W przypadku kątów wierzchołkowych i przyległych, przekonaliśmy się, że nie zawsze trzeba używać kątomierza, aby określić miarę danego kąta.
Podobna sytuacja zachodzi, gdy rozważymy kąty przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.
Przybliżonym modelem takich prostych mogą być rozjazdy na torach kolejowych.

R1eWThiB04ETp1

Zdjęcie dwóch torów kolejowych połączonych rozjazdem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

R3EYTifHVl8Xn1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Przykład 2

RGJpUlcxmNLCv1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Definicja: Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Proste $k$ i $l$ są przecięte prostą $c .$

Kąty: $α$ i $α_{1}$ , $β$ i $β_{1}, γ$ i $γ_{1}$ oraz $δ$ i $δ_{1}$ to pary kątów odpowiadających.
Kąty $α_{1}$ i $δ$ oraz $β_{1}$ i $γ$ to pary kątów naprzemianległych wewnętrznych.
Kąty $β$ i $γ_{1}$ oraz $α$ i $δ_{1}$ to pary kątów naprzemianległych zewnętrznych.
Rgeu2bwtCJ8GF1

igQHHsljpr_d5e152

Przykład 3

R21iLRF4VrTgI1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Przykład 4

R1W2I8ibWLovH1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Przykład 5

R1aCSjSEsySJ41

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Kąty przy prostych równoległych

Twierdzenie: Kąty przy prostych równoległych

Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty odpowiadające są równe.
R1I2tUoI64raX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe oraz kąty naprzemianległe zewnętrzne są równe.
R18ZZPCMdXMZf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

igQHHsljpr_d5e228

Równoległość prostych

Przykład 6

Rcqa8obmhDy0B1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Dwie proste przecięte trzecią prostą

Twierdzenie: Dwie proste przecięte trzecią prostą

Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty odpowiadające są równe, to proste te są równoległe.
Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty naprzemianległe są równe, to proste te są równoległe.

Obliczanie miar kątów przy prostych równoległych

Przykład 7

Proste $p$ i $r$ są równoległe. Jeden z kątów wyznaczonych przez te proste ma miarę $57 °$ . Obliczymy miary pozostałych kątów przy prostych $p$ i $r$ .

Rfwlc4YZljxOs1

Rysunek dwóch prostych równoległych p i r przeciętych trzecią prostą. Między prostymi zaznaczone osiem kątów. Prosta przecinająca utworzyła z prostą p kąty 1, 2, 3 i 57 stopni. Prosta przecinająca utworzyła z prostą r kąty 4, 5, 6, 7. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt o mierze $57 °$ i kąt $2$ to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

|∡ 2| = 57 °

Kąt o mierze $57 °$ i kąt $7$ to kąty odpowiadające przy prostych równoległych– ich miary są równe.

|∡ 7| = 57 °

Kąt $7$ i kąt $5$ to kąty wierzchołkowe – ich miary są równe.

|∡ 5| = |∡ 7| = 57 °

Kąt o mierze $57 °$ i kąt $1$ to kąty przyległe. Suma ich miar jest równa $180 °$ .

|∡ 1| + 57 ° = 180 °

Więc $|∡ 1| = 123 °$
Pary kątów przyległych to również:
kąt $3$ i kąt $2$ , kąt $7$ i kąt $4$ oraz kąt $6$ i kąt $5$ .
Stąd

|∡ 3| = |∡ 4| = |∡ 6| = 123 °

Odpowiedź:

|∡ 2| = |∡ 7| = |∡ 5| = 57 °

|∡ 1| = |∡ 3| = |∡ 4| = |∡ 6| = 123 °

igQHHsljpr_d5e326

Ćwiczenie 1

Podaj miary kątów przy prostych równoległych.

R1RdCLjZFy3ZL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8FmPWB5T

Ćwiczenie 2

Proste $p$ i $r$ są równoległe. Podaj miary kątów $α, β, γ .$

RxSrNtIYugFwI1

Rysunki dwóch prostych równoległych p i r. Na pierwszym rysunku proste p i r przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty alfa, beta, gamma i 130 stopni. Na drugim rysunku proste p i r przecięte są dwoma prostymi, które tworzą kąt 25 stopni. Zaznaczono kąty alfa, beta, gamma i 110 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$α = 50 °, β = 130 °, γ = 50 °$
$α = 95 °, β = 70 °, γ = 85 °$

Ćwiczenie 3

Proste $HA$ i $GB$ są równoległe oraz proste $KA$ i $LC$ są równoległe.

RY4st2SOz0Vm61

Rysunek prostych równoległych HA i GB przeciętych prostymi równoległymi KA i LC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wypisz wszystkie pary kątów naprzemianległych.
Wypisz wszystkie pary kątów odpowiadających.

Na przykład kąty $KAC$ oraz $ACD$ są naprzemianległe wewnętrzne, a kąty $NCD$ i $KAH$ są naprzemianległe zewnętrzne.
Na przykład kąty $HAB$ oraz $ACD$ są odpowiadające.

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RSV8nDDkMTZYp

Kąty $α$ i $β$ to para kątów odpowiadających przy prostych równoległych, przeciętych trzecią prostą. Zatem kąty te są równe.
Kąty $γ$ i $δ$ to para kątów naprzemianległych przy nierównoległych prostych, przeciętych trzecią prostą. Zatem kąt $γ$ jest dwa razy większy od kąta $δ$ .
Kąty $μ$ i $φ$ to para kątów naprzemianległych przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Zatem kąty te są równe.

static

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RhBCOih4Fm7DY

Kąty $α$ i $β$ to para kątów odpowiadających przy prostych równoległych, przeciętych trzecią prostą. Zatem kąty te są równe.
Kąty $γ$ i $δ$ to para kątów naprzemianległych przy nierównoległych prostych, przeciętych trzecią prostą. Zatem kąt $γ$ jest dwa razy większy od kąta $δ$ .
Kąty $μ$ i $φ$ to para kątów naprzemianległych przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą. Zatem kąty te są równe.

Ćwiczenie 5

Czy proste $p$ i $r$ są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

RcBnQxGBXGw6y1

Rysunki prostych p, r przeciętych trzecią prostą. Na pierwszym rysunku między prostymi zaznaczono kąty 140 stopni i 35 stopni. Na drugim rysunku między prostymi zaznaczono kąty 131 stopni i 49 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Proste równoległe $m$ i $s$ przecina prosta $w .$ Jeden z kątów utworzonych przez proste $w$ i $s$ ma miarę $22 ° .$ Oblicz miary pozostałych kątów utworzonych przez proste $w$ i $m .$

$22 °, 158 °$

Ćwiczenie 7

Proste $a$ i $b$ są równoległe.

R1MhGqIjPdhVZ1

Rysunek prostych równoległych a i b przeciętych trzecią prostą. Między prostą przecinającą i prostą a zaznaczone kąty: 1, 2, 3 i 4. Między prostą przecinającą i prostą b zaznaczone kąty: 5, 6, 7, 8. Pary kątów 1 i 5, 2 i 6, 3 i 7, 4 i 8 to kąty odpowiadające. Kąt 1 jest kątem wierzchołkowym do kąta 4 i kątem przyległym do kąta 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz $|∡ 1|$ wiedząc, że

miara kąta $2$ jest o $20 °$ większa od miary kąta $1$ .
$|∡ 2| + |∡ 7| = 200 °$
$|∡ 7| - |∡ 5| = 8 °$
$|∡ 6| = 108 °$

$80 °$
$80 °$
$86 °$
$72 °$

igQHHsljpr_d5e544

Ćwiczenie 8

Oblicz miary kątów równoległoboku, korzystając z własności kątów przy prostych równoległych.

R1UNNaVuDIte41

Rysunki dwóch równoległoboków. W pierwszym równoległoboku zaznaczony kąt 70 stopni, który jest kątem wierzchołkowym do jednego z kątów wewnętrznych równoległoboku. W drugim równoległoboku zaznaczony kąt 85 stopni, który jest kątem przyległym do jednego z kątów wewnętrznych równoległoboku. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 9

Proste $a$ i $b$ są równoległe.

Rj2V93qJowjA91

Rysunek prostych równoległych a, b przeciętych trzecią prostą. Między prostą przecinającą i prostą a zaznaczone kąty: 40 stopni, 1, 2 i 3. Między prostą przecinającą i prostą a zaznaczone kąty: 4, 5, 6, 7. Kąt 40 stopni jest kątem wierzchołkowym do kąta 2, kątem przyległym do kąta 1 oraz kątem odpowiadającym do kąta 5. Pary kątów 1 i 4, 2 i 7, 3 i 6 są odpowiadające. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1MHvYx4hlmaG

static

Ćwiczenie 9

Proste $a$ i $b$ są równoległe.

Rj2V93qJowjA91

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RnHAW51Z1lE68

Ćwiczenie 10

Uzasadnij, że:

dwie proste równoległe do trzeciej prostej są do siebie równoległe
dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są do siebie równoległe
przeciwległe kąty równoległoboku są równe

Kąty i ich rodzaje

Wprowadzenie

Kąty utworzone przez dwie proste przecięte trzecią prostą

Równoległość prostych

Obliczanie miar kątów przy prostych równoległych