1. Sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta wypukłego

R1CeCVpAceAlA

Używane obecnie jednostki czasu (godzina równa $60$ minut i minuta równa $60$ sekund) oraz miara kąta (stopień dzieli się na $60$ minut a minuta na $60$ sekund) pochodzą z sześćdziesiątkowego zapisu liczb stworzonego ponad $4$ tysiące lat temu przez Babilończyków.

R17BJ1HM38UH2

W tym materiale określimy kąt jako miarę obrotu i wprowadzimy również pojęcie kąta skierowanego. Wprowadzimy również definicje funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego umieszczonego w układzie współrzędnych.

Twoje cele

Poznasz pojęcie kąta skierowanego.
Wyznaczysz miarę główną kąta skierowanego.
Obliczysz sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta.
Wyznaczysz miarę kąta, znając wartość jego sinusa, cosinusa lub tangensa.

Aby określić miarę kąta, należy zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie stwierdzić, ile razy kąt jednostkowy mieści się w danym kącie. Przypomnijmy podstawowe informacje dotyczące miary stopniowej kąta.

Miara stopniowa. Kąt pełny ma $360$ równych części zwanych stopniami; $1$ stopień to $\frac{1}{360}$ część kąta pełnego. Stopnie dzielimy na minuty $(1 ° = 60')$ minuty na sekundy $(1 ’ = 60 ’ ’)$ .

W mierze stopniowej:

kąt zerowy ma miarę $α = 0 °$ ;
kąt ostry ma miarę $α \in (0 °; 90 °)$ ;
kąt prosty ma miarę $α = 90 °$ ;
kąt rozwarty ma miarę $α \in (90 °; 180 °)$ ;
kat półpełny ma miarę $α = 180 °$ ;
kąt wklęsły ma miarę $α \in (180 °; 360 °)$ ;
kąt pełny ma miarę $α = 360^{\circ}$ .

Kąty, o których wspominaliśmy wyżej, mają miary z przedziału $⟨0 °; 360 °⟩$ .
Liczby, np. $2330^{\circ}$ , $(- 6320 °)$ , $1260 °$ nie były miarami żadnych kątów.
Rozszerzamy więc pojęcie kąta, wprowadzając kąt jako miarę obrotu.

Kąt skierowany

Kąt jako miara obrotu. Kąt płaski, którego jedno ramię wyróżniamy jako początkowe, a drugie jako końcowe, nazywamy kątem skierowanym. Kąt skierowanyKąt skierowanyKąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej o początku w punkcie $O$ . Obrót dookoła punktu $O$ może odbywać się w dwóch kierunkach. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy za dodatni, kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy za ujemny.

RevXZqrKytiP9

Ilustracja przedstawia dwa takie same ramiona tworzące kąt przy wierzchołku O. W pierwszym poprowadzono kąt α z dolnego ramienia do górnego, w drugim poprowadzono kąt -α z górnego ramienia do dolnego.

Niech $α$ będzie kątem skierowanym. Wybierzmy układ współrzędnych $X O Y$ tak, aby wierzchołek kąta $α$ był początkiem tego układu a dodatnia półoś $X$ początkowym ramieniem kąta skierowanego. Półprosta $O P$ jest ramieniem końcowym kąta skierowanego.

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą dodatnią, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

R11smvLbQKU9A

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z punktu O będącego początkiem układu współrzędnych poprowadzono prostą do punktu A znajdującego się w drugiej ćwiartce układu. Od osi X do odcinka poprowadzono kąt o mierze α.

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą ujemną, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara:

RUFOC16piUSrB

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Przypomnijmy najpierw definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

RhrVnIbJTVqoF

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z zaznaczonym po lewo kątem prostym i po prawo kątem alfa. Boki trójkąta opisane są jako: a (pionowy lewy bok), b (podstawa) oraz c (przeciwprostokątna).

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej, czyli przy oznaczeniach jak na rysunku to

\sin α = \frac{a}{c}

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej, czyli przy oznaczeniach jak na rysunku $\cos α = \frac{b}{c}$ .

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej przyległej do kąta, czyli przy oznaczeniach jak na rysunku $tg α = \frac{a}{b}$ .

Jeżeli w prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy dowolny kąt skierowany w położeniu standardowym, czyli wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ w taki sposób, aby jedno ramię pokrywało się z osią $X$ , i wybierzemy na drugim ramieniu tego kąta punkt $M$ o współrzędnych $(x, y)$ , to łącząc punkt $M$ z osią $X$ pod kątem prostym utworzymy trójkąt prostokątny. Zauważmy, że jeśli nasz kąt jest ostry, to długości przyprostokątnych są równe współrzędnym punktu $M$ .

R10fGIKWeToP1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o poziomej osi X i pionowej osi Y. W pierwszej ćwiartce narysowano półprostą rozpoczynającą się w początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych x;y oraz rzutowano go na osie. Rzut pionowy oznaczono jako y, natomiast rzut poziomy znajdujący się na osi X oznaczono jako x. Odcinek od początku układu współrzędnych do punktu M oznaczono jako r. Powstał trójkąt prostokątny o bokach x y r. Kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara pomiędzy bokami x i r wynosi alfa.

Wówczas:

\sin α = \frac{y}{r}, \cos α = \frac{x}{r}, t g α = \frac{y}{x}

gdzie

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

i $r$ nazywamy promieniem wodzącym punktu $M$ .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że tę definicję można rozszerzyć do sytuacji, gdy $α$ jest kątem rozwartym (a nawet wklęsłym). Na przykład jeśli $α$ jest kątem rozwartym – jak na rysunku poniżej, to

R14O1m0grHX0K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi pionowej Y i osi poziomej X. Układ nie posiada podziałki. W drugiej ćwiartce znajduje się półprosta zaczynająca się od początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych x;y. Półprosta jest nachylona do osi X pod kątem alfa. Punkt M rzutowano na obie osie. Rzuty utworzyły trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej y, poziomej przyprostokątnej x, która znajduje się na osi X oraz przeciwprostokątnej r.

funkcje trygonometryczne dowolnego kąta definiujemy następująco:

\sin α = \frac{y}{r}, \cos α = \frac{x}{r}, t g α = \frac{y}{x} d l a x \neq 0

gdzie

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Przykład 1

Na jednym z ramion kąta rozwartego $β$ zaznaczono punkt $S$ o współrzędnych $(- 4, 6)$ . Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $β$ .

RwpqGec5lXsAx

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do ośmiu. Z początku układu współrzędnych poprowadzony został odcinek o długości r, ograniczony lewostronnie punktem S -4; 6. Pozioma oś X oraz odcinek o długości r stanowią ramiona kąta beta.

Do obliczenia wartości funkcji potrzebna jest nam długość promienia wodzącego. Zatem:

$r = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$ .

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych uzyskujemy:

$\sin β = \frac{6}{\sqrt{52}} = \frac{3 \sqrt{52}}{26}$ ,

$\cos β = \frac{- 4}{\sqrt{52}} = \frac{- \sqrt{52}}{13}$ ,

$tg β = \frac{6}{- 4} = - \frac{3}{2}$ .

Obliczając wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $120 °$ i $150 °$ , wykorzystamy trójkąt równoboczny o boku $r$ :

RUutl1abXyIPV

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Został on podzielony na pół wzdłuż pionowej wysokości opuszczonej na poziomą podstawę z górnego wierzchołka. Powstał trójkąt prostokątny, jego przyprostokątne to pionowa wysokość trójkąta równoramiennego oraz połowa poziomej podstawy trójkąta równoramiennego, przeciwprostokątna to prawe ramię trójkąta równoramiennego. Trójkąt prostokątny zamalowano kolorem pomarańczowym oraz zaznaczono długości boków: przeciwprostokątna ma długość r, przyprostokątne zamalowanego trójkąta wynoszą 12 r oraz 32 r. Zaznaczono również kąty: pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną wynosi 60 stopni, pomiędzy dłuższą przyprostokątną a przeciwprostokątną wynosi 30 stopni, kąt prosty znajduje się pomiędzy dłuższą przyprostokątną a krótszą przyprostokątną.

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta $120 °$

Umieszczamy trójkąt równoboczny odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: $120 ° = 180 ° - 60 °$ :

R1YsPhVjYmRoC

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą na układzie współrzędnych bez podziałki. Układ współrzędnych posiada poziomą oś X i pionową oś Y. Półprosta znajduje się w drugiej ćwiartce. Półprosta zaczyna się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych oraz jest nachylona pod kątem 120 stopni do dodatniej półosi O X. Na półprostej oznaczono punkt P o współrzędnych x; y. Punkt ten zrzutowano, a rzuty utworzyły trójkąt prostokątny o następujących bokach: przeciwprostokątna O P opisana jako odcinek r, pozioma przyprostokątna o długości r2, leżąca na ujemnej półosi O X oraz pionowa przyprostokątna o długości r32. Trójkąt ten wypełniono kolorem pomarańczowym. Z punktu P poprowadzono również linią przerywaną ukośny odcinek do ujemnej półosi O X nachylony pod kątem 60 stopni. Odcinek ten wraz odcinkiem O P i odcinkiem leżącym na ujemnej półosi O X pomiędzy nimi tworzą wspólnie trójkąt równoboczny o boku o długości r.

Punkt $P$ o promieniu wodzącym równym $r$ , leżący na ramieniu końcowym kąta $120 °$ ma współrzędne: $x = \frac{- r}{2}$ i $y = \frac{r \sqrt{3}}{2}$ , tj. $P = (\frac{- r}{2}; \frac{r \sqrt{3}}{2})$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:

\sin 120 ° = \frac{y}{r} = \frac{\frac{r \sqrt{3}}{2}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 120 ° = \frac{x}{r} = \frac{\frac{- r}{2}}{r} = - \frac{1}{2}

tg 120 ° = \frac{y}{x} = \frac{\frac{r \sqrt{3}}{2}}{\frac{- r}{2}} = - \sqrt{3}

Tangens $120 °$ możemy również wyliczyć stosując poznany wcześniej związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

tg 120 ° = \frac{\sin 120 °}{\cos 120 °} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 1}{2}} = - \sqrt{3}

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta $150 °$

Umieszczamy trójkąt równoboczny odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: $150 ° = 180 ° - 30 °$ :

R1JNfdJpiZ6t2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez przedziałki, z osią poziomą X, osią pionową Y oraz punkt O to początek układu. W drugiej ćwiartce tego układu znajduje się ukośna półprosta o początku w punkcie O. Półprosta jest nachylona pod kątem 150 stopni do dodatniej półosi O X. Na półprostej zaznaczono punkt P o współrzędnych x;y oraz rzutowano go. Rzut utworzył trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej O P oznaczonej jako r, pionowej przyprostokątnej o długości r2 oraz poziomej przyprostokątnej o długości r32. Trójkąt pokolorowano kolorem pomarańczowym. Z punktu O poprowadzono ukośną linię przerywaną. Znajduje się ona w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Przerywaną linią przedłużono krótszą przyprostokątną pomarańczowego trójkąta w kierunku ujemnej półosi O Y. Dwie linie przerywane spotkały się w jednym miejscu, kąt pomiędzy nimi wynosi 60 stopni.

Punkt $P$ o promieniu wodzącym równym $r$ , leżący na ramieniu końcowym kąta $150 °$ ma współrzędne: $x = - \frac{r \sqrt{3}}{2}$ i $y = \frac{r}{2}$ , tj. $P = (\frac{- r \sqrt{3}}{2}; \frac{r}{2})$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:

\sin 150 ° = \frac{y}{r} = \frac{\frac{r}{2}}{r} = \frac{1}{2}

\cos 150 ° = \frac{x}{r} = \frac{\frac{- r \sqrt{3}}{2}}{r} = - \frac{\sqrt{3}}{2}

tg 150 ° = \frac{y}{x} = \frac{\frac{r}{2}}{\frac{- r \sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot \sqrt{3}}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

Tangens $150 °$ możemy również wyliczyć korzystając ze wzoru: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

tg 150 ° = \frac{\sin 150 °}{\cos 150 °} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{- \sqrt{3}}{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}} = \frac{- \sqrt{3}}{3}

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta $135 °$

Obliczając wartości funkcji trygonometrycznych kąta $135 °$ wykorzystamy kwadrat o przekątnej długości „ $r$ ”. Bok takiego kwadratu ma długość $\frac{r \sqrt{2}}{2}$ .

R99HoFi3xGvMT

Ilustracja przedstawia kwadrat podzielony na pół po przekątnej r. Górny i prawy bok narysowano linią przerywaną, natomiast część figury ograniczoną lewym bokiem, dolnym bokiem oraz przeciwprostokątną zamalowano na pomarańczowo. Część ta to trójkąt prostokątny o przekątnej długości r. Przyprostokątne mają długość r22. Kąt pomiędzy bokiem trójkąta a przeciwprostokątną jest równy 45 stopni.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy bowiem:

a^{2} + a^{2} = r^{2}

2 a^{2} = r^{2}

a^{2} = \frac{r^{2}}{2}

więc

a = \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{r \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{r \sqrt{2}}{2}

Umieszczamy kwadrat odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: $135 ° = 180 ° - 45 °$ :

RgeNL5FhteJow

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki oraz ukośną półprostą zawartą w drugiej ćwiartce. Układ współrzędnych ma poziomą oś X i pionową oś Y. Punkt O to początek układu współrzędnych, natomiast punkt P to punkt leżący na półprostej o współrzędnych x;y. Półprosta ma swój początek w punkcie O oraz jest nachylona pod kątem 135 stopni do dodatniej półosi O X. Wykonano rzutowanie punktu P na osie układu współrzędnych. Powstał kwadrat, przedzielony przekątną O P. Zamalowano dolną część, czyli trójkąt prostokątny kolorem pomarańczowym. Zaznaczono długości boków powstałego trójkąta: przyprostokątne mają równą długość, wynoszą r22, natomiast przeciwprostokątna wynosi r.

Punkt $P$ o promieniu wodzącym równym $r$ , leżący na ramieniu końcowym kąta $135 °$ ma współrzędne: $x = - \frac{r \sqrt{2}}{2}$ i $y = \frac{r \sqrt{2}}{2}$ , tj. $P = (\frac{- r \sqrt{2}}{2}; \frac{r \sqrt{2}}{2})$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy:

\sin 135 ° = \frac{y}{r} = \frac{\frac{r \sqrt{2}}{2}}{r} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 135 ° = \frac{x}{r} = \frac{\frac{- r \sqrt{2}}{2}}{r} = - \frac{\sqrt{2}}{2}

tg 135 ° = \frac{y}{x} = \frac{\frac{r \sqrt{2}}{2}}{\frac{- r \sqrt{2}}{2}} = - 1

Tangens $135 °$ możemy również wyliczyć korzystając ze wzoru: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

tg 135 ° = \frac{\sin 135 °}{\cos 135 °} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{- \sqrt{2}}{2}} = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = - 1

Zbierzmy wyliczone wartości funkcji w tabeli:

R1C6S76PK8HKO

Ilustracja przedstawia tabelę wartości sinusa, cosinusa oraz tangensa dla 120 stopni, 135 stopni i 150 stopni. Sinus 120 stopni wynosi początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus 135 stopni wynosi początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus 150 stopni wynosi początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Cosinus 120 stopni wynosi minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, cosinus 135 stopni wynosi minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, cosinus 150 stopni wynosi minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Tangens 120 stopni wynosi minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, tangens 135 stopni wynosi minus 1, tangens 150 stopni wynosi minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka.

Przykład 2

Punkt $P = (- 1; y)$ leży na końcowym ramieniu kątaramię końcowe kąta skierowanegokońcowym ramieniu kąta $120 °$ . Obliczymy drugą współrzędną tego punku.

Rozwiązanie

Oznaczymy przez $r$ długość promienia wodzącego punktu $P$ .

Ponieważ znamy wartość odciętej punktu $P$ , to korzystamy z definicji cosinusa: $\cos 120 ° = \frac{x}{r}$ .

Mamy więc $\frac{x}{r} = - \frac{1}{2}$ i $x = - 1$ , zatem $\frac{- 1}{r} = - \frac{1}{2}$ , więc $r = 2$ .

Do wyznaczenia wartości rzędnej punktu $P$ wykorzystamy definicję sinusa kąta: $\sin 120 ° = \frac{y}{r}$ .

Mamy więc $\frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $r = 2$ , co daje: $\frac{y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd $y = \sqrt{3}$ .

Współrzędną „ $y$ ” możemy wyznaczyć także ze wzoru: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Po jego przekształceniu otrzymamy: $y^{2} = r^{2} - x^{2}$ . Podstawiając $x = - 1$ i $r = 2$ otrzymamy:

$y^{2} = 2^{2} - {(- 1)}^{2} = 3$ .

Są dwie liczby których kwadrat wynosi $3$ :

$\sqrt{3}$ i $- \sqrt{3}$

a ponieważ punkt $P$ znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, gdzie $y > 0$ , więc $y = \sqrt{3}$ .

Odpowiedź:

Druga współrzędna punktu $P$ wynosi $\sqrt{3}$ .

Przykład 3

Punkt $P = (x; y)$ leży na końcowym ramieniu kąta $135 °$ . Wiedząc, że promień wodzący tego punktu: $r = 3 \sqrt{2}$ , obliczymy współrzędne punktu $P$ .

Rozwiązanie

Ponieważ znamy długość promienia wodzącego punktu $P$ , to do wyznaczenia wartości rzędnej tego punktu wykorzystamy definicję funkcji sinus: $\sin 135 ° = \frac{y}{r}$ .

Skoro $r = 3 \sqrt{2}$ , to zachodzi równość $\frac{y}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Po przekształceniu otrzymujemy, że $y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \sqrt{2}$ , czyli $y = \frac{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ .

Do wyznaczenia wartości odciętej punktu $P$ wykorzystamy definicję cosinusa: $\cos 135 ° = \frac{x}{r}$ .

Mamy zatem $\frac{x}{3 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , więc po przekształceniu otrzymujemy, że:

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \sqrt{2} = - \frac{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \cdot 2}{2} = - 3$

Ostatecznie: $P = (- 3; 3)$ .

Inne sposoby wyznaczenia współrzędnej „ $x$ ”:

Znając wartość $y$ możemy wyliczyć wartość $x$ również ze wzoru: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Po przekształceniu wzoru otrzymamy: $x^{2} = r^{2} - y^{2}$ , a podstawiając $y = 3$ i $r = 3 \sqrt{2}$ otrzymujemy:

$x^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} - {(3)}^{2} = 18 - 9 = 9$

Są dwie liczby, których kwadrat wynosi $9$ : $3$ i $(- 3)$ , a ponieważ w drugiej ćwiartce układu współrzędnych $x < 0$ , więc $x = - 3$ .

Możemy również wykorzystać fakt, że przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym są równe, więc $x = - y$ (bo w $II$ ćwiartce układu współrzędnych $x < 0$ ), czyli $x = - 3$ .

Odpowiedź:

$P = (- 3; 3)$ .

Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia: $\frac{\sqrt{3} \cos 150 ° + \sqrt{2} \sin 135 °}{{tg}^{2} 150 °}$ .

Rozwiązanie

$\frac{\sqrt{3} \cos 150 ° + \sqrt{2} \sin 135 °}{{tg}^{2} 150 °} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{{(\frac{- \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\frac{- 3}{2} + \frac{2}{2}}{\frac{3}{9}} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{2} \cdot 3 = - \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia wynosi $(- \frac{3}{2})$ .

Przykład 5

Obliczymy wartość ułamka: $\frac{9 \sin 150 ° + 4 \cos 120 °}{3 \sin 150 ° - 2 \cos 120 °}$ .

Rozwiązanie

$\frac{9 \sin 150 ° + 4 \cos 120 °}{3 \sin 150 ° - 2 \cos 120 °} = \frac{9 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot (\frac{- 1}{2})}{3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot (\frac{- 1}{2})} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{4}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$

Odpowiedź:

Wartość ułamka wynosi $1$ .

Aplet

Zapoznaj się z symulacją interaktywną i wykonaj polecenia poniżej.

RnzI6s61DQzeH

Polecenie 1

Wykorzystaj symulację interaktywną. Zmieniaj współrzędne punktu znajdującego się na ramieniu rozważanego kąta, zaznaczając ten punkt na układzie współrzędnych i obserwuj, jak zmieniają się wartości funkcji trygonometrycznych odpowiadającego kąta $β$ . Co można powiedzieć o wartościach przyjmowanych przez funkcje trygonometryczne kątów $β_{1}$ , $β_{2}$ w sytuacji, gdy punkty $(0, 0)$ , $(a_{1}, b_{1})$ , $(a_{2}, b_{2})$ są współliniowe?

Współliniowość punktów $(0, 0)$ , $(a_{1}, b_{1})$ , $(a_{2}, b_{2})$ oznacza, że ramiona kątów $β_{1}$ , $β_{2}$ się pokrywają.

W szczególności oznacza to, że muszą być one równe, tj. $β_{1} = β_{2}$ .

Polecenie 2

Wykorzystaj symulację interaktywną w celu znalezienia takiego punktu $(a, b)$ dla którego:

a) $\sin β = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ i $a > 0$ ,

b) $\cos β = - \sin β$ i $b < 0$ ,

c) $tg β$ nie istnieje i $b = 3$ ,

d) $- \sin β = 2 \cos β$ i $b > 0$ .

a) np. $(2, 3)$

b) np. $(2, - 2)$

c) $(0, 3)$

d) np. $(- 2, 4)$

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją prezentującą wyznaczanie z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kątów $120 °$ , $135 °$ , $150 °$ . Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

RNvu7N61OvvfD

Polecenie 4

Punkt $P = (x, y)$ leży na końcowym ramieniu kąta $150 °$ . Wiedząc, że długość promienia wodzącego $r = 4$ , oblicz współrzędne punktu $P$ .

Zauważmy że: $\sin 150 ° = \sin (180 ° - 30 °) = \sin 30 ° = \frac{1}{2}$

Zatem: $\frac{y}{r} = \frac{1}{2}$ , co daje: $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Analogicznie: $\cos 150 ° = - \cos 30 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , co daje: $\frac{x}{r} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ i ostatecznie: $x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = - 2 \sqrt{3}$ .

$P = (- 2 \sqrt{3}, 2)$ .

Polecenie 5

Oblicz bez użycia tablic: $\frac{\sin^{2} 120 ° \cdot \cos 150 °}{tg 135 ° \cdot tg 60 °}$ .

$\frac{\sin^{2} 120 ° \cdot \cos 150 °}{tg 135 ° \cdot tg 60 °} = \frac{\sin^{2} 60 ° \cdot (- \cos 30 °)}{(- tg 45 °) \cdot tg 60 °} = \frac{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})}{- 1 \cdot \sqrt{3}} =$

$= \frac{\frac{3}{4} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})}{- \sqrt{3}} = \frac{- 3 \sqrt{3}}{- 8 \sqrt{3}} = \frac{3}{8}$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Rd7BVq9EzMxNl1

Ćwiczenie 1

R2bbRC7mu4cau1

Ćwiczenie 2

R1Qe5g3HD40Ro2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Wiemy, że $S = (- 3 \frac{1}{2}, - 2)$ .

RTwYNpDVFzhFT

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus trzech do czterech. Z początku układu współrzędnych poprowadzony został odcinek ograniczony lewostronnie punktem S o współrzędnych -3,5; -2. Pozioma oś X w pierwszej ćwiartce oraz odcinek ograniczony punktem S są ramionami kąta alfa.

R6YiIVFq7xABg

Ćwiczenie 5

R1UXcMgImMSln

R1T0dMKNNjJB1

Ćwiczenie 6

Wiedząc, że punkt $P = (- 5, 3)$ oblicz wartość poniższego wyrażenia:
$68 \cos α - \frac{15}{27} tg α + 113 \frac{1}{3} \sin α$ .

R1NvOrZ8gf9er

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jedynki do czterech. Z początku układu współrzędnych poprowadzony został odcinek ograniczony lewostronnie punktem P o współrzędnych -5; 3. Pozioma oś X w pierwszej ćwiartce oraz odcinek ograniczony punktem P są ramionami kąta alfa.

R1K7g82yuCo3S

RKm5aRXKQgGbG2

Ćwiczenie 7

R7mOIjNQDaOCw2

Ćwiczenie 8

R1bRWU4dFYQct2

Ćwiczenie 9

RaQbIEwqDdbpx3

Ćwiczenie 10

R1eKIDyJR6Fue1

Ćwiczenie 11

RTApHKejXFhf82

Ćwiczenie 12

RIyu7YfjTlPIo2

Ćwiczenie 13

R1V1QB6RmfX4V1

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RA5zvkNgaRZ0P

RhObjlH9dAxk4

RqWdt1E5oD8NJ

R17TH8GvqJAvX

Słownik

promień wodzący punktu

odległość punktu od początku układu współrzędnych

kąt skierowany

para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego

ramię końcowe kąta skierowanego

drugie ramię kąta skierowanego

sinus kąta skierowanego

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$ , definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym

cosinus kąta skierowanego

stosunek odciętej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$ ; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym

tangens kąta skierowanego

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do odciętej punktu $M$ ; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym oraz by drugie ramię kąta nie zawierało się w osi $Y$

2. Wzory redukcyjne i tożsamości trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta