W tym materiale wykorzystamy definicję kąta między prostą a płaszczyznąkąt pomiędzy prostą a płaszczyznąkąta między prostą a płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów jakie możemy wykreślić w walcu pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.
Zapoznaj się z apletem Geogebry i zaznacz odpowiednio kąty:
kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;
kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;
kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.
R1MLH7nfX3mKJ
Aplet przedstawia walec z zaznaczonymi dwoma średnicami podstaw. Pierwsza dolna podstawa posiada środek w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz średnice A B. Druga górna podstawa, posiada środek w punkcie O indeks dolny dwa koniec indeksu oraz średnicę D C. Poniżej walca znajduje się 10 interaktywnych opcji umożliwiających utworzenie wszystkich możliwych kątów między prostą a płaszczyzną walca. Opcja pierwsza. Przekrój osiowy. Opcja druga. Tworząca walca B C. Opcja trzecia. Średnica walca. Opcja czwarta. Odcinek łączący brzeg podstawę ze środkiem drugiej podstawy. Opcja piąta. Kąt nachylenia przekątnej przekroju do płaszczyzny podstawy. Opcja szósta. Kąt między przekątną przekroju i wysokością walca. Opcja siódma. Kąt między odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy i płaszczyzną podstawy. Opcja ósma. Wysokość walca O indeks dolny jeden koniec indeksu O indeks dolny dwa koniec indeksu. Opcja dziewiąta. Promień walca. Opcja dziesiąta. Przekątna przekroju.
Aplet przedstawia walec z zaznaczonymi dwoma średnicami podstaw. Pierwsza dolna podstawa posiada środek w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz średnice A B. Druga górna podstawa, posiada środek w punkcie O indeks dolny dwa koniec indeksu oraz średnicę D C. Poniżej walca znajduje się 10 interaktywnych opcji umożliwiających utworzenie wszystkich możliwych kątów między prostą a płaszczyzną walca. Opcja pierwsza. Przekrój osiowy. Opcja druga. Tworząca walca B C. Opcja trzecia. Średnica walca. Opcja czwarta. Odcinek łączący brzeg podstawę ze środkiem drugiej podstawy. Opcja piąta. Kąt nachylenia przekątnej przekroju do płaszczyzny podstawy. Opcja szósta. Kąt między przekątną przekroju i wysokością walca. Opcja siódma. Kąt między odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy i płaszczyzną podstawy. Opcja ósma. Wysokość walca O indeks dolny jeden koniec indeksu O indeks dolny dwa koniec indeksu. Opcja dziewiąta. Promień walca. Opcja dziesiąta. Przekątna przekroju.
Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadań.
Przykład 1
Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę . Oblicz objętość walca.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
R18ckhiHndtOe
Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt o mierze trzydziestu stopni, który znajduje się przy wierzchołu B.
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca.
Objętość walca obliczymy ze wzoru .
Z warunków zadania otrzymujemy zależności i .
Wyznaczając z drugiej zależności i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy .
Wynika stąd, że i . Ostatecznie objętość walca wynosi stąd .
Przykład 2
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości i tworzy ona z wysokością walca kąt miary . Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.
Rozwiązanie
Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt przedstawia powierzchnię boczną walca.
Re3snuLzRKKsm
Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D o długości k. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku D.
Przyjmijmy oznaczenia: - długość wysokości walca; - obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie oznacza długość promienia podstawy walca; - długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu; - miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.
Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru . Zauważmy, że z trójkąta otrzymujemy zależności: i , stąd i .
Wynika stąd, że .
Przykład 3
Wysokość walca ma długość . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem . Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:
RPoZO91yUMWrB
Ilustracja przedstawia dwa prostokąty. Pierwszy przypadek. Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt B E C o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem. Przypadek drugi. . Prostokąt A B C D z zaznaczonymi przekątnymi B D i A C. Miejsce przecięcia się przekątnych zostało oznaczone jako E. Powstał kąt A E B o mierze sześćdziesięciu stopni. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C ma długość osiem.
- długość wysokości; - długość średnicy podstawy walca.
Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru .
Przypadek 1
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .
Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .
Przypadek 2
Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .
Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .
Przykład 4
Pole powierzchni całkowitej walca jest równe , a pole jego powierzchni bocznej wynosi . Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Rozwiązanie
Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:
R1FWwCaapzANw
Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca; - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Z warunków zadania mamy i . Wyznaczmy z drugiej zależności i podstawmy odpowiednio do równania . Stąd mamy .
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą , zatem . Wynika stąd, że . Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem .
Przykład 5
Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy . Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.
Rozwiązanie
Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:
Rox1XGU2ha40I
Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.
- długość wysokości walca; - długość średnicy podstawy walca; - miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.
Z warunków zadania mamy zależność , gdzie oznacza pole powierzchni bocznej walca i pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem . Stąd po uproszczeniu . Należy wyznaczyć tangens kąta , zatem z trójkąta mamy . Zauważmy, że , stąd , stąd , dalej mamy , a stąd . Ostatecznie .