Galeria zdjęć interaktywnych
Rozważmy odcinek łączący brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy. W galerii zdjęć interaktywnych przedstawiono metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca oraz metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a wysokością walca. Zapoznaj się z tymi technikami i wykonaj polecenia umieszczone pod galerią.
W walcu poprowadzono odcinek łączący brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy. Wyznacz cosinus kąta zawartego pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca, jeśli długość wysokości walca wynosi , zaś długość promienia podstawy walca wynosi .
Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.
![Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi środkami boków A D w punkcie O oraz boku B C w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu. Oba punkty wyznaczające środki boków prostokąta zostały połączone i tworzą odcinek o długości O O indeks dolny jeden koniec indeksu o długości H. Wierzchołek A został połączony z punktem O indeks dolny jeden koniec indeksu tworząc trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Odcinek O A ma długość r, natomiast odcinek A O indeks dolny jeden koniec indeksu jest nachylony do odcinka O A pod kątem alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rsqcw7wSwIF8U/1616069011/1AOgUna8gVOQBa8IRrsmqNycRUI71CAq.png)
Przyjmijmy oznaczenia:
- długość wysokości walca;
- długość promienia podstawy walca;
- kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny podstawy walca.
Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego mamy zależność .
Do wyznaczenia długości odcinka wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Mamy zatem , stąd , zatem . Wyznaczając wartość cosinusa kąta otrzymujesz .
Wysokość walca ma długość . Oblicz pole powierzchni bocznej walca wiedząc, że , gdzie kąt jest kątem zawartym pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy i wysokością walca.
Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.
![Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi środkami boków A D w punkcie O oraz boku B C w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu. Oba punkty wyznaczające środki boków prostokąta zostały połączone i tworzą odcinek o długości O O indeks dolny jeden koniec indeksu o długości H. Wierzchołek A został połączony z punktem O indeks dolny jeden koniec indeksu tworząc trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Odcinek O A ma długość r, natomiast odcinek A O indeks dolny jeden koniec indeksu jest nachylony do odcinka O O indeks dolny jeden koniec indeksu pod kątem alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1S0WILOURHBE/1616069014/1MCFVNFGr4wHlSd8cfcU0SnPJmpLZiVX.png)
Przyjmijmy oznaczenia:
- długość wysokości walca;
- długość promienia podstawy walca;
- kąt pomiędzy odcinkiem a wysokością walca.
Pole powierzchni bocznej walca wyznaczymy ze wzoru .
Z warunków zadania mamy i . Zauważmy, że z trójkąta mamy . Zatem prawdziwa jest zależność , stąd . Dla rozważanego trójkąta wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa , po podstawieniu otrzymujemy . Wynika stąd, że i . Zatem pole boczne walca ma wartość .