W tym materiale wykorzystamy definicję kąta między prostą a płaszczyznąkąt pomiędzy prostą a płaszczyznąkąta między prostą a płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów jakie możemy wykreślić w walcu pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.
Zapoznaj się z apletem Geogebry i zaznacz odpowiednio kąty:
kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;
kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.
R1MLH7nfX3mKJ
Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadań.
Przykład 1
Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę . Oblicz objętość walca.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
R18ckhiHndtOe
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca.
Objętość walca obliczymy ze wzoru .
Z warunków zadania otrzymujemy zależności i .
Wyznaczając z drugiej zależności i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy .
Wynika stąd, że i . Ostatecznie objętość walca wynosi stąd .
Przykład 2
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości i tworzy ona z wysokością walca kąt miary . Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.
Rozwiązanie
Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt przedstawia powierzchnię boczną walca.
Re3snuLzRKKsm
Przyjmijmy oznaczenia: - długość wysokości walca; - obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie oznacza długość promienia podstawy walca; - długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu; - miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.
Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru . Zauważmy, że z trójkąta otrzymujemy zależności: i , stąd i .
Wynika stąd, że .
Przykład 3
Wysokość walca ma długość . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem . Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:
RPoZO91yUMWrB
- długość wysokości; - długość średnicy podstawy walca.
Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru .
Przypadek 1
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .
Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .
Przypadek 2
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .
Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .
Przykład 4
Pole powierzchni całkowitej walca jest równe , a pole jego powierzchni bocznej wynosi . Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Rozwiązanie
Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:
R1FWwCaapzANw
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca; - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Z warunków zadania mamy i . Wyznaczmy z drugiej zależności i podstawmy odpowiednio do równania . Stąd mamy .
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą , zatem . Wynika stąd, że . Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem .
Przykład 5
Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy . Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:
Rox1XGU2ha40I
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca; - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Z warunków zadania mamy zależność , gdzie oznacza pole powierzchni bocznej walca i pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem . Stąd po uproszczeniu . Należy wyznaczyć tangens kąta , zatem z trójkąta mamy . Zauważmy, że , stąd , stąd , dalej mamy , a stąd . Ostatecznie .