Już wiesz

Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość.

Przykład 1

Korzystając z linijki i cyrkla, skonstruuj trójkąt równoboczny.
Opis konstrukcji.

Rysujemy odcinek $AB$ – jeden z boków trójkąta.
Z punktów $A$ i $B$ kreślimy cyrklem okręgi o promieniu $AB$ .
Okręgi te przecinają się w dwóch punktach. Jeden z tych punktów oznaczamy $C$ , będzie to trzeci wierzchołek kreślonego trójkąta.
Rysujemy odcinki $AC$ i $BC$ .
Otrzymaliśmy trójkąt $ABC$ o równych bokach, zatem trójkąt równoboczny.

R1FPLUOlD5MQs1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8JHriGCyfvOu1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9htf2aSJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Konstrukcja kąta o mierze 60°, kąta o mierze 30° oraz kąta o mierze 15°

Przypomnijmy, że w trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę $60 ° .$
Jeśli chcemy uzyskać kąt o mierze $60 °,$ wystarczy skonstruować trójkąt równoboczny.

Przykład 2

Skonstruujemy kąt o mierze $60 ° .$
Opis konstrukcji.

Konstruujemy trójkąt równoboczny.
Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę $60 ° .$

RX57jCanJdVHJ1

Przykład 3

Skonstruujemy kąt o mierze $30 ° .$
Opis konstrukcji.
Konstruujemy trójkąt równoboczny.

Zaznaczamy jeden z kątów tego trójkąta. Jest to kąt trójkąta równobocznego, ma więc miarę $60 ° .$
Konstruujemy dwusieczną zaznaczonego kąta.
Dwusieczna podzieliła kąt o mierze $60 °$ na dwa równe kąty. Każdy z tych kątów ma więc miarę $30 ° .$ Zaznaczamy jeden z otrzymanych kątów, jest to szukany kąt.

RbHYcJwmFPA8p1

Rn5d60Y1CSxuu1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9htf2aSJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 4

Konstrukcja kąta o mierze $15 °$ .

R1Zha7WxiDNUF1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9htf2aSJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 5

RWrDDCNROidnr1

iMYjYKtayo_d5e207

Konstrukcja kąta o mierze 45°

Przykład 6

Skonstruujemy kąt o mierze $45 ° .$ Kąt ten znajdziemy jako połowę kąta prostego, czyli kąta o mierze $90 ° .$
Opis konstrukcji.

Konstruujemy dwie proste prostopadłe.
Oznaczamy $A$ – punkt przecięcia narysowanych prostych.
Otrzymaliśmy $4$ kąty proste, każdy o wierzchołku w punkcie $A$ .
Z punktu $A$ kreślimy okrąg o dowolnym promieniu.
Oznaczmy $B$ , $C$ – punkty przecięcia okręgu z ramionami jednego z kątów.
Z punktów $B$ i $C$ kreślimy okręgi o dowolnych promieniach tak, aby te okręgi przecięły się. Oznaczamy $D$ – punkt przecięcia okręgów, leżący we wnętrzu kąta $ABC$ .
Rysujemy półprostą $AD$ – dwusieczną kąta $BAC$ .
Półprosta $AD$ podzieliła kąt $BAC$ na dwa kąty o równych miarach. Zatem miara jednego z tych kątów, np. $BAD$ jest równa $45 °$ $(90 ° : 2 = 45 °) .$
Szukanym kątem jest kąt $BAD$ .

RqvZXLmpREORh1

Suma i różnica kątów

Konstruując kąty o mierze $30 °$ i o mierze $45 °$ , należało kąty o miarach odpowiednio $60 °$ i $90 °$ podzielić na dwa kąty równe. Można też zbudować kąty, których konstrukcja wymaga dodawania kątów.
Nim przejdziemy do takich konstrukcji, poznamy sposób konstrukcji kąta przystającego do danego (czyli kąta o takiej samej mierze).

Przykład 7

Dany jest kąt $α$ . Skonstruujemy kąt przystający do tego kąta.
Opis konstrukcji

Oznaczamy $A$ – wierzchołek kąta $α$ .
Z punktu $A$ kreślimy okrąg o dowolnym promieniu $r .$
Oznaczamy: $C, B$ – punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta $α .$
Rysujemy półprostą, która będzie jednym z ramion kąta przystającego do kąta $α$ .
Oznaczmy literą $K$ początek tej półprostej.
Z punktu $K$ kreślimy okrąg o promieniu r.
Oznaczamy: $M$ – punkt przecięcia okręgu z półprostą.
Z punktu $M$ kreślimy okrąg o promieniu $CB$ .
Oznaczamy: $N$ – punkt przecięcia otrzymanych okręgów.
Rysujemy półprostą $KN$ – jest to drugie ramię szukanego kąta.
Kąt $MKN$ jest kątem przystającym do kąta $α$ .

RYBDTjbdKMmn61

Przykład 8

Dane są kąty $α, β$ . Skonstruujemy kąt, który będzie sumą kątów $α$ i $β$ .
Opis konstrukcji

Rysujemy półprostą $WK$ .
Konstruujemy kąt przystający do kąta $α$ tak, aby jego wierzchołkiem był punkt $W,$ a jednym z jego ramion była półprosta $WK$ .
Na drugim ramieniu otrzymanego kąta zaznaczamy dowolny punkt $P$ , różny od punktu $W$ .
Konstruujemy kąt przystający do kąta $β$ o wierzchołku w punkcie $W$ tak, aby jednym z ramion kąta była półprosta $WP .$
Na drugim ramieniu kąta przystającego do kąta $β$ obieramy dowolny punkt $R$ – różny od punktu $W .$
Kąt $KWR$ jest sumą kątów $α, β .$

RI5gnb9IhHPUI1

Przykład 9

Skonstruujemy kąt o mierze $75 ° .$ Wykorzystajmy konstrukcję sumy kątów:

75 ° = 45 ° + 30 °

Opis konstrukcji

Konstruujemy kąt $BAC$ o mierze $45 ° .$
Konstruujemy kąt $CAD$ o mierze $30 °,$ tak aby kąt $BAD$ był sumą kątów $BAC$ i $CAD$ .
Kąt $BAD$ jest sumą kątów o miarach $45 °$ i $30 °,$ jego miara jest równa $75 ° .$

R8NppjLG5zYgC1

iMYjYKtayo_d5e386

Ćwiczenie 1

Skonstruuj kwadrat, którego

bok ma długość $4 cm$
obwód jest równy $12 cm$

Ćwiczenie 2

W jaki sposób, mając narysowany kwadrat, uzyskać kąt o mierze $45 °$ ?

Ćwiczenie 3

Skonstruuj trójkąt równoboczny o boku długości

$3,5 cm$
$4 cm$
$x$

Ćwiczenie 4

Dany jest kąt o mierze $90 °$ i kąt o mierze $60 ° .$ Skonstruuj kąt

$α = 150 °$
$β = 30 °$
$γ = 120 °$

Wskazówka

Wykonaj konstrukcję sumy kątów o miarach $90 °$ oraz $60 °$ .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $60 ° .$
Wykonaj konstrukcję sumy kątów o miarach $90 °$ oraz $30 °$ .

Ćwiczenie 5

Skonstruuj trójkąt

prostokątny równoramienny
prostokątny, którego kąty ostre mają miary $30 °$ i $60 °$
którego jeden z kątów ma miarę $120 °$

Wskazówka

Narysuj kwadrat oraz przekątną w tym kwadracie.
Narysuj trójkąt równoboczny i jego wysokość.
Wykonaj konstrukcję kąta o mierze $120 °,$ jako sumę kątów o miarach $90 °$ oraz $30 °$ .

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rdr91EbGwCr6r

static

Ćwiczenie 7

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt $α = 30 °,$ korzystając z własności

symetralnej boku trójkąta
wysokości trójkąta

Ćwiczenie 8

Narysuj trójkąt równoboczny. Skonstruuj kąt $α = 120 °,$ korzystając z

własności kątów przyległych
sumy odpowiednich kątów

Wskazówka

Każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę $60 °$ , kąt do niego przyległy ma miarę $120 °$ ,
Wykonaj konstrukcję kąta o mierze $120 °$ jako sumę kątów o mierze $60 °$ .

Ćwiczenie 9

Skonstruuj kąt

$β = 270 °$
$γ = 30 °$
$α = 15 °$

Wskazówka

Wykonaj konstrukcję kąta o mierze $270 °$ jako sumę kątów o mierze $180 °$ i $90 °$ .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $60 °$ .
Wykonaj konstrukcję dwusiecznej kąta o mierze $30 °$ .

Ćwiczenie 10

Skonstruuj

dowolny trójkąt równoramienny
trójkąt o bokach długości $3 cm$ , $3 cm$ , $4 cm .$

Ćwiczenie 11

Zbuduj trójkąt równoramienny o podstawie długości $6 cm$ , w którym kąt między ramionami ma miarę $60 ° .$

Wskazówka
Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości $6 cm .$

Ćwiczenie 12

Zbuduj dowolny trójkąt prostokątny, w którym miary kątów ostrych pozostają w stosunku $1 : 2$ .

Ćwiczenie 13

Zbuduj romb

o boku długości $5 cm$ i kącie ostrym $60 °$
o boku długości $a$

Wskazówka

Narysuj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku długości $5 cm$ , połączone podstawami.
Narysuj dwa jednakowe trójkąty równoboczne o boku o boku długości $a$ , połączone podstawami.

Ćwiczenie 14

Zbuduj trójkąt, w którym jeden z boków ma długość $10 cm$ . Kąt o mierze $60 °$ jest przyległy do tego boku. Część dwusiecznej tego kąta zawarta w trójkącie ma długość $15 cm$ .

Wskazówka
Zauważ, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny i jego wysokość jest równa $8 cm$ . Skonstruuj kąty o mierze $30 °$ i $60 °$ tak, by miały wspólny wierzchołek i jedno ramię. Otrzymasz kąt prosty. Na ramieniu kąta $30 °$ , które nie jest wspólne, zaznacz odcinek długości $8 cm$ . Zbuduj prostokąt . Bok szukanego trójkąta jest przekątną tego prostokąta.

Ćwiczenie 15

Skonstruuj trójkąt równoramienny $ABC$ , wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku $A$ wynosi $60 °,$ a długość dwusiecznej tego kąta zawartej w trójkącie jest równa $8 cm .$

Wskazówka
Zauważ, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny i jego wysokość jest równa $8 cm$ . Skonstruuj kąt $PAD$ o mierze $30 °$ stopni. Na półprostej $AD$ zaznacz odcinek $AK$ długości $8 cm$ . Z punktu $K$ poprowadź prostopadłą do półprostej $AP$ . Punkt przecięcia tej prostej z półprostą $AP$ oznacz $C$ . Odcinek $AC$ jest bokiem szukanego trójkąta.

Ćwiczenie 16

Zbuduj trapez, wiedząc, że jedna z jego podstaw ma długość $4 cm$ i kąty przy tej podstawie mają miary $60 °$ i $45 ° .$

Wskazówka
Narysuj odcinek $AB$ o długości $4 cm$ . Skonstruuj kąt o mierze $60 °$ o wierzchołku $A$ i ramieniu $AB$ . Skonstruuj kąt o mierze $45 °$ o wierzchołku $B$ i ramieniu $BA$ . Skonstruuj odcinek równoległy do odcinka $AB$ , przecinający ramiona kątów.

Ćwiczenie 17

Dane są kąty $α$ i $β$ , gdzie $β < α$ . Skonstruuj kąt

$2 α$
$3 α$
$α - β$

Wskazówka

wykonaj konstrukcję sumy kątów $\propto + \propto$ .
wykonaj konstrukcję sumy kątów $(α + α) + α$ ,
narysuj kąt $α$ , następnie kąt $β$ tak, by miał wspólny wierzchołek i jedno ramię z kątem $α$ , a drugie ramię znajdowało się wewnątrz kąta $α$ .

Ćwiczenie 18

Zbuduj trapez

prostokątny
równoramienny o kątach $α$ oraz $2 α$

Wskazówka:

Narysuj prostokąt $ABCD$ . Na przedłużeniu boku $AB$ zaznacz punkt $E$ . Połącz punkty $C$ i $E$ .
Narysuj trójkąt równoboczny o boku $a$ , zaznacz wysokość trójkąta $h$ , zbuduj prostokąt o bokach $\frac{a}{2}$ oraz $h$ , następnie na boku prostokąta $h$ zbuduj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h$ , oraz $\frac{a}{2}$ .

Dwusieczna kąta

Okrąg opisany na trójkącie

Konstrukcje kątów o miarach 15°, 30°, 45°, 60°

Konstrukcja kąta o mierze 60°, kąta o mierze 30° oraz kąta o mierze 15°

Konstrukcja kąta o mierze 45°

Suma i różnica kątów