego elementu $x$ zbioru $A$ zachodzą warunki $m\le x$ oraz $x\le M$. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A$, zaś liczbę $M$ - ograniczeniem górnym zbioru $M$. Widzimy zatem, że istnieją zbiory ograniczone i nieskończone jednocześnie. W następnych lekcjach poznasz przedziały nieograniczone.

Przykład 1

Przedział $⟨-2, 3⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział liczbowyprzedział liczbowyprzedział liczbowy na osi można zilustrować następująco:

R1M21QGUS5SME

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty $-2$ $3$, czyli w obu punktach zaznaczone są zamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left(-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1CHF97V9BA7X

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w obu punktach zaznaczone są niezamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left(-2, 3\right.⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1JPA6P8RN3RU

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $-2$ zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie $3$ zaznaczona jest na osi zamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left.⟨-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych$\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1945RC93C3XL

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową $X$, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty $-2$ $3$, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie $-2$ zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie $3$ zaznaczona jest na osi niezamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

R1bf3LIUDYvli

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego przedziałów liczbowych ograniczonych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego przedziałów liczbowych ograniczonych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1bf3LIUDYvli

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego przedziałów liczbowych ograniczonych.

Poniżej przedstawiamy kilka różnych położeń dwóch przedziałów względem siebie i ich części wspólne:

1. Jeśli przedziały $A$ i $B$ nie mają żadnych wspólnych elementów, nazywamy je rozłącznymi. Zapiszemy wówczas, że ich iloczynem jest zbiór pusty: $A\cap B=\varnothing$

R1DUOm10vkDua

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: $x$ oraz $y$ oraz zamalowane: $r$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<r<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\varnothing$.

RECQ4F2kHrzzZ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$ oraz niezamalowane $y$ oraz $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\varnothing$.

2. Iloczyn dwóch przedziałów może być zbiorem jednoelementowym - przedziały mogą mieć wspólny koniec. Na ilustracji poniżej mamy $A\cap B=\left\{y\right\}$.

Rfez0UU5GQDpd

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: $x$, punkt zamalowany $y$ oraz niezamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\left\{y\right\}$.

3. Iloczynem przedziałów może być przedział, do którego (zgodnie z definicją) należą tylko i wyłącznie liczby należące do każdego z rozważanych przedziałów:

RhN5QoKBqvcln

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: $x$ oraz $r$, dalej punkt zamalowany $y$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<r<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=(r,y⟩$.

Jeśli iloczyn dwóch przedziałów jest równy jednemu z nich, to mówimy, że jeden przedział zawiera się w drugim, co oznaczamy symbolem $\subset$. Na rysunku poniżej zilustrowano sytuację, w której przedział $A$ zawiera się w przedziale $B$: $A\cap B=A\iff A\subset B$. Dzieje się tak, jeśli każda liczba należąca do przedziału $A$ należy do przedziału $B$ (jednocześnie zwróćmy uwagę, że element przedziału $B$ może nie być elementem przedziału $A$).

RCKNt2Mzcy74M

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $r$, niezamalowany $x$, zamalowany $y$ oraz niezamalowany $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $r<x<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=A$.

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym omówione są przykłady wyznaczania części wspólnej dwóch przedziałów:

R1RfFI7llj3wm

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1RfFI7llj3wm

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Przykład 5

Dla podanych przedziałów $A$, $B$, $C$ wyznaczymy ich iloczyn $A\cap B\cap C$.

a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$
Aby rozwiązać zadanie, zilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

R1Q6LQTE91PPF

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-10; -6; -1; 2$. Punkty zamalowane to: $-2; 5$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 2\right)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-10, -2⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-1, 5⟩$.

Łatwo zauważyć, że nie istnieje liczba należąca do wszystkich przedziałów, co oznacza, że ich część wspólna jest zbiorem pustym, co zapisujemy $A\cap B\cap C=\varnothing$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RYAadXDbaBkLz

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: $-5; -2; 7$. Punkty zamalowane to: $1; 4$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty $A=(-2, 4⟩$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨1, 7)$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 1⟩$.

Z ilustracji odczytujemy, że jedyną liczbą należącą do wszystkich przedziałów jest $1$. Zatem $A\cap B\cap C=\left\{1\right\}$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R189983XCK3HT

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-6, -5, -1, 2, 4$. Punkt zamalowany to: $-3$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 4\right)$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨-3, 2)$. Przedział otwarty $C=\left(-5, -1\right)$.

Z rysunku możemy odczytać, że częścią wspólną wszystkich trzech przedziałów jest zbiór liczb większych lub równych $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejszych od $\left(-1\right)$. Zatem $A\cap B\cap C=\left.⟨-3;-1\right)$.

Poniżej przedstawiamy kilka możliwych położeń względem siebie dwóch przedziałów na osi liczbowej. W każdym przypadku wyznaczymy ich sumy.

1. Dla przedziałów $A$ i $B$ położonych jak poniżej, ich suma jest równa
   $A\cup B=\left(x;t\right)$.

   R1FZ16256ZX9K

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: $x$, zamalowany $z$, niezamalowane $y$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<z<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $A$. Między punktami $z$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$.

   

2. W drugim przypadku rozważamy przedziały, które mają jeden wspólny koniec. Wówczas suma zbiorówsuma zbiorów $A$ i $B$suma zbiorów to $A\cup B=\left(x;z\right)$. Zwróćmy uwagę, że liczba $y$ należy do przedziału $B$, więc należy również do sumy.

   R1FoZE2f5zPRU

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$, zamalowany i niezamalowany jednocześnie $y$, co wyjaśnimy dalej, oraz niezamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz niezamalowanym $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ zamalowanym oraz $z$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$.

   

3. Rozważmy teraz przypadek, który subtelnie, acz istotnie różni się od poprzedniego. Tym razem rozważane przedziały również mają wspólny koniec $y$, ale nie należy on do żadnego z przedziałów $A$, $B$. Zatem nie należy też do sumy. Możemy zapisać $A\cup B=\left.⟨x;y\right)\cup \left(y;z\right.⟩$ lub użyć symbolu $\setminus$ oznaczającego odejmowanie zbiorów. Równoważnie możemy zapisać $A\cup B=⟨x;z⟩\setminus \left\{y\right\}$, co interpretujemy jako przedział z wyłączoną jedną liczbą - liczbą $y$.

   Rb31jKFBU9VBQ

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$, niezamalowany $y$ oraz zamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $B$.

   

4. W ostatnim rozważanym przypadku sumę przedziałów również możemy zapisać na dwa sposoby. Pierwszy z nich to $A\cup B=⟨x;y⟩\cup \left(z;t\right)$. Drugi sposób ponownie wykorzystuje symbol różnicy zbiorów $A\cup B=\left.⟨x;t\right)\setminus \left(y;z\right.⟩$. Zapis ten akcentuje fakt, że z przedziału $\left.⟨x;t\right)$ “wyjmujemy” przedział $\left(y;z\right.⟩$.

   R1Q4yCrCDXGTu

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty zamalowane: $x$ oraz $y$ oraz niezamalowane $z$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty $A$. Między punktami $z$ oraz $t$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $B$.

   

Przykład 6

Wyznaczymy sumy dla trójek przedziałów z przykładu 1.
a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$.
Ponownie będziemy posługiwać się interpretacją przedziałów na osi liczbowej.

R5CC6CUCE66C7

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-10; -6; -1; 2$. Punkty zamalowane to: $-2; 5$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 2\right)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-10, -2⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-1, 5⟩$.

Przypomnijmy, że liczba należy do sumy przedziałów dokładnie wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego z nich. Zatem $A\cup B\cup C=\left(-10;5\right.⟩$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$.
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RCC7N3yvclWLZ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: $-5; -2; 7$. Punkty zamalowane to: $1; 4$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty $A=(-2, 4⟩$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨1, 7)$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 1⟩$.

Z ilustracji odczytujemy, że $A\cup B\cup C=\left(-5;7\right)$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R2JPJ2R9NB7J6

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-6, -5, -1, 2, 4$. Punkt zamalowany to: $-3$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 4\right)$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨-3, 2)$. Przedział otwarty $C=\left(-5, -1\right)$.

Z rysunku możemy odczytać, że $A\cup B\cup C=\left(-6;4\right)$. Zauważmy, że suma przedziałów $A$, $B$, $C$ jest równa przedziałowi $A$. Dzieje się tak dlatego, że przedziały $B$ i $C$ są zawarte w przedziale $A$, czyli $B\subset A$ oraz $C\subset A$.

Przykład 7

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których iloczyn przedziałówiloczyn zbiorów $A$ i $B$iloczyn przedziałów $\left(-2;2m-1\right)$ oraz $\left(m+3;10\right)$ jest zbiorem niepustym.

Do rozwiązania zadania możesz użyć apletu. Używając suwaka, zmieniaj wartości parametru $m$ i obserwuj położenie przedziałów na osi liczbowej.

R85slio4NWd5p

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D6G856BNB

Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Zadanie można rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Aby te warunki rozwiązać, do obu stron pierwszej nierówności dodamy $1$ i podzielimy przez $2$:

$2m-1>-2$

$2m-1+1>-2+1$

$2m>-1$

$\frac{2m}{2}>\frac{-1}{2}$

$m>-\frac{1}{2}$.

Ponadto od obu stron drugiej nierówności odejmujemy $3$:

$m+3<10$

$m+3-3<10-3$

$m<7$.

Z obu nierówności wynika, że $m$ należy do przedziału $\left(-\frac{1}{2};7\right)$. Dla $m$ z tego przedziału żaden z rozważanych przedziałów nie jest pusty. Teraz zapiszemy warunek gwarantujący, że iloczyn przedziałów nie jest pusty:
$2m-1>m+3$

Aby go rozwiązać, do obu stron nierówności dodajemy liczbę $1$, a następnie odejmujemy $m$:

$2m-1+1>m+3+1$

$2m>m+4$

$2m-m>m+4-m$

$m>4$.

Zatem mamy dwa warunki do uwzględnienia: $m\in \left(-\frac{1}{2};7\right)$ oraz $m>4$. Rozwiązaniem zadania jest przedział $\left(4;7\right)$.

REyAvOgtgSaLi

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/REyAvOgtgSaLi

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Przykład 8

Wyznacz różnicę zbiorów $A\setminus B$, jeśli $A=\left(-2, 4\right)$ i $B=⟨2, 6⟩$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

R5GQZSM9QHATF

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty $A$, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty $B$.

Różnicę przedziałówróżnica przedziałów $A$ i $B$Różnicę przedziałów $A$ i $B$ tworzą liczby, które należą do przedziału $A$ i nie należą do przedziału $B$.

RGBHFDUMEXRZH

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty $A$, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty $B$. Od wartości minus dwa do dwa oznaczono przedział obustronnie otwarty opisany jako różnica zbiorów $A$ i $B$.

A zatem $A\setminus B=\left(-2, 2\right)$.

Przykład 9

Wyznacz różnicę zbiorów $B\setminus A$, jeśli $A=\left(-2, 4\right)$ i $B=⟨2, 6⟩$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

R1663ZOVA17DG

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty $A$, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty $B$.

Różnicę przedziałów $B$ i $A$ tworzą liczby, które należą do przedziału $B$ i nie należą do przedziału $A$.

R12NZQRQUVSSA

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty $A$, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty $B$. Od wartości cztery do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty opisany jako różnica zbiorów $B$ i $A$.

A zatem $B\setminus A=⟨4, 6⟩$.

Przykład 10

Wyznacz sumę i iloczyn i różnice zbiorów $A$ i $B$, jeśli $A=\left\{x\in \mathbf{ℝ}:x\ge 2 \mathrm{i} x\le 4\right\}$ i $B=\left\{x\in \mathbf{ℝ}:x>6 \mathrm{i} x<10\right\}$.

• Zapisujemy najpierw zbiory $A$ i $B$ w postaci przedziałów.

$$A=⟨2, 4⟩$$

$$B=\left(6, 8\right)$$

• Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

R16SLM3MQCO5O

Ilustracja przedstawia oś iks z opisanymi wartościami od jeden do dziewięć. Od dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie domknięty $A$, od sześć do osiem oznaczono przedział obustronnie otwarty $B$.

• Korzystając z rysunku odczytujemy i zapisujemy zbiory:

$$A\cup B=⟨2, 4⟩\cup \left(6, 8\right)$$

$$A\cap B=\varnothing$$

$$A\setminus B=⟨2, 4⟩$$

$$B\setminus A=\left(6, 8\right)$$

Polecenie 5

Zapoznaj się z filmem przedstawiającym sposoby wykonywania działań na przedziałach liczbowych ograniczonych. Zwróć uwagę na przedstawione w nim nierówności.

RhoIpzt4E9mEG

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RhoIpzt4E9mEG

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

2

Ćwiczenie 12

Dane są przedziały $A=\left.⟨-2;3\right)$, $B=\left(-3;5\right.⟩$, $C=\left(-5;2\right.⟩$. Wyznacz zbiory:
a) $\left(A\cup B\right)\cap C$
b) $\left(A\cap B\right)\cup C$
c) $A\cup \left(B\cap C\right)$
d) $A\cap \left(B\cup C\right)$

Pokaż rozwiązanie

Zacznijmy od zilustrowania przedziałów na osi liczbowej:

RVzhNU0GAM56y

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ od minus pięciu do pięciu. Na osi zaznaczone są następujące przedziały: Przedział lewostronnie domknięty $A=⟨-2, 3)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-3, 5⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 2⟩$.

a) $\left(A\cup B\right)\cap C=\left(-3;5\right.⟩\cap \left(-5;2\right.⟩=\left(-3;2\right.⟩$
b) $\left(A\cap B\right)\cup C=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-5;2\right.⟩=\left(-5;3\right)$
c) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-3;2\right.⟩=\left(-3;3\right)$
d) $A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cap \left(-5;5\right.⟩=\left.⟨-2;3\right)$

3

Ćwiczenie 15

Dane są przedziały $A$, $B$, $C$. W każdym przypadku wyznacz i porównaj zbiory $A\cup \left(B\cap C\right)$ i $\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ oraz $A\cap \left(B\cup C\right)$ i $\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.
a) $A=\left(-5;6\right.⟩$, $B=\left(-2;8\right)$, $C=⟨-1;7⟩$
b) $A=\left.⟨-4;4\right)$, $B=\left(5;7\right)$, $C=⟨0;6⟩$
Na podstawie przykładów postaw hipotezę dotyczącą własności sumy i iloczynu zbiorów.

Pokaż rozwiązanie

1

a) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cup \left(-2;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left(-5;8\right)\cap \left(-5;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cap \left(-2;8\right)=\left(-2;6\right.⟩$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\left(-2;6\right.⟩\cup ⟨-1;6⟩=\left(-2;6\right.⟩$

b) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left[\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;7\right)\right]\cap ⟨-4;6⟩=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cap \left.⟨0;7\right)=\left.⟨0;4\right)$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\varnothing \cup \left.⟨0;4\right)=\left.⟨0;4\right)$

Na podstawie rozważanych przykładów możemy postawić hipotezę, że suma zbiorów jest rozdzielna względem ich iloczynu oraz iloczyn zbiorów jest rozdzielny względem ich sumy. Innymi słowy dla dowolnych zbiorów $A$, $B$, $C$ zachodzą równości $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ oraz $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$. Formalne dowody tych własności wymagają zastosowania logiki matematycznej, ale możemy je zilustrować na tzw. diagramach Venna:

RfoXrH9qODJcz

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie w taki sposób, że każdy okrąg ma część wspólną z każdym innym okręgiem oraz wszystkie okręgi mają jednocześnie część wspólną. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: $A, B, C$. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany cały zbiór $A$ oraz częśc wspólną zbiorów $B$ i $C$. Zakreskowanie nakłada się tylko w części wspólnej wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: $A\cup \left(B\cap C\right)$. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowane są: cały zbiór $A$ oraz część wspólną zbiorów $B$ i $C$. Poniżej umieszczono podpis: $\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$.

Zauważ, że na każdym z diagramów został zamalowany ten sam obszar. Jest to argument za tym, że niezależnie od tego, jakie zbiory $A$, $B$, $C$ rozważymy, zawsze otrzymamy równość $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$.
Analogicznie dla drugiej równości:

R1NxyCmsrf9UD

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: $A, B, C$. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowana część jest częśćią wspólną zbiorów $A$ i $B$ oraz $A$ i $C$. Poniżej umieszczono podpis: $A\cap \left(B\cup C\right)$. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane części wspólne zbiorów $A$ i $B$ oraz $A$ i $C$, przy czym podwójnie zakreskowane jest część wspólna wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: $\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

Słownik