Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi $24\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$. Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę $30°$. Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R18ckhiHndtOe

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt o mierze trzydziestu stopni, który znajduje się przy wierzchołu B.

$H=\left|DA\right|$ - długość wysokości walca;
$2r=\left|AB\right|$ - długość średnicy podstawy walca.

Objętość walca obliczymy ze wzoru $V_w=\pi r^{2}H$.

Z warunków zadania otrzymujemy zależności $2r·H=24\sqrt{3}$ i $\frac{H}{2r}=tg30°$.

Wyznaczając z drugiej zależności $H=2r·\frac{\sqrt{3}}{3}$ i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy $2r·2r·\frac{\sqrt{3}}{3}=24\sqrt{3}$.

Wynika stąd, że $r=3\sqrt{2}$ i $H=2\sqrt{6}$. Ostatecznie objętość walca wynosi $V_w=\pi {\left(3\sqrt{2}\right)}^2·2\sqrt{6}$ stąd $V_w=36\sqrt{6}\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości $k$ i tworzy ona z wysokością walca kąt miary $\alpha$. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt $ABCD$ przedstawia powierzchnię boczną walca.

Re3snuLzRKKsm

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D o długości k. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku D.

Przyjmijmy oznaczenia:
$H=\left|AD\right|$ - długość wysokości walca;
$2\pi r=\left|AB\right|$ - obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie $r$ oznacza długość promienia podstawy walca;
$k=\left|DB\right|$ - długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu;
$\alpha =\left|\sphericalangle ADB\right|$ - miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.

Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru $P=2\pi r\left(r+H\right)$. Zauważmy, że z trójkąta $ABD$ otrzymujemy zależności: $\frac{H}{k}=\cos \alpha$ i $\frac{2\pi r}{k}=\sin \alpha$, stąd $H=k\cos \alpha$ i $r=\frac{k\sin \alpha }{2\pi }$.

Wynika stąd, że $P=k\sin \alpha \left(\frac{k\sin \alpha }{2\pi }+k\cos \alpha \right)=k^2\left(\frac{{\sin }^2\alpha }{2\pi }+\sin \alpha \cos \alpha \right)$.

Wysokość walca ma długość $8 \mathrm{cm}$. Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem $60°$. Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RPoZO91yUMWrB

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty. Pierwszy przypadek. Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt B E C o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem. Przypadek drugi. . Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt A E B o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem.

$H=\left|BC\right|=8$ - długość wysokości;
$\left|AB\right|=2r$ - długość średnicy podstawy walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru $P_b=2\pi rH$.

Przypadek 1

Zauważmy, że trójkąt $BEC$ jest trójkątem równobocznym, zatem $\left|EB\right|=\left|AE\right|=8$ i $\left|\sphericalangle AEB\right|=120°$. Z trójkąta $AEB$ i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność ${\left(2r\right)}^2=8^2+8^2-2·8·8·\cos 120°$, dalej mamy $4r^2=128-128·\left(-\frac{1}{2}\right)$, stąd $r=4\sqrt{3}$.

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem $P_b=2\pi ·4\sqrt{3}·8=64\sqrt{3}\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Przypadek 2

Zauważmy, że trójkąt $AEB$ jest trójkątem równobocznym, zatem $\left|BE\right|=\left|CE\right|=2r$ i $\left|\sphericalangle BEC\right|=120°$. Z trójkąta $BEC$ i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność $8^2={\left(2r\right)}^2+{\left(2r\right)}^2-2·2r·2r·\cos 120°$, dalej mamy $64=8r^2-8r^2·\left(-\frac{1}{2}\right)$, stąd $r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem $P_b=2\pi ·\frac{4\sqrt{3}}{3}·8=\frac{64\sqrt{3}\pi }{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe $12\pi {\mathrm{cm}}^2$, a pole jego powierzchni bocznej wynosi $8\pi {\mathrm{cm}}^2$. Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:

R1FWwCaapzANw

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.

$H=\left|BC\right|$ - długość wysokości walca;
$2r=\left|AB\right|$ - długość średnicy podstawy walca;
$\alpha =\left|\sphericalangle CAB\right|$ - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy $2\pi r\left(r+H\right)=12\pi$ i $2\pi rH=8\pi$. Wyznaczmy z drugiej zależności $H=\frac{4}{r}$ i podstawmy odpowiednio do równania $2\pi r\left(r+H\right)=12\pi$. Stąd mamy $2r\left(r+\frac{4}{r}\right)=12$.

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą $r:r^2=2$, zatem $r=\sqrt{2}$. Wynika stąd, że $H=2\sqrt{2}$. Zauważmy, że trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem $\alpha =45°$.

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $2:3$. Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

Rox1XGU2ha40I

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.

$H=\left|BC\right|$ - długość wysokości walca;
$2r=\left|AB\right|$ - długość średnicy podstawy walca;
$\alpha =\left|\sphericalangle CAB\right|$ - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy zależność $\frac{P_b}{P}=\frac{2}{3}$, gdzie $P_b$ oznacza pole powierzchni bocznej walca i $P$ pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem $\frac{2\pi rH}{2\pi r\left(r+H\right)}=\frac{2}{3}$. Stąd po uproszczeniu $\frac{H}{r+H}=\frac{2}{3}$. Należy wyznaczyć tangens kąta $\alpha$, zatem z trójkąta $ABC$ mamy $tg\alpha =\frac{H}{2r}$. Zauważmy, że $\frac{r+H}{H}=\frac{3}{2}$, stąd $\frac{r}{H}+1=\frac{3}{2}$, stąd $\frac{r}{H}=\frac{1}{2}$, dalej mamy $\frac{2r}{H}=1$, a stąd $\frac{H}{2r}=1$. Ostatecznie $tg\alpha =1$.

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę