2. Geometryczna interpretacja układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

RpQQkVSBym3QV

Interpretacją geometryczną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta. Aby ją narysować musimy znaleźć dwa dowolne punkty, przez które przechodzi. Współrzędne tych punktów spełniają równanie prostej.

W tym materiale zapoznasz się z interpretacją geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Poznasz też jedną z metod rozwiązywania układów równań – metodę graficzną.

Twoje cele

Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Odczytasz liczbę rozwiązań układu równań na podstawie jego ilustracji graficznej.
Odczytasz rozwiązanie układu równań liniowych na podstawie jego interpretacji geometrycznej.
Dopiszesz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny.

Przypomnijmy.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera,
$c_{1}$ i $c_{1}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Ważne!

Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się (są równoległe),

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Układ równań oznaczony

Przykład 1

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.

$2 x - y = 0$ i $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $3 x - 3 + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $y = 3 x - 3$

R30QHJHJWgYWc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 3 do siedmiu oraz z osią poziomą od minus 3 do sześciu. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza posiada miejsce zerowe w początku układu współrzędnych, a druga w punkcie jeden i przecina oś Y w punkcie minus trzy. Proste przecinają się w punkcie 3;6.

Wykresy tych równań przecinają się w jednym punkcie $A = (3, 6)$ .

Współrzędne tego punktu tworzą parę liczb, która spełnia oba równania: $2 x - y = 0$ oraz $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$ .

Para $(3, 6)$ jest jedynym rozwiązaniem układu.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ ma jedno rozwiązanie. Taki układ nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.

Oznaczony układ równań

Definicja: Oznaczony układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym (układem równań niezależnych).

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek

a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0

Przykład 2

Sprawdzimy, czy podany układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest układem oznaczonym.

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 5 \\ - 3 x + y = - 4 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 3$
$b_{1} = 2$
$a_{2} = - 3$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 3) = 9 \neq 0$
A zatem ten układ jest układem oznaczonymukładem oznaczonym.
$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 10$
$b_{1} = - 5$
$a_{2} = - 2$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 0$
A zatem ten układ nie jest układem oznaczonym.

Przykład 3

Sprawdzimy, która z podanych par liczb $(2, 4)$ , $(4, 2)$ spełnia układ równań

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = 4 \\ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = 2 \end{cases}$ .

Aby sprawdzić, czy para liczb spełnia układ równań, musimy wyznaczyć wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po prawej i lewej stronie każdego z równań układu i porównać je.

Jeśli lewa strona równania będzie równa prawej $(L = P)$ , w każdym z dwóch równań, to para spełnia układ równań, a więc jest jego rozwiązaniem.

Sprawdźmy czy para liczb $(2, 4)$ spełnia każde z równań. Pierwsze równanie.
$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot (4 + 1) = 1 + \frac{10}{3} \neq 4 = P_{1}$
A zatem para liczb $(2, 4)$ nie spełnia tego równania.
Nie jest więc rozwiązaniem układu równańrozwiązaniem układu równań.

Sprawdźmy czy para liczb $(4, 2)$ spełnia każde z równań.
Pierwsze równanie.
$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{2}{3} \cdot (2 + 1) = 2 + \frac{6}{3} = 4 = P_{1}$
A zatem para spełnia to równanie.
Drugie równanie.
$L_{2} = \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{3} - \frac{4 \cdot 2 - 3}{5} = 3 - 1 = 2 = P_{2}$
A zatem para liczb $(4, 2)$ spełnia również drugie równanie.

Para $(4, 2)$ spełnia każde z równań, a więc jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = 4 \\ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = 2 \end{cases}$ .

Przykład 4

Policzymy, dla jakich wartości parametrów $m$ oraz $n$ para liczb $\{\begin{cases} x = - 10 \\ y = 12, 5 \end{cases}$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 8 x - (m + 1) y = - 15 \\ (n - 2) x + 4 y = 15 \end{cases}$ .

Obliczamy wartość parametru $m$ , podstawiając wartości $x = - 10$ oraz $y = 12, 5$ do pierwszego równania.

$8 x - (m + 1) y = - 15$

$8 \cdot (- 10) - (m + 1) \cdot 12, 5 = - 15$

$- (m + 1) \cdot 12, 5 = - 15 + 80$

$- 12, 5 \cdot (m + 1) = 65 |: (- 12, 5)$

$m + 1 = - 5, 2$

$m = - 6, 2$

Obliczamy wartość parametru $n$ , podstawiając wartości $x = - 10$ oraz $y = 12, 5$ do drugiego równania.

$(n - 2) x + 4 y = 15$

$(n - 2) \cdot (- 10) + 4 \cdot 12, 5 = 15$

$- 10 \cdot (n - 2) = 15 - 50$

$n - 2 = - 35 : (- 10)$

$n = 3, 5 + 2$

$n = 5, 5$

Para liczb $\{\begin{cases} x = - 10 \\ y = 12, 5 \end{cases}$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 8 x - (m + 1) y = - 15 \\ (n - 2) x + 4 y = 15 \end{cases}$ dla $\{\begin{cases} m = - 6, 2 \\ n = 5, 5 \end{cases}$ .

Przykład 5

Jedną z par spełniających równanie liniowe z dwiema niewiadomymi $3 x - 5 y = 9$ jest $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ .

Znajdziemy równanie, które będzie wraz z danym tworzyło układ równań, którego rozwiązaniem jest również para liczb $(- 2, - 3)$ .

R16HibkhaaSb6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 5 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do sześciu. Zaznaczono na nim prostą mającą miejsce zerowe w punkcie trzy. Zaznaczono punkt na prostej o współrzędnych -2;-3.

Na rysunku przedstawiliśmy wykres równania $3 x - 5 y = 9$ oraz zaznaczyliśmy punkt o współrzędnych $(- 2, - 3)$ .

Ponieważ przez ten punkt możemy przeprowadzić nieskończenie wiele prostych, więc nasze zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Możemy np. dopisać równania: $x = - 2$ , $y = - 3$ , czy też $y = \frac{3}{2} x$ .

Możemy też do równania kierunkowego prostej $y = a x + b$ podstawić $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ oraz dowolnie wybrany współczynnik $b$ , np. $b = 3$ i wyznaczyć równanie.

Otrzymujemy wtedy:

$y = a x + b$

$- 3 = - 2 a + 3$

$2 a = 3 + 3$

$a = 3$

A zatem układem równań spełniającym warunki zadania będzie również układ równań $\{\begin{cases} 3 x - 5 y = 9 \\ y = 3 x + 3 \end{cases}$ .

Przykład 6

Układy równań liniowych są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią.

Na widowni teatru znajduje się $300$ miejsc siedzących. Na niedzielny spektakl sprzedano $80 %$ biletów. Cena biletu ulgowego wynosi $25 zł$ , a normalnego o $5 zł$ więcej. Oblicz, ile sprzedano biletów normalnych a ile ulgowych, jeśli łączna kwota, za którą sprzedano bilety wynosiła $6800 zł$ .

Zaczynamy od analizy zadania:

cena biletu ulgowego – $25 zł$

cena biletu normalnego – $30 zł$

liczba uczestników $80 %$ z $300$ czyli
$0, 8 \cdot 300 = 240$

łączna kwota, za którą sprzedano bilety – $6800 zł$

liczba sprzedanych biletów ulgowych – $x$

liczba sprzedanych biletów normalnych – $y$

Zapiszemy układ równań pozwalający rozwiązać zadanie.

$\{\begin{cases} x + y = 240 \\ 25 x + 30 y = 6800 \end{cases}$

Taki układ pozwoli nam obliczyć, ile sprzedano biletów normalnych, a ile ulgowych.

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy $\{\begin{cases} x = 80 \\ y = 160 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy podane liczby spełniają warunki zadania.)

A zatem sprzedano $80$ biletów ulgowych oraz $160$ biletów normalnych.

Polecenie 1

Przeanalizuj galerię zdjęć interaktywnych i zapoznaj się z przykładami sytuacji prowadzących do otrzymania oznaczonego układu równań liniowych.

Wykonaj samodzielnie umieszczone pod galerią polecenia.

R1QCiJl2atPkI

RG4uts5CBp36z

RZWsaLC2Dw2iv

RMgbGF6KOiHpo

R1k6NOFL3dmkz

Polecenie 2

Dwa lata temu tata był pięć razy starszy od Krzysia, a za trzy lata Krzysiek będzie trzy razy młodszy od taty. Ile lat ma teraz tata, a ile Krzysiek?

Zapisz analizę zadania i odpowiedni układ równań.

$x$ – wiek taty,
$y$ – wiek Krzysia.

osoba	$2$ lata temu	Teraz	Za $3$ lata
Tata	$x - 2$	$x$	$x + 3$
Krzyś	$y - 2$	$y$	$y + 3$

$\{\begin{cases} x - 2 = 5 \cdot (y - 2) \\ x + 3 = 3 \cdot (y + 3) \end{cases}$

Układ równań nieoznaczony

Przykład 7

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykresy równań składowych tego układu.

Przekształcamy każde z równań.

$- 3 x + y = 1$ i $6 x - 2 y = - 2$

$y = 3 x + 1$ i $- 2 y = - 6 x - 2 | : (- 2)$

$y = 3 x + 1$ i $y = 3 x + 1$

Otrzymaliśmy takie same równania. Oznacza to, że równania, które pojawiły się w tym układzie, są równaniami równoważnymi.

Narysujemy ich wykresy – są to pokrywające się proste.

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z warunku zawartego w równaniu, obliczamy $y$ .

Otrzymujemy np. punkty o współrzędnych $(0, 1)$ , $(1, 4)$ .

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

Rb9beZ2gNhrb8

Ilustracja przedstawiająca układ równań. Zaznaczono na nim prostą o równaniu y=3x+1. Zaznaczono na niej punkty. 0,1 oraz 1,4

Wykresy tych równań, to proste równoległe, które się pokrywają. Mają więc nieskończenie wiele wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} - 3 x + y = 1 \\ 6 x - 2 y = - 2 \end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$\{\begin{cases} x = t \in ℝ \\ y = 3 t + 1 \end{cases}$

Taki układ nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Definicja: Nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Przykład 8

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

R1acoZrAAMGlM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie 4 oraz mająca miejsce zerowe w punkcie dwa

Na rysunku widoczna tylko jedna prosta. Zatem, jeśli w poleceniu podana została informacja, że jest to interpretacja geometryczna układu równań, to wiemy, że jest to układ nieoznaczony. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej.

RLco6vQPmMMMD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą. Przecinającą się z osią rzędnych w punkcie 0,4oraz z osią odciętych w punkcie 2,0

Wiemy, że równanie kierunkowe prostej przedstawionej na rysunku ma postać $y = a x + b$ i należą do niej punkty $(0, 4)$ oraz $(2, 0)$ .

Postawimy więc ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a$ i $b$ .

Punkt $(0, 4)$ :
$4 = a \cdot 0 + b$
$b = 4$

Punkt $(2, 0)$ :
$0 = a \cdot 2 + b$
$2 a + 4 = 0$
$2 a = - 4$
$a = - 2$

Równanie prostej ma więc postać $y = - 2 x + 4$ .

Możemy zapisać nieskończenie wiele nieoznaczonych układów równań spełniających warunki tego zadania. Na przykład:

$\{\begin{cases} y = - 2 x + 4 \\ 2 x + y = 4 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 2 x - y = - 4 \\ x + 0, 5 y = 2 \end{cases} \lor \{\begin{cases} - 4 x - 2 y = - 8 \\ 3 y = - 6 x + 12 \end{cases}$ .

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera, jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy

\{\begin{cases} a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0 \end{cases}

Przykład 9

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ nieoznaczony.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 3$

$b_{1} = - 2$

$c_{1} = 5$

$a_{2} = - 6$

$b_{2} = 4$

$c_{2} = - 10$

Sprawdzamy czy współczynniki układu równań spełniają warunki powyższego twierdzenia

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 4 - (- 6) \cdot (- 2) = 12 - 12 = 0$

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$
$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 5 \cdot 4 - (- 2) \cdot (- 10) = 20 - 20 = 0$

$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0$
$a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 3 \cdot (- 10) - 5 \cdot (- 6) = - 30 + 30 = 0$

Wszystkie warunki są spełnione, a zatem układ równań

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 \\ - 6 x + 4 y = - 10 \end{cases}$

jest nieoznaczonym układem równań liniowych.

Przykład 10

Sprawdzimy, czy układ równań

$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$

jest układem równań zależnych.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 10$

$b_{1} = - 5$

$c_{1} = - 25$

$a_{2} = - 2$

$b_{2} = 1$

$c_{2} = 12$

Sprawdzamy, czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 10 - 10 = 0$

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi warunek $c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = - 25 \cdot 1 - 12 \cdot (- 5) = - 25 + 60 \neq 0$

Drugi z warunków nie jest spełniony. Nie musimy już zatem sprawdzać trzeciego z nich, ponieważ, aby układ był nieoznaczony, muszą zachodzić wszystkie trzy zależności.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$ nie jest układem równań zależnych.

(Jest to układ sprzeczny.)

Przykład 11

Jakie wartości muszą przyjąć parametry $a$ oraz $b$ , aby układ

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 2 b - 3 \end{cases}$

był układem nieoznaczonym?

Z twierdzenia zamieszczonego w materiale wiemy, że układ będzie nieoznaczony, gdy zachodzi układ warunków

$\{\begin{cases} a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 0 \\ a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} = 0 \end{cases}$

W tym układzie równań mamy:

$a_{1} = a - 1$

$b_{1} = 12$

$c_{1} = 25$

$a_{2} = - 4$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 2 b - 3$

Z pierwszego warunku możemy zapisać równanie:

$3 \cdot (a - 1) + 12 \cdot 4 = 0$

$3 a - 3 + 48 = 0$

$3 a = - 45 | : 3$

$a = - 15$

Z drugiego warunku możemy zapisać równanie:

$25 \cdot 3 - (2 b - 3) \cdot 12 = 0$

$75 - 24 b + 36 = 0$

$- 24 b = - 111 | : (- 24)$

$b = 4 \frac{5}{8}$

Sprawdzamy jeszcze, czy zachodzi ostatni warunek.

$(a - 1) (2 b - 3) - (- 4) \cdot 25 = 0$

$L = (- 15 - 1) \cdot (2 \cdot 4 \frac{5}{8} - 3) + 100 = (- 16) \cdot \frac{25}{4} + 100 = 0 = P$

Otrzymaliśmy tożsamość, a zatem układ równań

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 2 b - 3 \end{cases}$

jest nieoznaczony dla $a = - 15$ i $b = 4 \frac{5}{8}$ .

Przykład 12

Do równania $x + 2 y = 15$ dopiszemy drugie, tak aby równania tworzyły razem nieoznaczony układ równańnieoznaczony układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązańrozwiązań. Należy dopisać dowolne równanie równoważne, np. pomnożyć lub podzielić obie strony pierwszego równania przez dowolną liczbę.

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają na przykład postać:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ - 3 x - 6 y = - 45 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x + 2 y = 15 \\ 0, 5 x + y = 7, 5 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy układy są nieoznaczone.)

Przykład 13

W ułamku $\frac{x}{y}$ , gdzie $x, y \in ℤ$ i $y \neq 0$ , mianownik stanowi $60 %$ licznika. Jeżeli pomniejszymy ułamek o jeden, to otrzymamy liczbę $\frac{2}{3}$ . Znajdziemy ten ułamek.

Zapisujemy układ równań opisujący warunki zadania:

$\{\begin{cases} \frac{x}{y} - 1 = \frac{2}{3} \\ y = 60 % \cdot x \end{cases}$

Przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.

$\frac{x}{y} - 1 = \frac{2}{3}$ i $y = 60 % \cdot x$

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} + 1$ i $y = 0, 6 \cdot x$

$\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ i $y = \frac{3}{5} x$

$y = \frac{3}{5} x$

Otrzymaliśmy równania równoważne, a więc układ jest nieoznaczony.

Aby był spełniony warunek $y \in ℤ$ , $x$ musi być wielokrotnością liczby $5$ , a więc $x = 5 k$ , $k \in ℤ$ .

Zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci ${\begin{cases} x = 5 k, k \in ℤ \\ y = \frac{3}{5} x \end{cases}$ , np.:

$x = 5 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3}$ ,

$x = 15 \Rightarrow y = 9 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{15}{9}$ ,

$x = 10 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{10}{6}$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj zawarte w animacji informacje o nieoznaczonych układach równań oraz prowadzących do nich zadaniach tekstowych.

Wykonaj samodzielnie umieszczone poniżej polecenie. Następnie porównaj rozwiązania.

R1BR4uql2zAPm

Polecenie 4

Długości boków prostokąta wyrażają się liczbami naturalnymi, a obwód prostokąta wynosi $16$ . Jeśli zwiększymy każdy z jego boków o $1$ , to pole prostokąta zwiększy się o $9$ . Podaj wymiary prostokąta.

R1cACxjPFwTh7

Ilustracja przedstawia prostokąt o bokach x i y. Bok x jest poziomy i dłuższy, bok y jest pionowy.

$\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 16 \\ x y + 9 = (x + 1) (y + 1) \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 8 \\ x y + 9 = x y + x + y + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 8 \\ 9 = x + y + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 8 \\ 8 = x + y \end{cases}$ – układ równań zależnych, nieoznaczony układ równań

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci $\{\begin{cases} x \in ℕ \\ y = 8 - x \end{cases}$ .

Uwzględniając warunki wynikające z treści zadania otrzymujemy możliwe rozwiązania:

$x \in ℕ \land x \in (0, 8)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y \in ℕ \land y = 8 - x$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Odpowiedź:

$\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 7 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 6 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases}$

Układ równań sprzeczny

Przykład 14

Dany jest układ równań

${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań.

$2 x - y = 0$ i $2 x - y = - 2$

$y = 2 x$ i $y = 2 x + 2$

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z odpowiedniego równania, obliczamy $y$ .

$(0, 0)$ , $(1, 2)$ i $(0, 2)$ , $(1, 4)$

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

R15NH0X9vcSJ8

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta opisana jest wzorem y=2x+2 i przechodzi przez dwa charakterystyczne punkty: -1;0, 0;2. Biegnąca z prawej strony prosta opisana jest wzorem y=2x i przechodzi przez początek układu współrzędnych. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykresy tych równań to proste równoległe, które nie mają wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = 2 \end{cases}$ nie ma rozwiązań. Taki układ nazywamy układem sprzecznym.

Ważne!

Wykresy prostych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Wykresy prostych postaci $x = c_{1}$ oraz $x = c_{2}$ są równoległe dla dowolnych $c_{1} \in ℝ$ , $c_{2} \in ℝ$ .

Sprzeczny układ równań

Definicja: Sprzeczny układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.

Przykład 15

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

R1Lr5ZKBllKXh

Wykresy prostych są równoległe, a więc jest to interpretacja geometryczna sprzecznego układu równań. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na każdej z prostych.

RL7hOhgHrrJnO

Na prostej $y = a_{1} x + b_{1}$ leżą punkty $(0, 1)$ oraz $(1, 2)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{1}$ i $b_{1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 0 + b_{1}$ i $2 = a_{1} \cdot 1 + b_{1}$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} + 1 = 2$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x + 1$ .

Na prostej $y = a_{2} x + b_{2}$ leżą punkty $(0, - 1)$ oraz $(1, 0)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{2}$ i $b_{2}$ .

$- 1 = a_{2} \cdot 0 + b_{2}$ i $0 = a_{2} \cdot 1 + b_{2}$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} - 1 = 0$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x - 1$ .

Rysunek przedstawia więc ilustrację geometryczną sprzecznego układu równań

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = x - 1 \end{cases}$ .

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek

a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)

i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:

c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)

lub

a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)

Przykład 16

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + 2 y = 10 \\ - 3 x - 6 y = 2 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ sprzeczny.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ i wyrazów wolnych.

$a_{1} = 1$

$b_{1} = 2$

$c_{1} = 10$

$a_{2} = - 3$

$b_{2} = - 6$

$c_{2} = 2$

Sprawdzamy czy zachodzi warunek $(1) a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 1 \cdot (- 6) - 2 \cdot (- 3) = - 6 + 6 = 0$

Warunek $(1)$ jest spełniony, sprawdzamy więc, czy zachodzi warunek $(2) c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot (- 6) - 2 \cdot 2 = - 60 - 4 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem ten układ jest układem sprzecznym.

Przykład 17

Sprawdzimy, czy sprzeczny jest układ równań

$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + 3 y = 12 \end{cases}$ .

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 10$

$b_{1} = - 5$

$c_{1} = - 25$

$a_{2} = - 2$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 12$

Sprawdzamy, czy zachodzi warunek $(1) a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 3 - (- 5) \cdot (- 2) = 30 - 10 \neq 0$

Warunek $(1)$ nie jest spełniony, a więc układ równań $\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + 3 y = 12 \end{cases}$ nie jest układem sprzecznym.

(Jest to układ oznaczony – posiada dokładnie jedno rozwiązanie.)

Przykład 18

Ustalimy, jaką liczbę należy wpisać w miejsce $a$ , aby układ

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 15 \end{cases}$

był układem sprzecznym.

Z twierdzenia zamieszczonego w materiale wiemy, że układ będzie sprzeczny, gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)$ i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)$ lub $a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)$ .

W tym układzie równań mamy:

$a_{1} = a - 1$

$b_{1} = 12$

$c_{1} = 25$

$a_{2} = - 4$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 15$

Z warunku $(1)$ możemy zapisać równanie:

$3 \cdot (a - 1) + 12 \cdot 4 = 0$

$3 a - 3 + 48 = 0$

$3 a = - 45 | : 3$

$a = - 15$

Sprawdzamy jeszcze czy zachodzi warunek $(2)$ .

$25 \cdot 3 - 12 \cdot 15 = 75 - 180 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem układ równań jest sprzeczny dla $a = - 15$ .

Przykład 19

Do równania $- 3 x + 5 y = 10$ dopiszmy drugie, tak aby tworzyły razem sprzeczny układ równańsprzeczny układ równańsprzeczny układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Najprostszym z nich jest dopisanie oczywistej sprzeczności, np.: $- 3 x + 5 y = 2$ , czy $- 3 x + 5 y = - 6$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = 2 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = - 6 \end{cases}$ .

Możemy też pomnożyć prawą stronę równania $- 3 x + 5 y = 10$ przez liczbę inną, niż lewą stronę tego równania. Otrzymamy wtedy np.: $- 6 x + 10 y = - 10$ lub $3 x - 5 y = 20$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 6 x + 10 y = - 10 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ 3 x - 5 y = 20 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy układy są sprzeczne.)

Polecenie 5

Przeanalizuj metodę graficznego rozwiązywania sprzecznych układów równań liniowych.

Wykonaj samodzielnie Polecenie 2.

R1SMWEnJV9Sge

R1VvakFqxmeAr

Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Polecenie 6

Rozwiąż graficznie układ równań

$\{\begin{cases} 6 \cdot (x + y) - 5 = x + 7 \cdot (y - 1) \\ 10 x + 4 = 2 \cdot (3 + y) \end{cases}$ .

$6 \cdot (x + y) - 5 = x + 7 \cdot (y - 1)$ i $10 x + 4 = 2 \cdot (3 + y)$

$6 x + 6 y - 5 = x + 7 y - 7$ i $10 x + 4 = 6 + 2 y$

$6 y - 7 y = x - 6 x - 7 + 5$ i $- 2 y = - 10 x - 4 + 6 | : (- 2)$

$- y = - 5 x - 2$ i $y = 5 x - 1$

$y = 5 x + 2$ i $y = 5 x - 1$

$A = (0, 2)$ , $B = (1, 7)$ i $C = (0, - 1)$ , $D = (1, 4)$

R1JeU4t8dlVGD

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta opisana jest wzorem: y=5x+2. Zaznaczono dwa punkty do niej należące: A=0;2, B=1;7. Biegnąca z prawej strony prosta opisana jest wzorem: y=5x-1. Zaznaczono dwa punkty do niej należące: C=0;-1, D=1;4. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Układ sprzeczny – brak rozwiązań.

R1cDX3Qt6u5Jw1

Ćwiczenie 1

R1kwyvbNvwoK41

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Rsi7PyVE78r5N

RFIL90L1C3ivL

RtEQkMOzDKMmx2

Ćwiczenie 4

R1dqWePtwHOty2

Ćwiczenie 5

R15tT8bOBEweg2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary oznaczone układy równań z ich rozwiązaniami. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa, razy, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, minus, trzy, razy, nawias, x, minus, y, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, pięć, razy, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, minus, siedem, razy, nawias, x, minus, y, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dziewiętnaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, pięć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, sześć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, y, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dziewiętnaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, pięć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, sześć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, trzy y, minus, jeden, równa się, początek ułamka, x, plus, y, plus, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, jeden, minus, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy y, plus, x, minus, pięć, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, dziewiętnaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, pięć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, minus, sześć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań

RHSBSqibvHHIv3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem. Zapisz układ równań, który pozwoli obliczyć miary katów tego równoległoboku.

RVgY54nG8NvGK

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD. Zaznaczono kąty przy wierzchołkach. Przy wierzchołku A kąt wynosi 2x+3y, przy wierzchołku C kąt wynosi 5y-3x oraz przy wierzchołku D kąt wynosi 5y+50°.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 y - 3 x \\ 2 x + 3 y + 5 y + 50 = 180 \end{cases}$

Ry4uaTZ2OsiJz1

Ćwiczenie 9

R1XdmbO2BbDqs1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

R16GwVnNPjDva

Rr6lW57FT011R

Ćwiczenie 12

Wskaż układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na rysunku.

R1FkmnBg7bO6d

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną prostą rosnącą. Prosta przecina oś rzędnych w punkcie minus dwa.

R17krBaQeYeq8

Ćwiczenie 13

R1NG1Ysf9NWlC

R1ZhQSTLgMET1

R9Pomxk4ekYcC21

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Rozwiąż graficznie układ równań.

Rozwiąż układ równań.

${\begin{cases} \frac{3 x + y}{5} - \frac{2 x + y}{3} = 0, 4 \\ 2 \cdot (x + y) + 3 y = x - 3 \cdot (2 - y) \end{cases}$ .

$\frac{3 x + y}{5} - \frac{2 x + y}{3} = 0, 4 | \cdot 15$ i $2 \cdot (x + y) + 3 y = x - 3 \cdot (2 - y)$

$3 \cdot (3 x + y) - 5 \cdot (2 x + y) = 6$ i $2 x + 2 y + 3 y = x - 6 + 3 y$

$9 x + 3 y - 10 x - 5 y = 6$ i $x + 2 y = - 6$

$- x - 2 y = 6$ i $- 2 y = x + 6 | : (- 2)$

$- 2 y = x + 6 | : (- 2)$ i $y = - \frac{1}{2} x - 3$

$y = - \frac{1}{2} x - 3$ i $y = - \frac{1}{2} x - 3$

$A = (0, - 3)$ , $B = (2, - 4)$

R1Q8AxhwkPMgZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim prostą malejącą. Ma ona dwa punkty A o współrzędnych 0,-3 oraz B o współrzędnych 2,-4

Ćwiczenie 16

Oblicz, dla jakich wartości parametrów $m$ i $n$ , układ równań $\{\begin{cases} 7 x - (3 - 2 m) y = 5 n - 1 \\ - 14 x + 8 y = 7 \end{cases}$ jest nieoznaczony.

$m = - \frac{1}{2}$ , $n = - \frac{1}{2}$ .

Rh7Kli7koR0w11

Ćwiczenie 17

RPcUilAU43P1Q1

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

RTBt49rthxfAA

Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

RblSIDS1WkyBW

R1YjBahUnMSXD2

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

R1bYuSzEyQWuI

Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Rot9RaocEmfSn

Ćwiczenie 22

Zapisz układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na rysunku.

RqGmfpTmlVYjz

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta przechodzi przez wyróżnione punkty: -2;-2, 0;2. Biegnąca z prawej strony prosta biegnie przez następujące wyróżnione punkty: -2;-5, 0;-1. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

$\{\begin{cases} - 2 x + y = 2 \\ - 2 x + y = - 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 23

Rozwiąż graficznie układ równań

$\{\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x + y}{3} = 1 \\ 5 x + 4 y = 4 \cdot (1 + x) + 3 y \end{cases}$ .

$\frac{x + y}{2} - \frac{x + y}{3} = 1 | \cdot 6$ i $5 x + 4 y = 4 \cdot (1 + x) + 3 y$

$3 x + 3 y - 2 x - 2 y = 6$ i $5 x + 4 y = 4 + 4 x + 3 y$

$x + y = 6$ i $4 y - 3 y = 4 + 4 x - 5 x$

$y = - x + 6$ i $y = - x + 4$

$A = (0, 6)$ , $B = (6, 0)$ i $C = (0, 4)$ , $D = (4, 0)$

RGHlHZuPEGimd

Ćwiczenie 24

Oblicz dla jakiego parametru $m$ , układ równań $\{\begin{cases} 6 x + (2 m - 5) y = 5 \\ - 3 x + 4 y = 10 \end{cases}$ jest sprzeczny.

Z $(1)$ :

$6 \cdot 4 - (- 3) (2 m - 5) = 0$

$24 + 3 \cdot (2 m - 5) = 0$

$24 + 6 m - 15 = 0$

$6 m = - 9$

$m = - 1, 5$

Sprawdzenie: z $(2)$ :

$5 \cdot 4 - (10) (2 \cdot (- 1, 5) - 5) = 20 + 8 \cdot 10 \neq 0$ .

(Warunek $(2)$ zachodzi.)

$m = - 1, 5$ .

Polecenie 7

Przedstaw interpretację graficzną układu równań liniowych $\{\begin{cases} - 3 x + y = - 3 \\ x + \frac{1}{2} y = 1 \end{cases}$ .

Odczytaj z rysunku rozwiązanie tego układu. Sprawdź poprawność wyniku.

$- 3 x + y = - 3$ i $x + \frac{1}{2} y = 1$

$y = 3 x - 3$ i $\frac{1}{2} y = - x + 1$

$y = 3 x - 3$ i $y = - 2 x + 2$

R1ay9AesShixr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa wykresy funkcji liniowej. Pierwsza o wzorze y=-2x+2, mająca miejsce zerowe w punkcie jeden oraz przecinająca się z osią y w punkcie dwa. Drugi wykres funkcji liniowej wyrażony został wzorem y=-3x-3. Posiada miejsce zerowe w punkcie jeden oraz przecina się z osią y w punkcie minus trzy. Wykresy przecinają się w punkcie zero jeden.

$\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases}$

Sprawdzenie:

$L_{1} = - 3 x + y = - 3 \cdot 1 + 0 = - 3 = P_{1}$

$L_{2} = x + \frac{1}{2} y = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 = P_{2}$

Odczytana z wykresu para liczb jest rozwiązaniem układu równań.

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 25

Rb8OM7wsEAqGm

R4iKFkYaj4yDC

Ćwiczenie 26

Na rysunku jest przedstawiona interpretacja geometryczna układu równań liniowych.

R19D63H2AfoHF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa wykresy funkcji liniowej. Przecinają się w punkcie dwa i jeden. Jeden z nich ma miejsce zerowe równe pięć.

Rrp793vZK5YRw

Ćwiczenie 27

R12BAJhICwqVS

R15Z7HFN6xoNC

Ćwiczenie 28

Przyciągnij w wyznaczone miejsce pod rysunkiem układ równań, którego interpretacja jest przedstawiona na wykresie.

REjhfctFQwuSU

Na układzie równań zaznaczono dwa wykresy funkcji liniowej. Jeden mający miejsce zerowe w punkcie dwa, a drugi mający przecięcie z osią y w punkcie pięć. Wykresy przecinają się w pierwszej ćwiartce w punkcie cztery przecinek cztery.

R1TlZMI8b5Xpw

Ćwiczenie 29

R4qvstvg8Agz8

RmAc9YrL0iUJd

Połącz w pary oznaczony układ równań z jego opisem interpretacji graficznej. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, dwa y, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, x, minus, dwa y, równa się, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, y, równa się, minus, cztery, koniec równania, drugie równanie, minus, x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie cztery i przecina oś y w punkcie dwa. Druga ma miejsce zerowe równe minus dwa i również przecina oś y w punkcie dwa. Osie przecinają się wzajemnie w punkcie nawias zero przecinek dwa zamknąć nawias., 2. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza ma miejsce zerowe w punkcie minus jeden i przecina oś y w punkcie minus dwa. Druga ma miejsce zerowe równe cztery i również przecina oś y w punkcie minus dwa. Osie przecinają się w punkcie nawias zero przecinek minus dwa zamknąć nawias., 3. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Pierwsza przecina oś y w punkcie 4 i ma miejsce zerowe równe dwa. Druga przecina oś w punkcie minus dwa i również ma miejsce zerowe równe dwa. Wykresy przecinają się w punkcie nawias dwa przecinek dwa zamknąć nawias., 4. Układ współrzędnych przedstawia wykres dwóch funkcji liniowych. Obie maja miejsce zerowe w punkcie minus dwa. Jest to ich punkt przecięcia.

RXVY5eVFswvRX2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Rozwiąż graficznie oznaczony układ równań liniowych

$\{\begin{cases} x + 2 y + 5 = 3 x - y - 2 \\ - 4 x - 2 y + 4 = 2 \cdot (3 - x) - (y + 5) \end{cases}$ .

R1PuW0awk6g3O

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z osią Y od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne proste. Pierwsza określona wzorem y=23x-73 i przebiega między innymi przez punkty 0,-73 oraz 5,1. Druga prosta określona jest wzorem y=-2x+3 i przebiega między innymi przez punkty 1,1 oraz 3,-3. Proste przecinają się w punkcie 2,-1

${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 32

Boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach:

$y + 2 = 0$

$- 3 x + 2 y = - 10$

$y - 1 = 0$

$3 x - 2 y = - 8$

Wyznacz graficznie współrzędne wierzchołków tego równoległoboku.

RBAvbLYgK6Wyp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery proste: dwie poziome i dwie ukośne. Ukośne proste są równoległe. Miejsca przecięcia wszystkich prostych wyznaczają wierzchołki równoległoboku. Są to punkty o współrzędnych -2,1, -4,-2, 2,-2 oraz 4,1

Wierzchołki równoległoboku: $(- 4, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, 1)$ , $(- 2, 1)$ .

RlwBRxQLOT4qV1

Ćwiczenie 33

R4OFHwl6UZoQn2

Ćwiczenie 34

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

to każda para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

oznaczony układ równań (układ równań niezależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

nieoznaczony układ równań (układ równań zależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiązań

sprzeczny układ równań

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania

1. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

M_R_W05_M1 Układ równań liniowych