Minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval

R1SI3r42jhkfA

Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Learning objectives

You will develop the competencies: communicating in English, mathematical and basic scientific‑technical and IT competence, the learning skills.

You will understand how to determine the minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval.

Learning effect

You determine the minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval.

You find arguments for which the function takes on the minimum and maximum value.

RR18d8rCDGMro1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Remind properties of the quadratic functionquadratic functionquadratic function you have learned so far. The goal of the lesson is to learn how to determine the minimum and maximum value of the quadratic function in a closed intervalclosed intervalclosed interval.

Rjy2HJyUnbD011

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Consider in which case the quadratic function reaches the minimum/maximum value and what formula can describe it. Draw a conclusion.

Conclusion:
The quadratic functionquadratic functionquadratic function: $y = a x^{2} + b x + c$ , where $a \neq 0$ , $x \in R$ ,

for $a > 0$ reaches at the point $x = \frac{- b}{2 a}$ , the minimum value of $\frac{- ∆}{4 a}$

RJIdNgDcy0NAQ1

Rysunek przedstawia przykładową funkcję kwadratową dla a większego od zera. Funkcja znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są współrzędne wierzchołka paraboli, w tym punkcie funkcja osiąga swoją najmniejszą wartość. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

for $a < 0$ reaches at the point $x = \frac{- b}{2 a}$ , the maximum value of $\frac{- ∆}{4 a}$

RBJf7PKN7nhao1

Rysunek przedstawia przykładową funkcję kwadratową dla a mniejszego od zera. Funkcja znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są współrzędne wierzchołka paraboli, w tym punkcie funkcja osiąga swoją największą wartość. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Task 1

RicxTzcLFuXBX1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Consider how to determine the minimum and maximum value of the quadratic functionquadratic functionquadratic function in a closed intervalclosed intervalclosed interval. The material contained on the applet will help you. Analyse it carefully, draw a conclusion and create a corresponding algorithm.

RjUUieUWtI3EB

Minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RUcRwpxtW6IDI

Po lewej stronie rysunku znajdują się napisy: Minimum and maximum of the quadratic function in the closed interval. Wzór funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się x do kwadratu, odjąć x odjąć trzy. Zaznaczone są trzy pola decyzyjne. Obok nich umieszczone są polecenia. Polecenie pierwsze: show the interval, przedział obustronnie domknięty od minus jeden, przecinek, do trzech. Polecenie drugie: show the parabola vertex. Polecenie trzecie: show the part of the graph in the interval. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi poziomej umieszczone są liczby całkowite od minus sześć do dwunastu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi pionowej umieszczone są liczby od minus osiemnastu do dziesięciu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola będąca wykresem funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się x do kwadratu, odjąć x odjąć trzy. Wierzchołek paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, ramiona skierowane są do góry. Na osi poziomej zaznaczony jest przedział domknięty, minus jeden, przecinek, trzy. Wierzchołek paraboli oznaczony jest wielką literą V. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli znajduje się wewnątrz wybranego przedziału. Zaznaczony jest fragment wykresu paraboli odpowiadający wybranemu przedziałowi. — Minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval - 1
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1e2X6tBm4ObV

Polecenie pierwsze: show the interval, przedział obustronnie domknięty od minus jeden, przecinek, do trzech. Polecenie drugie: show the parabola vertex. Polecenie trzecie: show the part of the graph in the interval. Niżej napis Show oraz kolejne zaznaczone są trzy pola decyzyjne wraz z poleceniami. Polecenie czwarte: the value of the function at the left end of the interval. Polecenie piąte: the value of the function at the right end of the interval. Polecenie szóste: the second coordinate of the parabola vertex. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi poziomej umieszczone są liczby całkowite od minus sześć do dwunastu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi pionowej umieszczone są liczby od minus osiemnastu do dziesięciu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola będąca wykresem funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się minus x do kwadratu, odjąć x odjąć trzy. Wierzchołek paraboli znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, ramiona skierowane są w dół. Na osi poziomej zaznaczony jest przedział domknięty, minus dwa, przecinek, cztery. Wierzchołek paraboli oznaczony jest wielką literą V. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli znajduje się wewnątrz wybranego przedziału. Zaznaczony jest fragment wykresu paraboli odpowiadający obranemu przedziałowi. Obok wykresu funkcji umieszczone są następujące informacje: druga współrzędna wierzchołka paraboli – y, indeks dolny, wielka litera V, równa się minus dwa, kropka, siedem oraz wartość funkcji w lewym końcu przedziału – y, indeks dolny, jeden, równa się f, nawias zwykły, w nawiasie minus dwa, poza nawiasem, równa się minus pięć. — Minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval - 2
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RjGBuzvuukmiD1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The minimum/maximum value of the quadratic function in a closed interval is at the one of the edges of this interval or in the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola, which is the graph of this function (only if the vertex belongs to this interval).

R1GFpO8a6G9bn1

Schemat przedstawia algorytm wyznaczania największej/najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. Schemat blokowy rozpoczyna się elementem z napisem start w kształcie prostokąta z zaokrąglonymi rogami. Od elementu startowego wychodzi strzałka w dół prowadząca do prostokąta, w którym znajdują się informacje: Find the values of the function at the edges of the interval. f w nawiasie okrągłym k, zamknąć nawias równa się a razy k do kwadratu dodać b razy k dodać c. f w nawiasie okrągłym l, zamknąć nawias równa się a razy l do kwadratu dodać b razy l dodać c. Find the value of the first coordinate of the vertex of the parabola which is the graph of the function: x z indeksem dolnym w równa się minus ułamek zwykły, w liczniku b, w mianowniku 2 razy a. Od prostokąta strzałka prowadzi w dół do rombu, w którym znajduje się napis: Check if x z indeksem dolnym w należy do przedziału obustronnie zamkniętego od k do l. Z elementu w kształcie rombu wychodzą dwie strzałki. Pierwsza, z prawej strony, podpisana NO, prowadzi do równoległoboku, w którym zostały umieszczone informacje: The minimum value is equal to the smallest of the numbers f w nawiasie okrągłym k, zamknąć nawias, f w nawiasie okrągłym l, zamknąć nawias. The maximum value is equal to the largest of the numbers f w nawiasie okrągłym k, zamknąć nawias, f w nawiasie okrągłym l, zamknąć nawias. Od równoległoboku prowadzi strzałka w dół do elementu z napisem end w kształcie prostokąta z zaokrąglonymi rogami. Druga, z lewej strony, podpisana YES, prowadzi do prostokąta, w którym zostały umieszczone informacje: Find the values of the second coordinate of the vertex of the parabola: y z indeksem dolnym w równa się f w nawiasie x z indeksem dolnym w, zamknąć nawias równa się a razy x z indeksem dolnym w do kwadratu dodać b razy x z indeksem dolnym w dodać c. Od prostokąta strzałka prowadzi w dół do równoległoboku, w którym zostały umieszczone informacje: The minimum value is equal to the smallest of the numbers f w nawiasie okrągłym k, zamknąć nawias, f w nawiasie okrągłym l, zamknąć nawias, y z indeksem dolnym w. The maximum value is equal to the largest of the numbers f w nawiasie okrągłym k, zamknąć nawias, f w nawiasie okrągłym l, zamknąć nawias, y z indeksem dolnym w. Od równoległoboku prowadzi strzałka w dół do elementu z napisem end w kształcie prostokąta z zaokrąglonymi rogami. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R16DikQ4K48oH1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Use the elaborated flowchartflowchartflowchart in exercises.

Task 2

RG4M6ZNh2K7Gn1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Find the minimum and maximum value of the function:

$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ in the interval $〈 - 2, 3 〉$
$f (x) = - 3 x^{2} - 12 x - 6$ in the interval $〈 - 4, 1 〉$
$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 7$ in the interval $〈 - 3, 0 〉$

Task 3

Find the minimum value of the expression $x^{2} + y^{2}$ , when $x + y = 4$ .

Task 4

Rv2y9Sd58t1wg1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The sum of the length of the side of a triangle and the height perpendicular to this side is equal to 10. What length should have the side of the triangle, so that the triangle area is the largest? Calculate this area.

Task 5

An extra task:

For what value of does the function f(x) = $\frac{1}{x^{2} - x + \frac{1}{2}}$ , take on the maximum value? Find this value.

Perform consolidating exercises.

Remember:

RsLhUp49extHd1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The minimum / maximum value of the quadratic function in a closed intervalclosed intervalclosed interval is at the one of the edges of this interval or in the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola, which is the graph of this function (only if the vertex belongs to this interval).

Do the revision exercises.

Exercises

RXHqdJC8KSu0b

Exercise 1

Wersja alternatywna ćwiczenia: Decide which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The minimum value of the function

y = \frac{3}{4} x^{2} + 5 x

in the interval

〈 - 2, 3 〉

(- 7)

., 2. The maximum value of the function

y = - x^{2} + 5

in the interval

〈 - 3, 2 〉

7

., 3. The minimum value of the function

y = (x - 2) (x + 4)

in the interval

〈 0, 5 〉

(- 8)

., 4. The maximum value of the function

y = - \frac{1}{2} (x + 4)^{2} - 2

in the interval

〈 - 6, - 3 〉

(- 2)

Decide which sentences are true.

The minimum value of the function $y = \frac{3}{4} x^{2} + 5 x$ in the interval $〈 - 2, 3 〉$ is $(- 7)$ .
The maximum value of the function $y = - x^{2} + 5$ in the interval $〈 - 3, 2 〉$ is $7$ .
The minimum value of the function $y = (x - 2) (x + 4)$ in the interval $〈 0, 5 〉$ is $(- 8)$ .
The maximum value of the function $y = - \frac{1}{2} (x + 4)^{2} - 2$ in the interval $〈 - 6, - 3 〉$ is $(- 2)$ .

Exercise 2

A stone was thrown with the initial speed 10 $\frac{m}{s}$ upright. The height, which the stone will reach after seconds, is determined approximately by the function S(t) = 10t - 5tIndeks górny 2. What maximum height will this stone reach?

Exercise 3

Describe in English the method of determining the minimum and maximum value of the quadratic function in a closed interval.

Exercise 4

Ra21PZImoBU4b

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

funkcja kwadratowa - quadratic function
zbiór wartości funkcji - range of function
przedział domknięty - closed interval
wierzchołek paraboli - vertex of the parabola
współrzędne wierzchołka paraboli - minimum value of a function in a closed interval
największa wartość funkcji w przedziale domkniętym - flowchart

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1PJygdG5EdL21

Match Polish terms with their English equivalents.

współrzędne wierzchołka paraboli
wierzchołek paraboli
range of function
zbiór wartości funkcji
closed interval
quadratic function
funkcja kwadratowa
przedział domknięty
coordinates of the vertex of the parabola
vertex of the parabola

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

quadratic function

funkcja kwadratowa

R1L3PSuJyvsaE1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: quadratic function

range of function

zbiór wartości funkcji

R1KDgWAyo8swH1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: range of a function

closed interval

przedział domknięty

RFOb9JXVu3U9l1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: closed interval

vertex of the parabola

wierzchołek paraboli

RSBfuVcj9LB4w1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: vertex of a parabola

coordinates of the vertex of the parabola

współrzędne wierzchołka paraboli

RbjvsMnEfdCz81

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: coordinates of the vertex of the parabola

minimum value of a function in a closed interval

najmniejsza wartość funkcji w przedziale domkniętym

ROTslPZXOCFGp1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: minimum value of a function in a closed interval

maximum value of a function in a closed interval

największa wartość funkcji w przedziale domkniętym

R1bDRZuZ3fIHd1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: maximum value of a function in a closed interval

flowchart

schemat blokowy

RAeH7bz1XF4SU1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: flowchart

Keywords

quadratic functionquadratic functionquadratic function

range of functionrange of functionrange of function

closed intervalclosed intervalclosed interval

vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola

coordinates of the vertex of the parabolacoordinates of the vertex of the parabola

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords