Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RO34RRqNiwH6C

R1Y2uwEm2ukD3

Ćwiczenie 2

Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą kąt $α$ , taki że $tg α = \frac{7}{3}$ . Pole przekroju osiowego walca wynosi $84 {cm}^{2}$ . Oblicz objętość walca. W rachunkach przyjmij $π \approx \frac{22}{7}$ . Zakoduj odpowiednio cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

R1USuF3E3w1TR

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną B D. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek A D został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B D został zaznaczony kąt alfa, który znajduje się przy wierzchołu B.

RyHwLpZveCRaf

cyfra setek ............
cyfra dziesiątek ............
cyfra jedności ............

R19UWVZJuBJij2

Ćwiczenie 3

Wysokość walca ma długość $24 cm$ . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem $120 °$ . Oceń prawdziwość podanych zdań.

	prawda	fałsz
Objętość walca może wynosić $V = 10368 π {cm}^{3}$ .	□	□
Objętość walca może wynosić $V = 1152 π {cm}^{3}$ .	□	□

RhGf5EkJfc0un2

Ćwiczenie 4

Objętość walca jest równa $128 \sqrt{3} π {cm}^{3}$ , a pole jego powierzchni bocznej wynosi $64 \sqrt{3} π {cm}^{2}$ . Zaznacz poprawne odpowiedzi.

Promień podstawy walca ma długość $4 cm$ .
Wysokość walca ma długość $8 cm$ .
Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a wysokością walca ma miarę $30 °$ .
Jeden z kątów pomiędzy przekątnymi przekroju osiowego walca ma miarę $60 °$ .

Ćwiczenie 5

Pole przekroju osiowego walca jest równe $300 {cm}^{2}$ , a przekątna tego przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ takim, że $\cos α = \frac{4}{5}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

Rtk1g7Yydqgdf

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C. Odcinek A B ma długość dwa r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku A.

$H = |B C|$ – długość wysokości walca;
$2 r = |A B|$ – długość średnicy podstawy walca;
$α = |∢ C A B|$ – miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Zauważmy, że z warunków zadania mamy $\cos α = \frac{4}{5}$ . Zatem z definicji cosinusa kąta ostrego i z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że istnieje taki $x$ , że $|B C| = H = 3 x$ , $|A B| = 2 r = 4 x$ i $|A C| = 5 x$ . Z warunków zadania mamy także $4 x \cdot 3 x = 300$ , zatem $x = 5$ .

Stąd otrzymujemy odpowiednio: $2 r = 20$ , stąd $r = 10$ i $H = 15$ . Pole powierzchni całkowitej walca obliczymy ze wzoru $P = 2 π r (r + H)$ , zatem $P = 2 π \cdot 10 \cdot (10 + 15) = 500 π {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem. Przekątna otrzymanego prostokąta ma długość $p$ i tworzy z wysokością walca kąt $α$ . Wyznacz objętość tego walca.

Wykreślmy prostokąt odpowiadający powierzchni bocznej walca i przyjmijmy oznaczenia:

RTCnB2k29JN5K

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczoną przekątną A C o długości p. Odcinek A B ma długość dwa pi r, natomiast odcinek B C został oznaczony jako H. Wewnątrz trójkąta prostokątnego A B C został zaznaczony kąt alfa. Kąt ten znajduje się przy wierzchołku C.

$H = |B C|$ - długość wysokości walca;
$2 π r = |A B|$ - długość okręgu o promieniu długości $r$ stanowiącego podstawę walca;
$α$ kąt pomiędzy przekątną prostokąta a wysokością walca.

Objętość walca wyznaczymy ze wzoru $V = π r^{2} H$ . Z trójkąta $A B C$ mamy $\frac{H}{p} = \cos α$ , stąd $H = p \cos α$ . Dalej mamy $\frac{2 π r}{p} = \sin α$ , stąd $r = \frac{p \sin α}{2 π}$ . Zatem objętość walca $V = π \cdot {(\frac{p \sin α}{2 π})}^{2} \cdot p \cos α = \frac{p^{3} \sin^{2} α \cos α}{4 π}$ .

Ćwiczenie 7

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej wynosi $3 : 4$ . Uzasadnij, ze stosunek długości promienia podstawy walca do długości wysokości walca wynosi $1 : 3$ .

Przyjmijmy oznaczenia:
$r$ – długość promienia podstawy walca,
$H$ – długość wysokości walca.
Z warunków zadania mamy $\frac{2 π r H}{2 π r (r + H)} = \frac{3}{4}$ , stąd $\frac{H}{r + H} = \frac{3}{4}$ . Wynika stąd, że $\frac{r + H}{H} = \frac{4}{3}$ , zatem $\frac{r}{H} + 1 = \frac{4}{3}$ , stąd $\frac{r}{H} = \frac{1}{3}$ , co należało uzasadnić.

Ćwiczenie 8

Wysokość walca jest o $7 cm$ krótsza od średnicy podstawy walca, natomiast przekątna przekroju osiowego walca jest o $7 cm$ dłuższa od promienia podstawy walca. Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

RQUpZjT9zi7TH

$H$ – wysokość walca;
$2 r$ - średnica walca;
$p$ – przekątna przekroju osiowego walca;
$α$ – kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Z warunków zadania mamy odpowiednio: $H = 2 r - 7$ i $p = r + 7$ . Z trójkąta $A B C$ i twierdzenia Pitagorasa wynika ${(2 r)}^{2} + {(2 r - 7)}^{2} = {(r + 7)}^{2}$ , stąd mamy po uporządkowaniu $7 r^{2} - 42 r = 0$ . Po rozwiązaniu równanie otrzymujemy $r = 6$ .

Z trójkąta $A B C$ mamy $\sin α = \frac{H}{p}$ , zatem $\sin α = \frac{5}{13}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela