1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni - M_R_W23_M1 Proste i płaszczyzny w przestrzeni

R5bd50Etpio4y

1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni.

Rozpoczniemy od prostych równoległych w przestrzeni. Proste równoległe w przestrzeni, podobnie jak proste równoległe na płaszczyźnie są to proste, które „biegną w tym samym kierunku”.

Można przyjąć, że przykładami w przybliżeniu prostych równoległych w codziennym życiu (a dokładniej odcinków zawartych w prostych równoległych) są tory kolejowe, krawędzie przeciwległych ścian w pomieszczeniach mieszkalnych, linie oddzielające pasy na drodze wielopasmowej.

Druty linii wysokiego napięcia nie mogą się stykać, bo dojdzie do zwarcia elektrycznego, dlatego druty linii wysokiego napięcia na odcinku między dwoma słupami tworzą linie, które w przybliżeniu są prostymi równoległymi w przestrzeni.

R1LKvYnTrLsI1

Zdjęcie przedstawia słup wysokiego napięcia na tle nieba. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Nauczysz się rozpoznawać proste równoległe skośne i przecinające się w przestrzeni i poznasz ich własności.

Rozpoznasz płaszczyzny równoległe i przecinające się.

Zastosujesz poznane fakty w problemach praktycznych i zadaniach.

W przestrzeni rozważamy trzy podstawowe obiekty: punkt, prostą, płaszczyznę. Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Przez dowolne trzy punkty można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Problemy geometrii przestrzennej dają się często rozwiązać jako problemy planimetrii dzięki odpowiedniemu wyborowi płaszczyzny lub przekroju płaszczyznąprzekroju płaszczyzną.

Jeśli dwie płaszczyzny mają punkt wspólny, to częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta zwana krawędzią wspólną tych płaszczyzn. Prosta może mieć jeden punkt wspólny z płaszczyzną i wtedy mówimy, że prosta przebija płaszczyznę. Prosta może leżeć na płaszczyźnie lub nie mieć punktów wspólnych z płaszczyzną.

Aksjomat równoległości (postulat Euklidesa)

Dla prostej $l$ i punktu $B$ nienależącego do niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą $l$ i punkt $B$ dokładnie jedna prosta zawierająca $B$ i niemająca punktów wspólnych z $l$ .

Z aksjomatu równoległości wynika, że jeśli prosta $l$ i punkt $B$ leżą na jednej płaszczyźnie, to istnieje w tej płaszczyźnie dokładnie jedna prosta $l'$ przechodząca przez punkt $B$ i niemająca punktów wspólnych z $l$ . Oznacza to, że prosta $l'$ jest równoległa do prostej $l$ .

R1MsFF8pysz2o

Ilustracja przedstawia płaszczyznę oraz dwie równoległe do siebie proste. Jedna z nich została namalowana linią ciągłą i jest podpisana literą l. Druga z nich została namalowana linią przerywaną i przechodzi przez punkt B leżący na płaszczyźnie.

Zatem jeśli ograniczymy rozważania do jednej płaszczyzny, to możemy korzystać z wszystkich własności prostych równoległych znanych z planimetrii, na przykład, że odległość między prostymi równoległymi jest równa odległości jednej z tych prostych od dowolnego punktu drugiej prostej. Między innymi możemy stosować twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa oraz twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Zachodzi też własność, że jeżeli dwie proste są równoległe do trzeciej prostej, to są równoległe do siebie.

Przykład 1

Pokażemy, że krawędzie $A B$ i $E F$ sześcianu przedstawionego na rysunku zawarte są w prostych równoległych na płaszczyźnie wyznaczonej przez ścianę $A B F E$ .

RKNJCPWAzdzPc

Ilustracja przedstawia sześcian o wierzchołkach A B C D E F G H.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, krawędzie $A B$ i $E F$ leżą na płaszczyźnie $A B F E$ . Możemy skorzystac z własności planimetrii, więc wiemy, że ściana $A B F E$ sześcianu jest kwadratem i stąd boki $A B$ i $E F$ tego kwadratu są równoległe. Zatem boki te leżą na prostych równoległych zawierających te boki.

Na płaszczyźnie możliwe są tylko dwa położenia dwóch prostych: proste przecinające się (w jednym punkcie) albo proste równoległe, czyli takie, które nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Jeśli rozważamy dwie proste w przestrzeni, to mogą przeciąć się w jednym punkcie, pokrywać się lub nie mieć punktów wspólnych. W odróżnieniu od własności planimetrii proste, które nie mają punktów wspólnych nie muszą być równoległe.

Wykorzystujemy aksjomat równoległości do zdefiniowania prostych równoległych w przestrzeni. Mówimy, że dwie proste są równoległe, jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie i są równoległe na tej płaszczyźnie. Przyjmujemy, że równe proste są równoległe. Podobnie jak w planimetrii, jeżeli proste $k$ , $l$ są równoległe, to piszemy $k ∥ l$ .

Na rysunku czerwona prosta jest prostą równoległą do prostej $D C$ i przechodzącą przez punkt $B$ , leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $B$ , $C$ , $D$ . Niebieska prosta jest prostą równoległą do prostej $D C$ i przechodzącą przez punkt $A$ , leży ona na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $A$ , $C$ , $D$ .

R13CK91EeKf57

Ilustracja przedstawia dwie przecinające się pod kątem ostrym płaszczyzny. Na linii będącej linią przecięcia się płaszczyzn zaznaczono dwa punkty C oraz D. Na każdej z płaszczyzny zaznaczono linie równoległe do linii przecięcia się płaszczyzn, na jednej płaszczyźnie na linii równoległej zaznaczono punkt B, a na drugiej płaszczyźnie na linii równoległej zaznaczono punkt A. Na płaszczyznach zaznaczono następujące odcinki: na pierwszej BC oraz BD oraz na drugiej AC oraz AD.

Prosta równoległa do danej w przestrzeni

Własność: Prosta równoległa do danej w przestrzeni

Dla danej prostej $l$ i punktu B w przestrzeni istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez B i równoległa do prostej $l$ .

Dowód

Jeżeli punkt $B$ należy do prostej $l$ , to prosta równoległa do $l$ i przechodząca przez punkt $B$ pokrywa się z prostą $l$ .

Załóżmy, że proste $k$ , $m$ są równoległe do prostej $l$ i przechodzą przez punkt $B$ nienależący do $l$ . Niech $π_{1}$ będzie płaszczyzną zawierającą $k$ i $l$ , a $π_{2}$ niech będzie płaszczyzną zawierającą $m$ i $l$ . Każda z tych płaszczyzn zawiera prostą $l$ i punkt $B$ , ale istnieje tylko jedna taka płaszczyzna, więc $π_{1} = π_{2}$ . Z aksjomatu równoległości wynika, że wtedy $k = m$ .

Z powyższej własności wnioskujemy, że jeśli dwie różne proste są równoległe do trzeciej prostej, to nie mają punktów wspólnych.

Przykład 2

Pokażemy, że krawędzie $A B$ i $G H$ sześcianu przedstawionego na rysunku zawarte są w prostych równoległych, a krawędzie $A B$ i $G F$ zawarte są w prostych, które nie mają punktów wspólnych, ale nie są równoległe.

RKFNBSj7xKtm6

Rozwiązanie

Rzeczywiście, krawędzie $A B$ i $G H$ leżą na płaszczyźnie zawierającej przekrój $A B G H$ . Przekrój ten jest prostokątem, więc jego boki $A B$ i $G H$ są równoległe. Stąd proste zawierające te boki są równoległe.

Proste zawierające krawędzie $A B$ i $G F$ nie mają punktów wspólnych, bo leżą na płaszczyznach, które nie mają punktów wspólnych (wyznaczonych przez ściany $A B C D$ i $E F G H$ ). Nie istnieje natomiast płaszczyzna, która zawierałaby prostą $A B$ i prostą $G F$ jednocześnie.

Proste w przestrzeni, które nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe nazywamy prostymi skośnymi.

Proste równoległe do trzeciej prostej

Twierdzenie: Proste równoległe do trzeciej prostej

Jeżeli prosta $k$ jest równoległa do prostej $l$ , a prosta $l$ jest równoległa do prostej $m$ , to prosta $k$ jest równoległa do prostej $m$ .

Dowód

Zakładamy, że $k ∥ l$ i $l ∥ m$ . Chcemy pokazać, że $k ∥ m$ . Jeżeli $k$ , $l$ , $m$ leżą na jednej płaszczyźnie, to z własności planimetrii $k ∥ m$ . Załóżmy, że $k$ , $l$ , $m$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Niech $π_{1}$ będzie płaszczyzną poprowadzoną przez prostą $m$ i punkt $A$ leżący na prostej $k$ , a $π_{2}$ - płaszczyzną zawierającą prostą $l$ i punkt $A$ . Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostej $n$ . Wtedy punkt $A$ należy do prostej $n$ .

R7M0sTKCGJUCn

Ilustracja przedstawia dwie przecinające się pod kątem ostrym płaszczyzny, są one podpisane π1 oraz π2. Na linii k, która jest linią przecięcia się płaszczyzn zaznaczono punk A. Linia k należy do prostej n. Na płaszczyźnie π1 znajduje się linia m. Na płaszczyźnie π2 znajduje się linia l.

Ponieważ prosta $l$ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $π_{1}$ , to prosta $n$ jest równoległa do $l$ i zawiera punkt $A$ .

Z aksjomatu równoległości wynika, że może być tylko jedna taka prosta, więc $k = n$ .

Z drugiej strony, prosta $m$ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $π_{2}$ , więc prosta $n$ jest równoległa do $m$ .

Stąd $k ∥ m$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie odpowiedz na pytanie w Poleceniu 2.

R19JR684RNvX4

Polecenie 2

R1W547vUGX40Z

Proste skośne

Przykładem stosowania prostych skośnych w życiu codziennym jest planowanie torów lotów samolotowych. Tory lotów można zaobserwować czasami na pogodnym niebie, można wtedy odnieść wrażenie, że tory te przecinają się. Aby uniknąć kolizji samoloty latają na różnych wysokościach.

R1FmpMN5b1hEG

Ilustracja przedstawia niebo oraz zachód słońca. Na niebie znajdują się ślady samolotów, które są prostymi. Proste te przecinają się. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W $2019$ roku doszło do zdarzenia, w którym brały udział dwa samoloty. Pierwszy leciał z Sewilli do Tuluzy, drugi – z Santiago de Compostela na Majorkę. Z powodu nieuwagi kontrolera ruchu lotniczego oba samoloty znalazły się na tej samej wysokości i trasy obu samolotów przecinały się w tym samym momencie nad Pampeluną. Aby uniknąć wypadku, w ostatniej chwili jeden z samolotów poleciał w górę, a drugi obniżył wysokość.

Na płaszczyźnie proste, które nie mają punktów wspólnych są równoległe. W przestrzeni proste, które nie mają punktów wspólnych są równoległe tylko wtedy, gdy leżą na jednej płaszczyźnie. Istnieją w przestrzeni proste, które nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe. Wszystkie takie proste nazywamy skośnymi.

Przykład 3

Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup trójkątny. Sprawdzimy, które spośród prostych zawierających krawędzie tego graniastosłupa są skośne do prostej $A C$ .

RnugGoCcJTXfn

Ilustracja przedstawia graniastosłup trójkątny A B C D E F, gdzie wierzchołek D znajduje się nad B, wierzchołek E nad C, wierzchołek F nad A. Przez krawędź A C poprowadzona została prosta.

Rozwiązanie

Proste $A F$ , $A B$ , $B C$ i $C E$ mają punkt wspólny z prostą $A C$ .

Prosta $E F$ jest równoległa do $A C$ .

Pozostają trzy proste skośne z $A C$ , a mianowicie $D B$ , $D E$ i $D F$ .

Charakteryzacja prostych skośnych

Własność: Charakteryzacja prostych skośnych

Proste są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje płaszczyzna, na której leżą obie proste.

Dowód

Przeprowadzimy dowód obu implikacji nie wprost.

Jeżeli proste leżą w jednej płaszczyźnie, to przecinają się lub są równoległe, więc nie mogą być skośne.

Jeżeli proste nie są skośne, to przecinają się lub są równoległe, więc leżą na jednej płaszczyźnie.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup czworokątny. Wykażemy, że proste $B S$ i $D S$ są skośne do prostej $A C$ , ale nie są skośne do siebie.

RTKsvxNBAa9ey

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny A B C D S. Zaznaczono przekątną podstawy bryły A C i przedłużono ją tworząc prostą.

Rozwiązanie

Gdyby proste $B S$ i $A C$ nie były skośne, to leżałyby na jednej płaszczyźnie. Wtedy cztery punkty $B$ , $S$ , $A$ , $C$ leżałyby na jednej płaszczyźnie, w szczególności płaszczyzny $A B S$ i $B C S$ byłyby równe, a tak nie jest. Podobnie pokazujemy, że proste $D S$ i $A C$ są skośne.

Natomiast proste $B S$ i $D S$ nie są skośne, bo przecinają się w punkcie $S$ .

Jeżeli dwie różne proste są równoległe w przestrzeni, to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej jest stała niezależnie od wyboru tego punktu.

W przypadku prostych skośnych własność ta nie zachodzi, popatrzmy na przykład:

Przykład 5

Rozważmy ostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowy czworokątny, którego podstawa jest kwadratem o boku długości $1$ , a wysokość ma długość $2$ . W tym ostrosłupie proste $A C$ i $B S$ są skośne. Pokażemy, że odległość punktu $S$ od prostej $A C$ nie jest równa odległości punktu $B$ od prostej $A C$ .

RYmpVvdj6Rx1H

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny A B C D S. Zaznaczono wysokość bryły S E. Punkt E znajduje się na środku przekątnej A C. Kolorem pomarańczowym zaznaczono odcinek B S. Powstał trójkąt prostokątny B E S z kątem prostym przy wierzchołku E.

Rozwiązanie

Niech $E$ będzie spodkiem wysokości. Z własności rozważanego ostrosłupa wynika, że punkt $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Stąd prosta $S E$ jest prostopadła do prostej $A C$ i $|S E| = 2$ jest odległością punktu $S$ od prostej $A C$ .

Ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym, to prosta $B E$ jest prostopadła do $A C$ , a stąd $|B E| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest odległością punktu $B$ od prostej $A C$ .

Odległość prostych skośnych

Definicja: Odległość prostych skośnych

Najmniejsza odległość punktów jednej prostej od drugiej prostej.

Przykład 6

Wyznaczymy płaszczyzny równoległe, w których leżą skośne krawędzie sześcianu $A E$ i $B C$ oraz wyznaczymy odległość między tymi krawędziami.

Rnix6gZ0C1Yzr

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Przez odcinek B C poprowadzono pomarańczową prostą, natomiast przez odcinek A E poprowadzono zieloną prostą.

Rozwiązanie

Prowadzimy prostą równoległą do $B C$ przez punkt $A$ . Z własności sześcianu wynika, że prosta ta zawiera krawędź $A D$ . Podobnie prosta równoległa do $A E$ poprowadzona przez punkt $B$ zawiera krawędź $B F$ .

R7p0qUMNbFw1c

Płaszczyzna zawierająca krawędzie $A E$ i $A D$ zawiera ścianę $A D H E$ i jest ona równoległa do płaszczyzny wyznaczonej przez krawędzi $B C$ i $B F$ , która zawiera ścianę $B C G F$ .

Odległość między prostymi zawierającymi krawędzie $A E$ i $B C$ jest równa odległości między płaszczyznami zawierającymi ściany $A D H E$ i $B C G F$ , czyli jest równa długości krawędzi $A B$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją 3D. Możesz w dowolnej chwili wrócić i obejrzeć odtworzyć ją ponownie.

Re0OLQPD4lcAa

Polecenie 4

Przy oznaczeniach stosowanych w animacji 3D, wybierz poprawne odpowiedzi.

RyaCz6RxOVUtP

RzL9NytMYeEqP

RKRueQGbvQnEK

RbHZfX84oGIGI

Proste przecinające się

Wigwam ma szkielet zbudowany z prostych przecinających się w jednym punkcie (w przybliżeniu) w przestrzeni. Jest to przykład pęku prostych przechodzących przez jeden punkt.

R14hoJyk9Cdt0

Ilustracja przedstawia dwa namioty. Jego pale przecinają się w przestrzeni w jednym punkcie. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Innym przykładem pęku prostych może być światło rzucane przez lampę jak na rysunku. Źródło światła można traktować jak punkt, przez który przechodzą proste – promienie światła.

W przestrzeni mówimy, że dwie proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeśli dwie proste mają co najmniej dwa punkty wspólne, to są równe.

Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Własność: Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Dwie przecinające się proste wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Dowód

Załóżmy, że proste $l$ , $k$ przecinają się w punkcie $P$ . Wtedy istnieje punkt $A$ różny od $P$ należący do prostej $l$ oraz punkt $B$ różny od $P$ należący do prostej $k$ . Nie istnieje prosta przechodząca przez wszystkie trzy punkty $A$ , $B$ , $P$ . Stąd wynika, że przez punkty $A$ , $B$ , $P$ można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Na tej płaszczyźnie leży prosta $l$ , bo jej dwa punkty $A$ , $P$ należą do tej płaszczyzny. Podobnie, prosta $k$ leży na tej płaszczyźnie.

Z powyższej własności wynika, że do wyznaczenia wspólnej płaszczyzny prostych przecinających się wystarczy znać punkt przecięcia prostych i po jednym punkcie z każdej prostej różnym od punktu przecięcia. Można również wyznaczyć płaszczyznę znając dwa różne punkty na jednej prostej i jeden punkt na drugiej prostej.

Przez prostą $l$ i punkt $B$ nienależący do niej można poprowadzić tyle prostych, ile jest punktów na prostej $l$ .

R1Y36p1IGGFaM

Trzy proste parami przecinające się

Własność: Trzy proste parami przecinające się

Trzy różne proste parami przecinające się w trzech parami różnych punktach leżą na jednej płaszczyźnie.

Dowód

Załóżmy, że dane są proste $k$ , $l$ , $m$ parami przecinające się. Niech $A$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ , $l$ , $B$ punktem wspólnym prostych $k$ , $m$ , a $C$ – prostych $l$ , $m$ . Z założenia punkty $A$ , $B$ , $C$ są parami różne, więc prosta $A B = k$ , $A C = l$ , $B C = m$ .

Gdyby punkty $A$ , $B$ , $C$ leżały na jednej prostej, to mielibyśmy $k = l = m$ . Zatem punkty $A$ , $B$ , $C$ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę i $k$ , $l$ , $m$ leżą na tej płaszczyźnie.

Przykład 7

Wyznaczymy kąt jaki tworzy krawędź boczna ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego z przekątną podstawy, jeśli wiemy, że długość boku podstawy wynosi $3 \sqrt{2}$ , a długość wysokości tego ostrosłupa wynosi $3 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie $A B C D$ i wierzchołku w punkcie $F$ . Z własności takich ostrosłupów wynika, że wszystkie krawędzie boczne mają równe długości, a spodek wysokości jest punktem przecięcia przekątnych podstawy. Możemy więc wybrać dowolną krawędź, na przykład $C F$ , i wyznaczyć dla niej wymagany kąt.

R1FrCpcsHsl8v

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie F. Przez krawędzie C F i A F przeprowadzono płaszczyznę. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi CF do podstawy ostrosłupa. Zaznaczono również punkt E, który jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.

Zauważmy, że trzy proste: $C F$ zawierająca krawędź $C F$ , $A C$ zawierająca przekątną $A C$ oraz $E F$ zawierająca wysokość ostrosłupa, są parami przecinającymi się prostymi i punkty przecięcia $C$ , $E$ , $F$ są parami różne. Stąd proste te wyznaczają płaszczyznę, której przekrój z ostrosłupem tworzy trójkąt $A C F$ . Do dalszej analizy rozwiązania wystarczy rozważyć tylko trójkąt $A C F$ i jego własności znane z planimetrii.

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A C F$ . Z własności ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynika, że $F E$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $A C F$ , więc kąt $C E F$ jest kątem prostym, a odcinek $C E$ ma długość równą połowie długości przekątnej kwadratu $A B C D$ .

R1Fy8bOhI3rmq

Ilustracja przedstawia płaszczyznę wyciętą z wcześniej omawianego ostrosłupa. Na trójkącie A C F upuszczono wysokość z punktu F do podstawy tworząc punkt E. Kąt przy wierzchołku c ma miarę alfa.

Stąd $|F E| = 3 \sqrt{3}$ , $|C E| = \frac{3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 3$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie dostajemy $tg α = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ . Stąd $α = 60 °$ .

Polecenie 5

Uważnie obejrzyj animację 3D. Możesz w dowolnej chwili wrócić i obejrzeć ponownie.

Rq4JFBR6tth1O

Polecenie 6

Przy oznaczeniach sześcianu takich jak w animacji 3D wybierz prawdziwe odpowiedzi:

R8Ps7rLf2OBnk

RQPCRUviBa5ey

R8hSaP3vrJOa3

Polecenie 7

Przy oznaczeniach graniastosłupa takich jak w animacji 3D wybierz prawdziwe odpowiedzi:

RoH7zY0gO4cfV

RLt5TiVTdV6ny

R1Y3CJ4kqrky2

Dwie płaszczyzny w przestrzeni

płaszczyzny przecinające się

Definicja: płaszczyzny przecinające się

Dane są płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ . Mówimy, że płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ są przecinające się, gdy mają wspólną prostą, zwaną krawędzią.

R1HfhEajVrO27

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: poziomą π1 oraz pionową π2. Płaszczyzny przecinają się a miejsce ich przecięcia zostało zaznaczone i podpisane: krawędź.

Przykład 8

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ . Wskażemy płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną $A D H E$ .

RYpyvM30lxUxH

Grafika przedstawia sześcian o wierzchołkach dolnej podstawy: A, B, C, D i górnej podstawy E, F, G oraz H.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną zawierającą ścianę $A D H E$ , to: $A B C D$ , $E F G H$ , $A B F E$ , $D C G H$ .

Przykład 9

Obliczymy miarę kąta $α$ pomiędzy płaszczyznami zawierającymi ściany $A D S$ i $A B C D$ w ostrosłupie prawidłowym czworokątnymostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wymiarach, jak na rysunku.

R13EZTv0aBVSS

Grafika przedstawia ostrosłup , w którego podstawie znajduje się kwadrat o boku a. Wierzchołki podstawy to A, B, C oraz D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. W ścianie ADS zaznaczono wysokość, prostopadle do boku AD. Wysokość ta ma długość dwa a. Miejsce przecięcia się wysokości odcinkiem AD zaznaczono literą E. Z punktu E poprowadzono linię równoległą do krawędzi podstawy i w miejscu , gdzie linia ta przecina się z krawędzią podstawy podpisano F. Kąt SEF jest podpisany literą alfa.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia miary kąta $α$ wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RVGX7tO8FGPOq

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna ma długość 2a. Krótsza przyprostokątna ma długość 12a. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną podpisano literą alfa

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej cosinus, mamy, że:

$\cos α = \frac{\frac{1}{2} a}{2 a} = \frac{1}{4}$

Jeżeli wykorzystamy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to odczytujemy, że $α \approx 75 °$ .

Prosta równoległa do płaszczyzny

Definicja: Prosta równoległa do płaszczyzny

Dana jest płaszczyzna $π$ oraz proste $k$ i $l$ . Mówimy, że prosta i płaszczyzna są równoległe, gdy nie mają punktów wspólnych (płaszczyzna $π$ i prosta $k$ ), lub prosta zawarta jest w tej płaszczyźnie (płaszczyzna $π$ i prosta $l$ ).

R5R271Ge2RXzg

Grafika przedstawia dwie proste k oraz l i płaszczyznę π. Prosta k jest pozioma i znajduje się nad płaszczyzną π. Prosta l jest ukośna i leży na płaszczyźnie π.

Ważne!

Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, wówczas możemy wyznaczyć odległośćodległość między punktamiodległość między tą prostą a płaszczyzną. Gdy prosta jest zawarta w danej płaszczyźnie, to odległość tej prostej od płaszczyzny wynosi $0$ .

Przykład 10

Dany jest prostopadłościan $A B C D A' B' C' D'$ . Wskażemy wszystkie proste, które zawierają krawędzie prostopadłościanu i są równoległe do płaszczyzny $A D D' A'$ .

R1P5tvVWbDrAJ

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C D, a wierzchołki górnej podstawy to A', B', C', D'. Ściana A, A', D, D' jest częścią płaszczyzny.

Rozwiązanie:

Jeżeli wykorzystamy definicję prostej równoległej do płaszczyzny, prostymi równoległymi do płaszczyzny $A D D' A'$ , zawierającymi krawędzie prostopadłościanu są proste:

zawarte w tej płaszczyźnie: $A D$ , $A A'$ , $A' D'$ , $D D'$ ,

nie należące do tej płaszczyzny: $B C$ , $B B'$ , $B' C'$ , $C C'$ .

Przykład 11

Dany jest prostopadłościan $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Obliczymy odległości prostych zawierających krawędzie tego prostopadłościanu, równoległych do płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ , nienależących do tej płaszczyzny, jeżeli krawędzie prostopadłościanu mają długości: $|A B| = 2 \sqrt{2}$ , $|B C| = 4$ , $|C C_{1}| = 6$ .

Rozwiązanie

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R16itOFmXI85P

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C, D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu to: A1, B1, C1, D1. Krawędź AB ma długość 22. Krawędź BC ma długość 4. Krawędź CC1 ma długość sześć. Wierzchołki B, D, B1 oraz D1 wyznaczają płaszczyznę. Odcinek BD popisano literą x. Z punktu A poprowadzono linię prostopadle do płaszczyzny i podpisano ją literą d.

Zauważmy, że tylko proste $A A_{1}$ oraz $C C_{1}$ zawierają krawędzie tego prostopadłościanu, które są równoległe do płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ i nie należą do tej płaszczyzny.

Odległości tych prostych od płaszczyzny $B B_{1} D_{1} D$ są takie same. Niech $d$ będzie szukaną odległością.

Wówczas:

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2}$

${|A C|}^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} + 4^{2} = 8 + 16 = 24$

$|A C| = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Zatem $x = 2 \sqrt{6}$ .

Pole trójkąta $A B D$ jest równe:

$P = \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4}{2}$ oraz

$P = \frac{2 \sqrt{6} \cdot d}{2}$ .

Wobec tego:

$\frac{2 \sqrt{6} \cdot d}{2} = \frac{2 \sqrt{2} \cdot 4}{2}$

$2 \sqrt{6} \cdot d = 8 \sqrt{2}$

$d = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Polecenie 8

Zapoznaj się animację 3D, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1HN7AP3OLSz5

Polecenie 9

Dany jest sześcian $A B C D A' B' C' D'$ , którego krawędź ma długość $4 \sqrt{2}$ .

R3hjHi0SjRo5D

Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to A', B', C', D'. Wysokość prostopadłościanu opisano literą d. Krawędź podstawy AB ma długość 42.

Oblicz odległość:

prostej $A' D'$ od płaszczyzny $A B C D$ ,
prostej $B' C'$ od płaszczyzny $B C D' A'$ ,
prostej $A O'$ (gdzie $O'$ jest punktem przecięcia przekątnych górnej podstawy sześcianu) od płaszczyzny $D B C'$ .

Odległość $d$ prostej $A' D'$ od płaszczyzny $A B C D$ jest równa długości krawędzi sześcianu.
R19TMB8tbxGiw
Zatem:
$d = 4 \sqrt{2}$ .
Odległość $d$ prostej $B' C'$ od płaszczyzny $B C D' A'$ jest równa połowie długości przekątnej ściany sześcianu.
Ru7tdcNQ4E4YD
Grafika przedstawia prostopadłościan. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy to $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ .. Przez krawędź $B'$ $C'$ przechodzi prosta, w taki sposób, że krawędź ta zawiera się w tej prostej. Od punktu A do punktu $B'$ zaznaczono przekątną ściany bocznej i podpisano ją literą d. Punkty BC $A'$ $D'$ wyznaczają płaszczyznę. Która ma jeden punkt wspólny z przekątną d.
Zatem:
$d = \frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 4$ .
Odległość $d$ prostej $A O'$ (gdzie $O'$ jest punktem przecięcia przekątnych górnej podstawy sześcianu) od płaszczyzny $D B C'$ jest równa $\frac{1}{3}$ długości przekątnej sześcianu.
RDBVLhKtYoKC5
Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy opisano: $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $<mi. W obu podstawach zostały narysowane ich przekątne, punkt przecięcia się przekątnych w dolnej podstawie podpisano O, a w górnej podstawie O' . Punkty B, D oraz C' tworzą trójkąt, a punkty O , A' stanowią wysokość trójkąta. Przez punkty A oraz O' przechodzi prosta. Wewnątrz sześcianu narysowano linię d, która łączy prostą przechodzącą przez punkty A i O' oraz wysokość trójkąta B, D C' .$
Zatem:
$d = \frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

Ćwiczenie 1

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych równoległych do $l$ , do których należy przynajmniej jeden wierzchołek sześcianu, jeżeli

R1XHTzQr3X9mn

R9cT8vzXrN9kS

RyNb8XzAitUOK

R1XHTzQr3X9mn

R9cT8vzXrN9kS

RyNb8XzAitUOK

Ćwiczenie 2

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych równoległych do $l$ , do których należą dwa wierzchołki sześcianu, jeżeli

RJiX452PL2M88

R10fhAB1BfPkf

R16u1icOSXFjl

RJiX452PL2M88

R10fhAB1BfPkf

R16u1icOSXFjl

Ćwiczenie 3

Na każdym z sześcianów zaznaczono na czerwono trzy punkty, przez które poprowadzono płaszczyznę. Podane wielokąty przedstawiają przekroje podanych sześcianów wybranymi płaszczyznami. Dopasuj przekrój do sześcianu i zaznaczonych na nim punktów.

RtCwyBSwAbaGu

Ilustracja przedstawia sześć sześcianów podpisanych literami A B C D E F. Pierwszy z nich jest podpisany literą A, na dwóch sąsiadujących krawędziach jego górnej podstawy oraz na krawędzi bocznej pomiędzy tymi krawędziami podstaw zaznaczono punkty. W drugim sześcianie, podpisanym literą B, na dwóch sąsiadujących krawędziach jego górnej podstawy oraz na wierzchołku dolnej podstawy znajdującym się pomiędzy tymi krawędziami podstaw zaznaczono punkty. W trzecim sześcianie, który podpisano literą C również zaznaczono trzy punkty, dwa z nich lezą na przeciwległych krawędziach górnej podstawy, a trzeci leży na bezpośrednio pod jednym z punktów z tym, że na krawędzi dolnej podstawy. W czwartym sześcianie podpisanym literą D zaznaczono punkty w dwóch sąsiadujących wierzchołkach górnej podstawy oraz naprzeciwległym wierzchołku dolnej podstawy. W sześcianie podpisanym literą E na dwóch sąsiadujących krawędziach jego górnej podstawy zaznaczono punkty, a trzeci punkt zaznaczono w wierzchołku dolnej podstawy, który leży naprzeciw wierzchołka znajdującego się pomiędzy krawędziami z punktami. W sześcianie podpisanym literą F punkty zaznaczono w następujący sposób: dwa punkty zaznaczono na dwóch sąsiadujących krawędziach jego górnej podstawy, a trzeci na krawędzi dolnej podstawy leżącej naprzeciw jednego z punktów górnej podstawy.

RL5nmWykranWZ

R1ATC9H7SmAGm

RVTObLnV8YBkC2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wykaż, że jeśli dwie różne proste $l$ , $l'$ są równoległe do trzeciej prostej, to nie mają punktów wspólnych.

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli różne proste $l$ , $l'$ są równoległe, to dowolna płaszczyzna zawierająca $l$ i różna od wspólnej płaszczyzny prostych $l$ , $l'$ nie ma punktów wspólnych z $l'$ .

Załóżmy, że płaszczyzna $π$ zawiera prostą $l$ . Gdyby prosta $l'$ miała punkt wspólny z $π$ to przez ten punkt można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do $l$ , czyli prostą $l'$ . Stąd płaszczyzna $π$ jest płaszczyzną wspólną obu prostych.

Ćwiczenie 7

Niech $l$ będzie dowolną prostą, która przebija płaszczyznę $π$ w punkcie $A$ . Wykaż, że pęk prostych równoległych do $l$ wyznaczony przez punkty płaszczyzny $π$ tworzy całą przestrzeń.

Niech $B$ będzie dowolnym punktem przestrzeni. Prowadzimy prostą $k$ równoległą do $l$ przechodzącą przez punkt $B$ . Z własności prostej równoległej do prostej przebijającej płaszczyznę wynika, że prosta $k$ przebija płaszczyznę $π$ . Stąd $k$ należy do pęku prostych równoległych do $l$ wyznaczonego przez punkty płaszczyzny $π$ .

Ćwiczenie 8

Z belki o ośmiu krawędziach, z których każde dwie sąsiednie są równoległe wycięto pochylony graniastosłup w taki sposób, że podstawy $A B C D E F G H$ i $A' B' C' D' E' F' G' H'$ są ośmiokątami foremnymi, a ściany boczne są równoległobokami.

RYNcfuifVAG8U

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochylony o podstawie ośmiokąta. Wierzchołki dolnej podstawy to: A B C D E F H G. Wierzchołki górnej podstawy to: A' B' C' D' E' F' G' H'.

Czy można jednym cięciem przejść przez dane $4$ punkty? Odpowiedź uzasadnij.

1. Dane $4$ punkty, to $A$ , $A'$ , $E'$ , $E$

2. Dane $4$ punkty, to $A$ , $B'$ , $C'$ , $D$

3. Dane $4$ punkty, to $A$ , $B'$ , $D'$ , $C$

1. Tak. Ponieważ sąsiednie krawędzie są równoległe, to $A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'} ∥ E E^{'}$ . Zatem proste $A A'$ , $E E'$ leżą w jednej płaszczyźnie. A skoro leżą w jednej płaszczyźnie, to można dokonać cięcia.

2. Tak. Ponieważ $A D ∥ B C ∥ B' C'$ , to proste $A D$ , $B' C'$ leżą w jednej płaszczyźnie. A skoro leżą w jednej płaszczyźnie, to można dokonać cięcia.

3. Nie. Ponieważ $B' D' ∥ B D ∥ A E$ , to punkty $A$ , $B'$ , $D'$ , $E$ leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $A$ , $E$ , $B'$ . Punkt $D$ do niej nie należy, gdyż leży na prostej $B D$ , która jest równoległa do $A E$ i wspólnie wyznaczają płaszczyznę podstawy, która w przecięciu z płaszczyzną $A E B'$ daje prostą $A E$ .

Ćwiczenie 9

Przez dwa wierzchołki sześcianu poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych skośnych do $l$ , które przechodzą przez dwa wierzchołki sześcianu, jeżeli:

RmdqC4sBPpDic

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D.

R1dDtUPy7wbWD

RP2YO9PJMF8pJ

RZCzk8eb5WN4p

Ćwiczenie 10

Przez dwa wierzchołki sześciościanu, powstałego poprzez sklejenie ścianami dwóch czworościanów foremnych poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych skośnych do $l$ , które przechodzą przez dwa wierzchołki tej bryły, jeżeli:

RdgwuehGrZOHD

Ilustracja przedstawia sześciościan A B C D E powstały przez złączenie dwóch czworościanów foremnych.

R1BP8nMaurH71

RvgMGlULBEAgX

Rs8qcRO4wtOHQ21

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Oceń czy podane proste są skośne, równoległe czy przecinające się. Przenieś odpowiednie określenia do każdej z podanych par.

R8xnYxKTYl9eS

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F M N O P Q R, gdzie wierzchołek M znajduje się nad A, wierzchołek N nad B, wierzchołek O nad C, wierzchołek P nad D, wierzchołek Q nad E, wierzchołek R nad F.

RJUNY9LUbNMdq

Ćwiczenie 13

Załóżmy, że proste $k$ , $l$ są skośne. Wykaż, że dowolna płaszczyzna $π$ zawierająca $k$ jeśli nie jest równoległa do $l$ , to przecina $l$ w dokładnie jednym punkcie.

Załóżmy, że płaszczyzna $π$ zawierająca $k$ przecina prostą $l$ w punkcie $A$ . Gdyby ta płaszczyzna miała jeszcze jeden punkt wspólny z $l$ , to cała prosta leżałaby na tej płaszczyźnie. Ale proste $k$ , $l$ są skośne więc nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie. Stąd $π$ przecina prostą $l$ tylko w punkcie $A$ .

Ćwiczenie 14

Załóżmy, że proste $k$ , $l$ są skośne i $A$ , $B$ są dowolnymi różnymi punktami na prostej $k$ . Wykaż, że płaszczyzna $π_{1}$ zawierająca $k$ i prostą $l'$ równoległą do $l$ poprowadzoną przez punkt $A$ jest równa płaszczyźnie $π_{2}$ zawierającej $k$ i prostą $l''$ równoległą do $l$ poprowadzoną przez punkt $B$ .

Ponieważ proste $l'$ i $l''$ są równoległe do prostej $l$ , to są równoległe do siebie, więc leżą w jednej płaszczyźnie $π$ . Na tej płaszczyźnie leżą też punkty $A$ i $B$ prostej $k$ . Stąd cała prosta $k$ leży na płaszczyźnie $π$ . Stąd $π_{1} = π = π_{2}$ .

Ćwiczenie 15

Basen olimpijski ma kształt prostopadłościanu z odciętą częścią jak na rysunku.

R1UR1UUoN7dFP

Ilustracja przedstawia prostopadłościan z odciętą częścią dolnej podstawy. Płaszczyzna cięcia jest prostokątem przechodzącym przez krótszą krawędź dolnej podstawy oraz środek naprzeciwległej krótszej ściany bocznej prostopadłościanu. Ścianami bocznymi bryły stał się trapez prostokątny o podstawie dłuższej podstawie A B oraz krótszej podstawie C D. Z drugiej strony ściana boczna jest również trapezem prostokątnym o dłuższej podstawie E F oraz krótszej podstawie G H. Przez odcinek A D poprowadzono pomarańczową prostą.

Długość basenu wynosi $50 m$ , szerokość $25 m$ , a głębokość w najpłytszym miejscu wynosi $2 m$ . Ponadto, tangens kąta między krawędziami $A D$ i $F G$ jest równy $0, 04$ . Wyznacz głębokość basenu w najgłębszym miejscu oraz wyznacz jego objętość w litrach.

Ściany $A B C D$ i $E F G H$ leżą w płaszczyznach równoległych zawierających podane krawędzie $A D$ i $F G$ , odpowiednio. Zatem kąt między tymi krawędziami jest równy kątowi między prostą $A D$ i prostą równoległą do $F G$ poprowadzoną przez punkt $D$ . Ta prosta jest równoległa do $B C$ . Niech $D'$ będzie punktem przecięcia tej prostej z $A B$ .

RgZj2r57WUyXU

Przy oznaczeniach z rysunku $tg α = 0, 04 = \frac{|A D'|}{|D D'|} = \frac{|A D'|}{|B C|} = \frac{|A D'|}{50}$ . Stąd $|A D'| = 50 \cdot 0, 04 = 2$ .

Ponieważ $B C D D'$ jest prostokątem, to $|B D'| = |C D| = 2$ . Ostatecznie największa głębokość basenu odpowiada długości $|A B| = 2 + 2 = 4$ , czyli $4$ metry.

Sposób 1.

R1J8swA7Z6spE

Objętość basenu jest sumą objętości prostopadłościanu o bokach długości $50 m$ , $25 m$ , $2 m$ oraz objętości bryły powstałej z przecięcia prostopadłościanu o bokach długości $50 m$ , $25 m$ , $2 m$ płaszczyzną przechodzącą przez przekątne jego przeciwległych ścian bocznych. Objętość tej bryły jest połową objętości prostopadłościanu. Ostatecznie, objętość basenu jest równa $V = 50 \cdot 25 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 25 \cdot 2 = 3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Sposób 2.

Objętość basenu jest równa objętości graniastosłupa o podstawie trapezu $A B C D$ i wysokości $25 m$ , czyli $V = \frac{2 + 4}{2} \cdot 50 \cdot 25 = 3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Ćwiczenie 16

Basen olimpijski ma kształt prostopadłościanu z odciętą częścią jak na rysunku.

R13nnGVbkfxAw

Długość basenu wynosi $50 m$ , szerokość $25 m$ , głębokość w najpłytszym miejscu wynosi $2 m$ a w najgłębszym - $4 m$ . Oblicz odległości między prostą zawierającą krawędź $A D$ i prostymi, zawierającymi krawędzie, skośnymi do niej.

Proste skośne do $A D$ , to $F G$ , $G H$ , $E F$ , $B F$ , $C G$ .

Rrb3aGPBk631t

Prosta $A D$ leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez ścianę $A B C D$ , natomiast proste $F G$ , $G H$ , $E F$ leżą w płaszczyźnie $E F G H$ równoległej do $A B C D$ . Zatem odległość prostej $A D$ od każdej z prostych $F G$ , $G H$ , $E F$ jest taka sama i jest równa odległości między ścianami $A B C D$ i $E F G H$ , czyli $25 m$ .

Prosta $C G$ leży w płaszczyźnie $C G C' G'$ równoległej do płaszczyzny $A E H D$ , natomiast prosta $B F$ leży w płaszczyźnie $B F B' F'$ równoległej do płaszczyzny $A E H D$ . Należy wyznaczyć odległości między tymi płaszczyznami.

RRnquvU8umLtt

Rozważmy równoległoboki $A D C' C$ i $A D B' B$ .

RIN3wXzfDEcNQ

Ilustracja przedstawia równoległobok A D B prim B. Na środku boku A B powstał punkt C prim i został połączony z punktem C znajdującym się na środku boku D B prim. Powstał odcinek B C który jest prostokątny do odcinka A B oraz trójkąt prostokątny C B C prim z kątem prostym w punkcie B. Z punktu C prim poprowadzono prostą styczną w punkcie S z prostą A D. Powstał trójkąt A S C prim.

Odległość płaszczyzny $C G C' G'$ od płaszczyzny $A E H D$ jest równa wysokości $C' S$ równoległoboku $A D C C'$ . Aby wyznaczyć długość tej wysokości zauważamy, że na mocy cechy $k k k$ trójkąty $C' B C$ i $C' S A$ są podobne – mają kąt prosty oraz $∢ C' A S = ∢ C C' B$ jako kąty odpowiadające.

Stąd ${|C' C|}^{2} = 2^{2} + 50^{2} = 2504$ , $|C' C| = \sqrt{2504}$ i stąd $\frac{|C' A|}{|C' C|} = \frac{|C' S|}{|B C|}$ , czyli

$|C' S| = \frac{2 \cdot 50}{\sqrt{2504}} = \frac{2 \cdot 50 \cdot \sqrt{2504}}{2504} = \frac{25 \cdot 2 \sqrt{626}}{626} = \frac{25 \sqrt{626}}{313}$ .

Odległość płaszczyzny $B F B' F'$ od płaszczyzny $A E H D$ jest równa podwojonej długości wysokości $C' S$ , czyli $\frac{50 \sqrt{626}}{313}$ .

Odległość prostej $A D$ od prostych $F G$ , $G H$ , $E F$ wynosi $25 m$ .

Odległość prostej $A D$ od prostej $C G$ wynosi $\frac{25 \sqrt{626}}{313}$ , czyli w przybliżeniu $1, 998 m$ .

Odległość prostej $A D$ od prostej $B F$ wynosi $\frac{50 \sqrt{626}}{313}$ , czyli w przybliżeniu $3, 997 m$ .

Ćwiczenie 17

Przez dwa wierzchołki ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych przecinających się z $l$ zawierających wierzchołek nienależący do $l$ jeżeli:

RoPJf72bu9L2Z

RUZu3s1t6Zhjm

RzO3GEik85u4O

Ćwiczenie 18

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym $A B C D E F S$ długość krawędzi podstawy wynosi $a$ , a długość krawędzi bocznej – $2 a$ .

R1TxqXfyugp1M

RWx3J6sb0bEqn

RyjP5gn935qpv

R9Nl18eRcjFda

R1jZRpYrLVVCi

Ćwiczenie 19

Na każdym z ostrosłupów prawidłowych sześciokątnych zaznaczono na czerwono trzy punkty, przez które poprowadzono płaszczyznę. Podane wielokąty przedstawiają przekroje podanych ostrosłupów wskazanymi płaszczyznami. Dopasuj przekrój do ostrosłupa i zaznaczonych na nim punktów.

R1NaprBXec0Z2

Ilustracja A. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krótszej przekątnej podstawy oraz na krawędzi ściany bocznej nad przekątną. Ilustracja B. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krótszej przekątnej podstawy oraz na krawędzi przeciwległej ściany bocznej. Ilustracja C. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na dłuższej przekątnej podstawy oraz jeden na krawędzi ściany bocznej umieszczonej na skos od przekątnej. Ilustracja D. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krawędzi podstawy oraz jeden na przeciwległej krawędzi ściany bocznej. Ilustracja E. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Wszystkie trzy umieszczone są na sąsiednich ścianach bocznych ostrosłupa.

R8OIVCd2aLKcg

R1ewAlRISXcdj

R1WRjIdnY9MgS2

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

Dany jest stożek o promieniu podstawy $r = 8$ i tworzącej o długości $l = 10$ . Niech $S$ będzie środkiem ciężkości przekroju stożka poprowadzonego przez średnicę podstawy i wierzchołek stożka. Przez podstawę stożka poprowadzono pęk prostych o wierzchołku $S$ . Narysuj figurę, która jest częścią wspólną stożka i tego pęku oraz wyznacz jej objętość.

Powstała figura jest sumą trzech stożków jak na rysunku.

R167KihmkUxb4

Ilustracja przedstawia figurę składająca się z trzech stożków. Wysokość upuszczono z wierzchołka do środka podstawy stożka. Na środku wysokości zaznaczono punkt S.

Rozwiązanie przedstawimy na przekroju stożka poprowadzonym przez średnicę podstawy i wierzchołek stożka.

R19LvZuNuAYkK

Ilustracja przedstawia trójkąt A C D. Z punktu D upuszczono wysokość na podstawę tworząc przy tym punkt B. Z wierzchołka A i C poprowadzono środkowe AE i C F. Wysokość oraz środkowe przecinają się w punkcie S. Połączono punkty F i E, na przecięciu z wysokością powstał punkt G.

Ponieważ $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $A C D$ (punkt przecięcia środkowych trójkąta), to leży na wysokości $D B$ stożka i dzieli wysokość w stosunku $2 : 1$ . Odcinki $A E$ i $C F$ są środkowymi tego trójkąta, więc odcinek $|F E| = \frac{|A C|}{2} = 8$ .

Długość wysokości wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa ${|B D|}^{2} = {|A D|}^{2} - {|A B|}^{2} = 100 - 64 = 36$ , więc $|B D| = 6$ .

Stąd $|B S| = \frac{6}{3} = 2$ . Na mocy podobieństwa trójkątów $A S C$ i $E S F$ (bo są to trójkąty równoramienne o równych kątach przy wierzchołku $S$ , więc odpowiednie kąty mają równe) mamy $|G S| = \frac{|B S|}{2} = 1$ .

Ostatecznie objętość powstałej figury wynosi $V = \frac{1}{3} π \cdot 8^{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} π \cdot 4^{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} π \cdot 4^{2} \cdot 3 = \frac{1}{3} π \cdot 192 = 64 π$ .

Ćwiczenie 22

Przez przekątną $A C$ podstawy prostopadłościanu i wierzchołek $D'$ poprowadzono płaszczyznę. Przekrój tą płaszczyzną jest trójkątem o dwóch bokach długości $2$ i $3$ (które są przekątnymi ścian bocznych) oraz kącie między nimi $α = 60 °$ . Oblicz objętość prostopadłościanu.

R19OVxsRJ0aDK

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A B C D A prim B prim C prim D prim. Przez przekątną AC oraz punkt D prim przeprowadzono płaszczyznę o kształcie trójkąta. W wierzchołku D prim zaznaczono kąt alfa.

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu $A A' = a$ , $A B = b$ , $A D = c$ . Ponieważ proste $A D'$ i $D D'$ przecinają się w punkcie $D'$ , to leżą w jednej płaszczyźnie, a stąd $A D'$ jest przekątną ściany $A A^{'} D^{'} D$ . Zatem ${|A D'|}^{2} = 2^{2} = a^{2} + c^{2}$ .

Podobnie, ${|C D'|}^{2} = 3^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Z twierdzenia cosinusów ${|A C|}^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60 ° = 4 + 9 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 7$ .

Ponadto, ${|A C|}^{2} = 7 = b^{2} + c^{2}$ . Dostajemy układ równań:

$\{\begin{cases} a^{2} + c^{2} = 4 \\ a^{2} + b^{2} = 9 \\ b^{2} + c^{2} = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b^{2} - c^{2} = 5 \\ b^{2} + c^{2} = 7 \end{cases}$ . Stąd $2 b^{2} = 12$ , $b^{2} = 6$ , więc $b = \sqrt{6}$ .

$a^{2} = 3$ , więc $a = \sqrt{3}$ .

$c^{2} = 1$ , więc $c = 1$ .

Ostatecznie objętość prostopadłościanu wynosi $a b c = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 23

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ , które nie leżą w jednej płaszczyźnie, są podobne w skali $k = 3$ oraz $D E ∥ A B$ i $E F ∥ B C$ . Wykaż, że proste $A D$ , $B E$ i $C F$ przecinają się w jednym punkcie.

Ra5tWZs7k6Il6

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły zbudowany z dwóch różnych trójkątów. A B C oraz D EF.

Ponieważ $D E ∥ A B$ , to punkty $A$ , $B$ , $D$ , $E$ leżą w jednej płaszczyźnie, więc proste $A D$ i $B E$ leżą w jednej płaszczyźnie. Ponadto $|A B| > |D E|$ , więc czworokąt $A B D E$ nie jest równoległobokiem, a stąd proste $A D$ i $B E$ nie są równoległe, więc przecinają się w pewnym punkcie $S$ . Podobne rozumowanie prowadzi do wniosku, że proste $C F$ i $E B$ przecinają się w pewnym punkcie $S'$ . Z twierdzenia Talesa zastosowanego dla kąta $A S B$ wynika, że

$3 = \frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|S B|}{|S E|} = \frac{|S E| + |E B|}{|S E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S E|}$ .

Analogicznie,

$3 = \frac{|B C|}{|E F|} = \frac{|S' B|}{|S' E|} = \frac{|S' E| + |E B|}{|S' E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S' E|}$ .

Stąd $\frac{|E B|}{|S E|} = \frac{|E B|}{|S' E|}$ i $|S E| = |S' E|$ . Ponieważ punkty $S$ i $S'$ leżą na prostej $B E$ po tej samej stronie punktu $E$ , to $S = S'$ .

Ćwiczenie 24

Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o $1 m$ większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi $\frac{2}{3}$ objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

Na rysunku przedstawiony jest przekrój osiowy kapsuły.

R1Ip5yxbzgZxL

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość o mierze r+1 na krawędź podstawy tworząc punkt D. Z punktu D zatoczono łuk A B o promieniu r.

Objętość stożka $V_{s} = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) = \frac{2}{3} V_{k}$ , gdzie $V_{k}$ oznacza objętość kapsuły.

Ponadto, $V_{k} = V_{s} + V_{p} = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) + \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3}$ , gdzie $V_{p}$ oznacza objętość półkuli.

Zatem $V_{k} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) + \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3}$

$\frac{1}{2} π r^{2} \cdot (r + 1) - \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) - \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3} = 0$

$\frac{1}{6} π r^{2} \cdot (r + 1 - 4 r) = 0$

$1 - 3 r = 0$

$r = \frac{1}{3}$

Zatem $V_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} π \cdot (\frac{1}{3} + 1) = \frac{2}{27} π [m^{3}]$ .

RuPkNyXL9mY4I1

Ćwiczenie 25

Ćwiczenie 26

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

R13PMQc3fZO4o

Ilustracja przedstawia graniastosłup sześciokątny prawidłowy, w którym wierzchołki dolnej podstawy opisano: A, B, C, D, E, F , natomiast wierzchołki górnej podstawy opisano A', B', C', D', E', F'.

R15G9gaiikGof

Ćwiczenie 27

RNENEwZGqZykk

R11J0SvfTi4FZ

Rysd7Gz5vQOQk2

Ćwiczenie 28

R17o4brsLUWkY2

Ćwiczenie 29

Ćwiczenie 30

RuhjeJE1wSAMa

R13V79Vj8sItk

Rj0NbYDpFA6Ap3

Ćwiczenie 31

Ćwiczenie 32

Dany jest czworościan $A B C D$ i punkty $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ leżące odpowiednio na krawędziach $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ tak, jak na poniższym rysunku. Oblicz wartość parametru $m$ , dla której płaszczyzny $A B C^{'}$ , $B C D^{'}$ , $C D A^{'}$ , $D A B^{'}$ przecinają się w jednym punkcie.

R1eriMJ2SrxOO

Grafika przedstawia czworościan, wierzchołki czworościanu opisano jako A, B, C D. na odcinku AB znajduje się punkt A', przy czym odległość A A' wynosi m, a odległość B A' wynosi 4-m. Na odcinku BC znajduje się punkt B', przy czym odległość BB' wynosi 2m, a odległość CB' wynosi 4-2m. Na odcinku CD znajduje się punkt C' przy czym odległość CC' wynosi 4-m, a odległość DC' wynosi 2m. Na odcinku AD znajduje się punkt D', przy czym odległość AD' wynosi 5, a odległość DD' wynosi 3.

Jeżeli wykorzystamy twierdzenie Cevy, to płaszczyzny $A B C^{'}$ , $B C D^{'}$ , $C D A^{'}$ , $D A B^{'}$ przecinają się w jednym punkcie wtedy, gdy $\frac{A A^{'}}{A^{'} B} \cdot \frac{B B^{'}}{B^{'} C} \cdot \frac{C C^{'}}{C^{'} D} \cdot \frac{D D^{'}}{D^{'} A} = 1$ .

Zatem stosując oznaczenia z rysunku, do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{m}{4 - m} \cdot \frac{2 m}{4 - 2 m} \cdot \frac{4 - m}{2 m} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{3 m}{20 - 10 m} = 1$

$3 m = 20 - 10 m$

$13 m = 20$

$m = \frac{20}{13}$ .

Ćwiczenie 33

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ .

RAg9LD6cKRijE

Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy opisano: E, F, G, H. Wierzchołki B, D, F, H tworzą płaszczyznę, której krawędziami są przekątne podstaw i krawędzie ścian bocznych.

R1GigVlrvdWMc

Ćwiczenie 34

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R1AshlqzZ85MN

Grafika przedstawia prostopadłościan, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, a wierzchołki górnej podstawy opisano: E, F, G, H.

RpRglXL75D43P

Ćwiczenie 35

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

RNMMwq3Rzt5cD

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, a wierzchołki górnej podstawy opisano: D, E, F.

R1QFGy7zhbnx1

Ćwiczenie 36

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość $6$ .

RUkAPlF6GKy05

Grafika przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D, E, F a wierzchołki górnej podstawy opisano: A', B', C', D', E', F'.

R1E9ZbC4H4f8Q

R13ziEsLxA3eq2

Ćwiczenie 37

Ćwiczenie 38

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D A' B' C' D'$ o krawędzi długości $3 \sqrt{2}$ .

R15SgXMrFwglF

Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy opisano: A', B', C', D', <mi. Wierzchołki B, C, A' oraz D' tworzą płaszczyznę, której krawędzie to przekątne ścian bocznych oraz krawędzie dolnej i górnej podstawy.

R1dfxe1qMRBah

Ćwiczenie 39

Dany jest sześcian $A B C D A' B' C' D'$ , którego krawędź ma długość $a$ . Wykaż, że odległość $d$ prostej $A O'$ , gdzie $O'$ jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $A' B' C' D'$ , od płaszczyzny $D B C'$ wynosi $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Narysujmy sześcian i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RDBVLhKtYoKC5

Grafika przedstawia sześcian, którego wierzchołki dolnej podstawy opisano A, B, C, D a wierzchołki górnej podstawy opisano: A', B', C', D', <mi. W obu podstawach zostały narysowane ich przekątne, punkt przecięcia się przekątnych w dolnej podstawie podpisano O, a w górnej podstawie O'. Punkty B, D oraz C' tworzą trójkąt, a punkty O ,A'stanowią wysokość trójkąta. Przez punkty A oraz O' przechodzi prosta. Wewnątrz sześcianu narysowano linię d, która łączy prostą przechodzącą przez punkty A i O' oraz wysokość trójkąta B, D C'.

Zauważmy, że czworokąt $A O C' O'$ jest równoległobokiem.

Wiadomo, że $a$ jest długością krawędzi sześcianu.

Zatem ${|A O'|}^{2} = a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

Wobec tego $|A O'| = \sqrt{\frac{3}{2} a^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Pole równoległoboku $A O C O'$ wynosi:

$P = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2}$

oraz

$P = \frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot d$ .

Zatem:

$a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot d$ .

Wobec tego:

$d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Słownik

przekrój bryły płaszczyzną (przekrój płaszczyznowy)

część wspólna bryły i płaszczyzny

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny

płaszczyzny równoległe

płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych

ostrosłup prawidłowy czworokątny

ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat

odległość między punktami

długość najkrótszej krzywej łączącej dane punkty

2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

M_R_W23_M1 Proste i płaszczyzny w przestrzeni