W tym materiale wykorzystamy definicję kąta między prostą a płaszczyznąkąt pomiędzy prostą a płaszczyznąkąta między prostą a płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów jakie możemy wykreślić w walcu pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.

Zapoznaj się z apletem Geogebry i zaznacz odpowiednio kąty:

  • kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;

  • kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;

  • kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;

  • kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.

R1MLH7nfX3mKJ
Aplet przedstawia walec z zaznaczonymi dwoma średnicami podstaw. Pierwsza dolna podstawa posiada środek w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz średnice A B. Druga górna podstawa, posiada środek w punkcie O indeks dolny dwa koniec indeksu oraz średnicę D C. Poniżej walca znajduje się 10 interaktywnych opcji umożliwiających utworzenie wszystkich możliwych kątów między prostą a płaszczyzną walca. Opcja pierwsza. Przekrój osiowy. Opcja druga. Tworząca walca B C. Opcja trzecia. Średnica walca. Opcja czwarta. Odcinek łączący brzeg podstawę ze środkiem drugiej podstawy. Opcja piąta. Kąt nachylenia przekątnej przekroju do płaszczyzny podstawy. Opcja szósta. Kąt między przekątną przekroju i wysokością walca. Opcja siódma. Kąt między odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy i płaszczyzną podstawy. Opcja ósma. Wysokość walca O indeks dolny jeden koniec indeksu O indeks dolny dwa koniec indeksu. Opcja dziewiąta. Promień walca. Opcja dziesiąta. Przekątna przekroju.

Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadań.

Przykład 1

Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi 243 cm2. Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę 30°. Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R18ckhiHndtOe

H=DA - długość wysokości walca;
2r=AB - długość średnicy podstawy walca.

Objętość walca obliczymy ze wzoru Vw=πr2H.

Z warunków zadania otrzymujemy zależności 2r·H=243H2r=tg30°.

Wyznaczając z drugiej zależności H=2r·33 i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy 2r·2r·33=243.

Wynika stąd, że r=32H=26. Ostatecznie objętość walca wynosi Vw=π322·26 stąd Vw=366π cm3.

Przykład 2

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości k i tworzy ona z wysokością walca kąt miary α. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt ABCD przedstawia powierzchnię boczną walca.

Re3snuLzRKKsm

Przyjmijmy oznaczenia:
H=AD - długość wysokości walca;
2πr=AB - obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie r oznacza długość promienia podstawy walca;
k=DB - długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu;
α=ADB - miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.

Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru P=2πrr+H. Zauważmy, że z trójkąta ABD otrzymujemy zależności: Hk=cosα2πrk=sinα, stąd H=kcosαr=ksinα2π.

Wynika stąd, że P=ksinαksinα2π+kcosα=k2sin2α2π+sinαcosα.

Przykład 3

Wysokość walca ma długość 8 cm. Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RPoZO91yUMWrB

H=BC=8 - długość wysokości;
AB=2r - długość średnicy podstawy walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru Pb=2πrH.

Przypadek 1

Zauważmy, że trójkąt BEC jest trójkątem równobocznym, zatem EB=AE=8AEB=120°. Z trójkąta AEB i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność 2r2=82+82-2·8·8·cos120°, dalej mamy 4r2=128-128·-12, stąd r=43.

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem Pb=2π·43·8=643π cm2.

Przypadek 2

Zauważmy, że trójkąt AEB jest trójkątem równobocznym, zatem BE=CE=2rBEC=120°. Z trójkąta BEC i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność 82=2r2+2r2-2·2r·2r·cos120°, dalej mamy 64=8r2-8r2·-12, stąd r=433.

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem Pb=2π·433·8=643π3 cm2.

Przykład 4

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 12π cm2, a pole jego powierzchni bocznej wynosi 8π cm2. Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:

R1FWwCaapzANw

H=BC - długość wysokości walca;
2r=AB - długość średnicy podstawy walca;
α=CAB - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy 2πrr+H=12π2πrH=8π. Wyznaczmy z drugiej zależności H=4r i podstawmy odpowiednio do równania 2πrr+H=12π. Stąd mamy 2rr+4r=12.

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r:r2=2, zatem r=2. Wynika stąd, że H=22. Zauważmy, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem α=45°.

Przykład 5

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy 2:3. Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

Rox1XGU2ha40I

H=BC - długość wysokości walca;
2r=AB - długość średnicy podstawy walca;
α=CAB - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy zależność PbP=23, gdzie Pb oznacza pole powierzchni bocznej walca i P pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem 2πrH2πrr+H=23. Stąd po uproszczeniu Hr+H=23. Należy wyznaczyć tangens kąta α, zatem z trójkąta ABC mamy tgα=H2r. Zauważmy, że r+HH=32, stąd rH+1=32, stąd rH=12, dalej mamy 2rH=1, a stąd H2r=1. Ostatecznie tgα=1.

Słownik

przekrój osiowy walca
przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną
kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę