4) reads from the graph of the function: the domain, the range, roots, monotonic intervals, intervals in which the function takes values not greater (not smaller) or smaller (not greater) than a given number, greatest and smallest values of the function (if they exist) in the closed interval and arguments for which the function takes greatest and smallest values.
The teacher introduces the subject of the lesson - determining the monotonicity of the function and identifying and drawing graphs of monotonic functions.
At home students look for information about the monotonicity of functions and they find out what are the properties of monotonic and non‑monotonic functionsnon‑monotonic functionnon‑monotonic functions.
A student chosen by the teacher presents information about the monotonicity of functions prepared at home.
Definition of the monotonic function - A monotonic functionmonotonic functionmonotonic function is a function that preserves the given order. It is a function increasing, non‑decreasing (increasing or constant), decreasing or non‑increasing (decreasing or constant).
Task Students work individually, using computers. Their task is to observe how the values of the function change while the change of arguments.
[Geogebra applet]
Students formulate the definition of the increasing functionincreasing functionincreasing function.
Definition of the increasing functionincreasing functionincreasing function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) < f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is increasing in the interval 〈a; b〉.
[Illustration 1]
Students together determine what are the properties of the decreasing and constant functionconstant functionconstant function and write down definitions of these functions.
Definition of the decreasing functiondecreasing functiondecreasing function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) > f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is decreasing in the interval 〈a; b〉.
Definiton of the constant functionconstant functionconstant function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) = f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is constant in the interval 〈a; b〉.
Students use obtained information in the exercises.
Task There is the plot of the function a.
[Illustration 2]
1) Give the domain of the function a.
2) Give a(1), a(2), a(3), a(4), a(5), a(6).
3) Check if for arguments 1 and 2 belonging in the domain of the function, the condition of the increasing functionincreasing functionincreasing function is met.
4) Is the function increasing? Justify the answer.
Task Draw three plots of decreasing functiondecreasing functiondecreasing function defined for such x that -1 < x < 6.
Task Draw three plots of constant functions defined for such x that -2 ≤ x < 4.
Discussion – what kind of function will be monotonic in intervals? Students analyse the problem based on their own examples, for examples plots of functions.
Definition of the function monotonic in intervals - A function monotonic in intervals – a function whose domain can be divided into separate intervals in which the function is monotonic.
Task Identify maximal intervals of monotonicity of the functionintervals of monotonicity of the functionintervals of monotonicity of the function presented in the plot.
Then together they sum‑up the classes, by formulating the conclusions to memorise.
Definition of the increasing functionincreasing functionincreasing function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) < f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is increasing in the interval 〈a; b〉.
Definition of the decreasing functiondecreasing functiondecreasing function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) > f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is decreasing in the interval 〈a; b〉.
Definiton of the constant functionconstant functionconstant function - Let f be a function defined in the interval 〈a; b〉. If for any xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 such that xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 the condition f(xIndeks dolny 11) = f(xIndeks dolny 22) is met, then we say that the function is constant in the interval 〈a; b〉.
Definition of the monotonic function - A monotonic functionmonotonic functionmonotonic function is a function that preserves the given order. It is a function increasing, non‑decreasing (increasing or constant), decreasing or non‑increasing (decreasing or constant).
Selected words and expressions used in the lesson plan
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane
m598a9a03cd5098b2_1528449068082_0
45 minut
m598a9a03cd5098b2_1528449523725_0
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
m598a9a03cd5098b2_1528449552113_0
1. Określanie monotoniczności funkcji.
2. Rozpoznawanie i rysowanie wykresów funkcji monotonicznych.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m598a9a03cd5098b2_1528450430307_0
Uczeń:
- określa monotoniczność funkcji,
- rozpoznaje i rysuje wykresy funkcji monotonicznych.
m598a9a03cd5098b2_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Odwrócona klasa.
m598a9a03cd5098b2_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca zbiorowa.
m598a9a03cd5098b2_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą określać monotoniczność funkcji oraz rozpoznawać i rysować wykresy funkcji monotonicznych.
Uczniowie w domu w dostępnych źródłach wiedzy poszukują informacji o monotoniczności funkcji - dowiadują się jakie ma własności funkcja monotoniczna, a jakie niemonotoniczna.
m598a9a03cd5098b2_1528446435040_0
Metoda odwróconej klasy.
Wybrany przez nauczyciela uczeń prezentuje przygotowane w domu informacje o monotoniczności funkcji.
Definicja funkcji monotonicznej - Funkcja monotoniczna jest to funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku. Czyli jest to funkcja rosnąca, niemalejąca ( rosnąca lub stała), malejąca lub nierosnąca (malejąca lub stała).
Polecenie Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputera. Zadaniem uczniów jest obserwacja, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji.
[Geogebra aplet]
Uczniowie ustalają definicję funkcji rosnącej.
Definicja funkcji rosnącej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) < f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale 〈a; b〉.
[Ilustracja 1]
Uczniowie wspólnie ustalają, jakie ma własności funkcja malejąca, a jakie stała i zapisują definicje tych funkcji.
Definicja funkcji malejącej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) > f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale 〈a; b〉.
Definicja funkcji stałej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) = f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest stała w przedziale 〈a; b〉.
Uczniowie wykorzystują zdobyte wiadomości w zadaniach.
Polecenie Dany jest wykres funkcji a.
[Ilustracja 2]
1. Podaj dziedzinę funkcji a.
2. Podaj a(1), a(2), a(3), a(4), a(5), a(6).
3. Sprawdź, czy dla argumentów 1 i 2 należących do dziedziny funkcji spełniony jest warunek funkcji rosnącej.
4. Czy ta funkcja jest rosnąca? Uzasadnij odpowiedź.
Polecenie Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji malejących, określonych dla takich x, że -1 < x < 6.
Polecenie Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji stałych, określonych dla takich x, że -2 ≤ x < 4.
Dyskusja – jaką funkcję nazwiemy monotoniczną przedziałami? Uczniowie analizują problem na podstawie własnych przykładów, np. wykresów funkcji.
Definicja funkcji monotonicznej przedziałami - Funkcja monotoniczna przedziałami – funkcja, której dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały tak, aby w każdym z nich funkcja była monotoniczna.
Polecenie Określ maksymalne przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na wykresie.
[Ilustracja 3]
Polecenie dla chętnych: Narysuj przykład dowolnej funkcji niemonotonicznej.
m598a9a03cd5098b2_1528450119332_0
Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.
Definicja funkcji rosnącej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) < f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale 〈a; b〉.
Definicja funkcji malejącej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) > f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale 〈a; b〉.
Definicja funkcji stałej - Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉. Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 11, xIndeks dolny 22 ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 11 < xIndeks dolny 22 spełniony jest warunek f(xIndeks dolny 11) = f(xIndeks dolny 22) to mówimy, że funkcja f jest stała w przedziale 〈a; b〉.
Definicja funkcji monotonicznej - Funkcja monotoniczna jest to funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku. Czyli jest to funkcja rosnąca, niemalejąca ( rosnąca lub stała), malejąca lub nierosnąca (malejąca lub stała).
non‑monotonic function1
non‑monotonic function
funkcja niemonotoniczna
RnkyIsXj00pEi1
wymowa w języku angielskim: non‑monotonic function
wymowa w języku angielskim: non‑monotonic function