Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Rozważmy odcinek łączący brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy. W galerii zdjęć interaktywnych przedstawiono metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca oraz metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a wysokością walca. Zapoznaj się z tymi technikami i wykonaj polecenia umieszczone pod galerią.

RV2v0heIXExRd

Ilustracja interaktywna numer jeden. Rozważmy odcinek łączący dowolny punkt okręgu podstawy i środek drugiej podstawy. Zastanówmy się jak zaznaczyć kąt pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca. Zgodnie z definicją kąt pomiędzy płaszczyzną a prostą, to kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Zrzutujmy zatem prostopadle odcinek

O_{1} A

na dolną podstawę walca. Ilustracja przedstawia walec z zaznaczonymi środkami obu podstaw. Środek dolnej podstawy został oznaczony jako O Środek górnej podstawy został oznaczony jako O indeks dolny jeden koniec indeksu i jest połączony z punktem A znajdującym się na okręgu dolnej podstawy walca.

Rt93wEj9dIRoc

Ilustracja interaktywna numer dwa. Rzutem prostokątnym odcinka

O_{1} A

na dolną płaszczyznę podstawy walca jest odcinek

A O

. Ilustracja przedstawia walec z zaznaczonymi środkami obu podstaw. Środek dolnej podstawy został oznaczony jako O i jest połączony z punktem A znajdującym się na okręgu dolnej podstawy. Środek górnej podstawy został oznaczony jako O indeks dolny jeden koniec indeksu i także jest połączony z punktem A. Oba środki podstaw są ze sobą połączone. Powstał trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu.

RXTWO2A4zasdh

R1d0U1UUoYtaX

RhhUrCZRkFCwQ

Ilustracja interaktywna numer pięć. Zauważ, że oba te kąty możemy zaznaczyć odpowiednio kreśląc tylko przekrój osiowy walca. Ilustracja przedstawia trzy przekroje tego samego walca z zaznaczonym trójkątem O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Kąt pomiędzy rozważanym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca. Na ilustracji zaznaczono kąt przy wierzchołku A. Kąt pomiędzy rozważanym odcinkiem a wysokością walca. Na ilustracji zaznaczono kąt przy wierzchołku O indeks dolny jeden koniec indeksu. Zauważ, że miara kąta

A O_{1} O

jest równa mierze kąta

O_{1} A B

. Na przekroju został zaznaczony punkt B znajdujący się nad wierzchołkiem A. Powstał trójkąt A B O indeks dolny jeden koniec indeksu. Trójkąt ten jest taki sam jak trójkąt O A O indeks dolny jeden koniec indeksu.

Polecenie 2

W walcu poprowadzono odcinek łączący brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy. Wyznacz cosinus kąta zawartego pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca, jeśli długość wysokości walca wynosi $15 cm$ , zaś długość promienia podstawy walca wynosi $8 cm$ .

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

Rsqcw7wSwIF8U

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi środkami boków A D w punkcie O oraz boku B C w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu. Oba punkty wyznaczające środki boków prostokąta zostały połączone i tworzą odcinek o długości O O indeks dolny jeden koniec indeksu o długości H. Wierzchołek A został połączony z punktem O indeks dolny jeden koniec indeksu tworząc trójkąt prostokątny O A O indeks dolny jeden koniec indeksu. Odcinek O A ma długość r, natomiast odcinek A O indeks dolny jeden koniec indeksu jest nachylony do odcinka O A pod kątem alfa.

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt nachylenia odcinka $A O_{1}$ do płaszczyzny podstawy walca.

Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego $O A O_{1}$ mamy zależność $\cos α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ .

Do wyznaczenia długości odcinka $A O_{1}$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Mamy zatem ${|A O_{1}|}^{2} = r^{2} + H^{2}$ , stąd ${|A O_{1}|}^{2} = 8^{2} + 15^{2}$ , zatem $|A O_{1}| = 17$ . Wyznaczając wartość cosinusa kąta $O A O_{1}$ otrzymujesz $\cos α = \frac{8}{17}$ .

Polecenie 3

Wysokość walca ma długość $12 cm$ . Oblicz pole powierzchni bocznej walca wiedząc, że $\sin α = \frac{3}{5}$ , gdzie kąt $α$ jest kątem zawartym pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy i wysokością walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i zaznaczmy odpowiedni kąt.

R1S0WILOURHBE

Przyjmijmy oznaczenia:
$H = |O O_{1}|$ - długość wysokości walca;
$r = |O A|$ - długość promienia podstawy walca;
$α$ - kąt pomiędzy odcinkiem $A O_{1}$ a wysokością walca.

Pole powierzchni bocznej walca wyznaczymy ze wzoru $P_{b} = 2 π r H$ .

Z warunków zadania mamy $H = 12$ i $\sin α = \frac{3}{5}$ . Zauważmy, że z trójkąta $O A O_{1}$ mamy $\sin α = \frac{r}{|A O_{1}|}$ . Zatem prawdziwa jest zależność $\frac{r}{|A O_{1}|} = \frac{3}{5}$ , stąd $r = \frac{3}{5} |A O_{1}|$ . Dla rozważanego trójkąta wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa $r^{2} + H^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ , po podstawieniu otrzymujemy ${(\frac{3}{5} |A O_{1}|)}^{2} + 12^{2} = {|A O_{1}|}^{2}$ . Wynika stąd, że $|A O_{1}| = 15$ i $r = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9$ . Zatem pole boczne walca ma wartość $P_{b} = 2 π \cdot 9 \cdot 12 = 216 π {cm}^{2}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się