2. Zbiór wartości funkcji

R1T8KN3ELSCMQ

Wiele informacji finansowych jest prezentowanych w postaci wykresów. Poniżej przedstawiono zmiany kursu franka szwajcarskiego w stosunku do złotego w okresie od $2$ stycznia do $29$ grudnia $2017$ r. Taki wykres składa się z bardzo wielu punktów odpowiadających kursom franka w kolejnych dniach – zwyczajowo łączy się je odcinkami. Poprawia to czytelność wykresu.

R1BQrH6AxPjx4

Ilustracja przedstawia wykres zmiany kursu franka. Jego oś pionowa jest osią ceny w z wartościami od 3,6 do 4,15 wyrażoną w złotówkach z krokiem co pięć groszy. Pozioma oś jest osią czasu wyrażoną w dniach od drugiego stycznia do drugiego grudnia, z podziałką co miesiąc. Pod wykresem znajduje się napis: Badaniem zachowań rynku na podstawie analizy wykresów finansowych zajmuje się analiza techniczna.

Na podstawie wykresu możemy podać zakres w jakim się zmieniała wartość waluty, czyli językiem matematyki określić zbiór wartości funkcji przedstawionej na wykresie.

Odpowiemy też na pytania: z ilu elementów może składać się zbiór wartości funkcji? Od czego zależy liczba elementów zbioru wartości funkcji? Czy zbiór wartości funkcji może być zbiorem jednoelementowym?

Twoje cele

Wyznaczysz zbiór wartości funkcji, gdy funkcja będzie opisana za pomocą grafu, tabelki, wykresu, zbioru par uporządkowanych, wzoru.
Sprawdzisz, czy podana liczba jest wartością danej funkcji.
Udowodnisz, że podana liczba jest elementem zbioru wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji liczbowej, to zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów.

Wiemy, że funkcję możemy opisać różnymi sposobami. Przeanalizujemy sposoby wyznaczania zbioru wartości funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą grafu, tabelki, zbioru par uporządkowanych, wzoru, wykresu lub jest opisana słownie.

Odczytywanie zbioru wartości funkcji określonej grafem, tabelą, zbiorem par uporządkowanych

Przykład 1

Odczytamy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą grafu.

R1ZR62NBOCM82

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory liczbowe: po lewej zbiór X, po prawej zbiór Y. Oba zbiory sa niepuste. Zbiór X zawiera następujące elementy: minus, siedem, średnik, minus, pięć, minus, jeden, średnik, zero, średnik, dwa, średnik, pięć, średnik, siedem. Zbiór Y zawiera dwie grupy elementów. Jedna z grup otoczona jest dodatkową elipsą (jest to podzbiór zbioru Y). Elementy te są następujące: minus, pięć, średnik, minus, trzy, średnik, jeden, średnik, dwa, średnik, cztery, średnik, siedem, średnik, dziewięć. Poza tym podzbiorem zbiór Y zawiera jeszcze trzy elementy: zero, średnik, trzy, średnik, pięć. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element z podzbioru zbioru Y i odwrotnie: każdy element z podzbioru zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Elementy ze zbioru Y, które nie należą do wyszczególnionego podzbioru, czyli zero, średnik, trzy, średnik, pięć nie są przyporządkowane do żadnego elementu z X. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do elementów ze zbioru Y. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: nawias, minus, siedem, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, pięć, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, siedem, średnik, dziewięć, zamknięcie nawiasu. Graf podpisany jest poniżej następująco: f, podzielić na, X, strzałka w prawo, Y.

Rozwiązanie

Z budowy grafu wiemy, że w lewej części, oznaczonej literą $X$ , umieszczone są argumenty funkcji. Zbiór argumentów nazywamy dziedziną funkcji.

Prawa część grafu, oznaczona literą $Y$ , zawiera elementy przeciwdziedziny. To właśnie wśród elementów przeciwdziedziny szukamy zbioru wartości funkcji.

W przypadku rozpatrywanej funkcji zbiór wartości funkcji stanowią liczby $\{- 5, - 3, 1, 2, 4, 7, 9\}$ .

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z W_{f} = \{- 5, - 3, 1, 2, 4, 7, 9\}$

Analizując graf możemy zauważyć, że zbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny funkcji $f$ .

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą tabelki.

$x$	$- 2$	$- 1 \frac{1}{5}$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$0, 89$	$1$	$2$
$f (x)$	$0$	$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$	$1$	$\sqrt{2}$	$1, 5$	$1, 7$	$\sqrt{3}$	$2$

Rozwiązanie

Tabelka zbudowana jest w ten sposób, że w pierwszym wierszu umieszczamy argumenty funkcji $f$ , czyli elementy dziedziny funkcji, a w drugim wierszu odpowiadające podanym argumentom wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą liczby umieszczone w drugim wierszu, co możemy zapisać symbolicznie:

$Z W_{f} = \{0; \frac{2 \sqrt{5}}{5}; 1; \sqrt{2}; 1, 5; 1, 7; \sqrt{3}; 2\}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 4, \frac{15}{16}), (- 3, \frac{7}{8}), (- 2, \frac{3}{4}), (- 1, \frac{1}{2}), (0, 0), (1, - 1), (2, - 3), (3, - 7)\}$

Rozwiązanie

Uporządkowaną parę liczb tworzymy w sposób następujący:

liczba zapisana z lewej strony, zwana również poprzednikiem, jest liczbą należącą do dziedziny funkcji;
liczba zapisana po prawej stronie, zwana również następnikiem, to odpowiadająca poprzednikowi wartość funkcji.

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, należy „zebrać” wszystkie następniki z każdej pary.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z W_{f} = \{- 7, - 3, - 1, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}\}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ przedstawionej za pomocą opisu słownego.

Funkcja f każdej liczbie naturalnej $x$ , takiej, że $x \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $6$ .

Rozwiązanie

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ .

Obliczymy jej wartości dla wszystkich elementów.

$f (10) = 4$

$f (11) = 5$

$f (12) = 0$

$f (13) = 1$

$f (14) = 2$

$f (15) = 3$

$f (16) = 4$

$f (17) = 5$

$f (18) = 0$

$f (19) = 1$

$f (20) = 2$

Zatem zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ , to

$Z W_{f} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Pokazaliśmy sposoby wyznaczania zbioru wartości funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.

Ważne!

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą grafu, zbiór wartości funkcji odczytujemy najczęściej z prawej części grafu.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą tabelki, to zbiór wartości funkcji zapisany jest w jej drugim wierszu.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych, to do zbioru wartości funkcji należą te elementy z każdej pary, które są zapisane na drugim miejscu.
Jeżeli funkcja przedstawiona jest za pomocą opisu słownego, a jej dziedzina jest zbiorem kilkuelementowym, to wykorzystując warunki podane w treści opisu, obliczamy wartości funkcji dla podanych argumentów.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i ma dziedzinę skończoną, to zbiór wartości funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla każdego z argumentów.

Wyznaczanie zbioru wartości funkcji z jej wykresu

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu postępujemy w sposób następujący:

wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi $X$ .
przesuwajmy ją od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji. - gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś $Y$ .
postępujemy tak do wyczerpania się miejsc przecięcia wykresu i prostej.
zaznaczony na osi $Y$ przedział jest zbiorem wartości funkcji.

Uruchom poniższe aplety, by obejrzeć jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji

R16CHM6AZXGBG

R15E78Z58PRJP

Przykład 5

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1HHK7LHBG9K9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są trzy ukośne odcinki składające się na wykres funkcji f. Funkcja działa na przedziale otwartym od minus pięciu do pięciu. Pierwszy odcinek jest ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem nawias, minus, pięć, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, ma prawy koniec w zamalowanym punkcie nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Drugi odcinek ograniczony jest lewostronnie niezamalowanym punktem nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest ograniczony dwoma niezamalowanymi punktami. Z lewej strony punktem nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, z prawej punktem nawias, pięć, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższego sposobu, wyznaczymy zbiór wartości funkcji podanej w treści przykładu.

Wydaje się, że najniżej położonym punktem jest punkt, którego rzędna jest równa $(- 2)$ .

Punkt ten jednak nie należy do wykresu funkcji.

W związku z tym zbiór wartości funkcji będzie lewostronnie otwarty.

Najwyżej położonym punktem należącym do wykresu funkcji jest punkt, którego rzędna jest równa $3$ .

Oznacza to, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- 2, 3⟩$ .

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z W_{f} = (- 2, 3⟩$ .

Przykład 6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R3T3DSPOMURL1

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Dziedziną funkcji przedstawionej na płaszczyźnie jest przedział od minus sześciu do siemiu i pół. Funkcja składa się z czterech ukośnych odcinków. Pierwszy od lewej ma początek w punkcie o współrzędnych nawias, minus, sześć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie o współrzędnych nawias, minus, pięć, średnik, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Ten punkt jest równocześnie początkiem drugiego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Punkt ten jest równocześnie początkiem trzeciego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. W tym punckie równocześnie zaczyna się czwarty odcinek, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias, siedem początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Na osi $Y$ otrzymujemy przedział, który jest zbiorem wartości funkcji.

RLOS2RJE8J84H

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś Y. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od punktu minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka do punktu sześć, przy czym wyróżniono tu też punkt na wysokości pięć.

W przypadku naszego wykresu jest to przedział $⟨- 1,5; 6⟩$ .

Możemy zapisać to symbolicznie $Z W_{f} = ⟨- 1,5; 6⟩$ .

Przykład 7

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RA7ESHV9VAS7F

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Funkcja składa się z czterech części. Pierwsza część to półprosta biegnąca od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias, minus, pięć, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Półprosta ta przechodzi również na przykład przez punkt nawias, minus, sześć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Druga część wykresu to ukośny odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie nawias, minus, pięć, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Trzecia część to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Lewy koniec znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, a prawy symetrycznie względem pionowej osi, czyli w punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, który również nie jest zamalowany. Czwarta część wykresu to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu przechodząca przez punkt o współrzędnych nawias, cztery, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, odczytujemy na osi $Y$ zbiór wartości funkcji $f$ .

R15T61CAP6UV7

Otrzymaliśmy przedział $⟨- 1, \infty)$ .

Możemy zapisać to symbolicznie $Z W_{f} = ⟨- 1, \infty)$ .

Czy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji może być zbiorem jednoelementowym?

Odpowiedź na to pytanie znajdziemy analizując kolejny przykład.

Przykład 8

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RXJZX1PM69DC2

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Wykres składa się z poziomego odcinka o końcach w zamalowanych punktach o współrzędnych: nawias, minus, cztery, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu oraz nawias, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Z wykresu możemy odczytać, że funkcja $f$ przyjmuje tylko jedną wartość, równą $2,5$ dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji.

R7V6OUONEBNS3

Możemy zapisać to symbolicznie $Z W_{f} = \{2,5\}$ .

Przykład 9

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R13LGESFP9K2F

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Wykres składa się z siedmiu punktów o następujących współrzędnych: nawias, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f$ składa się ze skończonej liczby punktów.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą drugie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji.

RRNT5LQXQFF1H

Możemy zapisać to symbolicznie $Z W_{f} = \{- 3; - 1,5; - 1; - 0,5; 1; 2; 3\}$ .

Wyznaczanie zbioru wartości funkcji określonej wzorem

Sposób wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru zależy od tego jakim zbiorem jest dziedzina funkcji.

Przykład 10

Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = - 2 x + 3$ , gdzie $x \in \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Rozwiązanie:

Dziedzina jest zbiorem skończonym. Obliczamy wartości funkcji dla wszystkich liczb należących do dziedziny funkcji.

$f (- 2) = - 2 \cdot (- 2) + 3 = 4 + 3 = 7$

$f (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 3 = 2 + 3 = 5$

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 3 = 3$

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 3 = 1$

$f (2) = - 2 \cdot 2 + 3 = - 4 + 3 = - 1$

$f (3) = - 2 \cdot 3 + 3 = - 6 + 3 = - 3$

Zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $\{- 3, - 1, 1, 3, 5, 7\}$ .

Zapisujemy $Z W_{f} = \{- 3, - 1, 1, 3, 5, 7\}$ .

Przykład 11

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = - 3 x + 2$ , gdzie $x \in ⟨- 3, 3⟩$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zazwyczaj dość trudne. Z tego względu, aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji korzystamy z wykresu funkcji.

W celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ wykonamy tabelkę częściową.

$x$	$- 3$	$- 2,5$	$- 1$	$0$	$1$	$2,5$	$3$
$f (x)$	$11$	$9,5$	$5$	$2$	$- 1$	$- 5,5$	$- 7$

Obliczmy wartości funkcji dla wybranych liczb z dziedziny.

$f (- 3) = - 3 \cdot (- 3) + 2 = 9 + 2 = 11$

$f (- 2,5) = - 3 \cdot (- 2,5) + 2 = 7,5 + 2 = 9,5$

$f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 2 = 3 + 2 = 5$

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 2 = 2$

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 2 = - 3 + 2 = - 1$

$f (2,5) = - 3 \cdot 2,5 + 2 = - 7,5 + 2 = - 5,5$

$f (3) = - 3 \cdot 3 + 2 = - 9 + 2 = - 7$

Naszkicujmy wykres tej funkcji.

R1DCTFVOR6OZP

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwunastu do trzynastu oraz z pionową osią Y od minus ośmiu do jedenastu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji w postaci ukośnego odcinka o końcach w punktach o współrzędnych: nawias, minus, trzy, średnik, jedenaście, zamknięcie nawiasu oraz nawias, trzy, średnik, minus, osiem, zamknięcie nawiasu.

Wykresem funkcji $f (x) = - 3 x + 2$ dla $x \in ⟨- 3, 3⟩$ jest odcinek.

Zbiór wartości odczytujemy na osi pionowej $Y$ . Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- 7, 11⟩$ .

Zapisujemy $Z W_{f} = ⟨- 7, 11⟩$ .

R94Q54Z8JBEC2

Przykład 12

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = - 5 x + 1$ , gdy $x \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x) = - 5 x + 1$ , gdy $x \in ℝ$ , jest określona dla każdego $x$ rzeczywistego, czyli jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami wyrażenia algebraicznego $- 5 x + 1$ . Będą to również wszystkie liczby rzeczywiste.

Zapisujemy $Z W_{f} = ℝ$ .

R13E5H66RDOXT

Przykład 13

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = 2 x^{2} + 1$ , gdzie $x \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy wykres funkcji.

R15VTTD6XU5OT

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dziewięciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden. Wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi do góry o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨1, \infty)$ .

Zapisujemy $Z W_{f} = ⟨1, \infty)$ .

Przykład 14

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru. Rozpatrzymy dwa przypadki:

a) $f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} + 5}$ , gdy $x \in \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ,

b) $f (x) = 2^{x + 1}$ , gdy $x \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ad a)

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Obliczymy jej wartości dla poszczególnych argumentów.

$f (- 3) = \frac{- 3 + 4}{9 + 5} = \frac{1}{14}$

$f (- 2) = \frac{- 2 + 4}{4 + 5} = \frac{2}{9}$

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{1 + 5} = \frac{1}{2}$

$f (0) = \frac{0 + 4}{0 + 5} = \frac{4}{5}$

$f (1) = \frac{1 + 4}{1 + 5} = \frac{5}{6}$

$f (2) = \frac{2 + 4}{4 + 5} = \frac{2}{3}$

$f (3) = \frac{3 + 4}{9 + 5} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Zatem zbiór wartości funkcji $f$ możemy zapisać symbolicznie:

$Z W_{f} = \{\frac{1}{14}, \frac{2}{9}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\}$ .

Ad b)

Funkcja $f (x) = 2^{x + 1}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

Wynika stąd, że jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami liczbowymi wyrażenia $2^{x + 1}$ .

Z własności potęgowania wiemy, że gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wartość potęgi też jest liczbą dodatnią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie liczby rzeczywiste, zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Symbolicznie możemy zapisać:

$Z W_{f} = ℝ_{+}$ .

Przykład 15

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = \sqrt{x + 2}$ , gdy $x \in ⟨- 2, \infty)$ .

Rozwiązanie:

Możemy wykonać to dwoma sposobami.

Sposób pierwszy – naszkicujemy wykres funkcji $f$ i z wykresu odczytamy zbiór wartości funkcji.

R1PZS25L3QCZK

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do dziesięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, pierwiastek kwadratowy z x, plus, dwa koniec pierwiastka o początku w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

$Z W_{f} = ⟨0, \infty)$

Sposób drugi – funkcja $f (x) = \sqrt{x + 2}$ , jest określona dla każdego $x \geq - 2$ . Wartość wyrażenia $\sqrt{x + 2}$ jest zawsze liczbą nieujemną. Z tego faktu wynika, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨0, \infty)$ .

Zapisujemy $Z W_{f} = ⟨0, \infty)$ .

RX2OJLO55F7RM

Ważne!

Podsumujmy wiadomości dotyczące sposobu wyznaczania zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wzoru.

Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór skończony składający się z niewielkiej liczby elementów, to zbiór wartości funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla wszystkich elementów dziedziny funkcji.
Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to korzystamy z wykresu funkcji do wyznaczania zbioru wartości funkcji.

Poniższe przykłady pomogą nam zrozumieć w jaki sposób możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji, gdy funkcja opisana jest różnymi wyrażeniami w różnych przedziałach.

Przykład 16

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = \{\begin{cases} - x, & gdy x \in ⟨- 4, 2⟩ \\ x - 3, & gdy x \in (2, 6⟩ \end{cases}$

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji $f$ naszkicujemy jej wykres. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_{1} (x) = - x$ , gdy $x \in ⟨- 4, 2⟩$ oraz $f_{2} (x) = x - 3$ , gdy $x \in (2, 6⟩$ .

Dla każdej z tych funkcji wykonamy tabelkę częściową.

tabelka częściowa funkcji $f_{1}$
$x$	$- 4$	$- 3, 5$	$- 2$	$0$	$2$
$f_{1} (x)$	$4$	$3, 5$	$2$	$0$	$- 2$

tabelka częściowa funkcji $f_{2}$
$x$	$2,5$	$3, 5$	$4$	$5$	$6$
$f_{2} (x)$	$- 0,5$	$0$	$1$	$2$	$3$

Naszkicujemy w układzie współrzędnych wykres funkcji $f$ i odczytamy z wykresu zbiór wartości funkcji.

RGK3OVS547XVS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych odcinków. Odcinek po lewej ma końce w punktach: nawias, minus, cztery, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu oraz nawias, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu i przechodzi przez początek układu współrzędnych. Druga część wykresu funkcji to odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i końcu w zamalowanym punkcie nawias, sześć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Dodatkowo zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który jest pionowym odcinkiem leżącym na osi Y. Początek odcinka jest w punkcie nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, a jego koniec znajduje się w punkcie nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$ . Zapisujemy go symbolicznie $Z W_{f} = ⟨- 2, 4⟩$ .

Przykład 17

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru.

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 3, & gdy x \in (- \infty, 1⟩ \\ - 3, & gdy x \in (1, \infty) \end{cases}$

Sprawdzimy, która z podanych liczb $\{- 5; - 3, 5; - 2; 4; 7, 5; 9\}$ należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest dwoma wyrażeniami. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia.

$f_{1} (x) = x^{2} + 3$ , gdy $x \in (- \infty, 1⟩$ .

$f_{2} (x) = - 3$ , gdy $x \in (1, \infty)$ .

Wykresem funkcji $f_{1}$ jest część paraboli. Zbiorem wartości funkcji $f_{1}$ jest przedział $⟨3, \infty)$ .

Wykresem funkcji $f_{2}$ jest półprosta równoległa do osi $X$ . Początek półprostej nie należy do wykresu funkcji. Zbiór wartości funkcji $f_{2}$ jest zbiorem jednoelementowym $\{- 3\}$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest suma przedziałów. Możemy zapisać to $Z W_{f} = ⟨3, \infty) \cup \{- 3\}$ .

Sprawdzimy nasze przypuszczenia analizując wykres funkcji $f$ .

R4FQH7ORREV88

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch części. Pierwsza część to fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Ta część przebiega dla iksów od minus nieskończoności do jeden włącznie. Fragment paraboli jest ucięty w punkcie nawias, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, który należy do wykresu funkcji, zatem jest zamalowany. Druga część wykresu to pozioma półprosta otwarta zaczynająca się w punkcie nawias, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Poza tym zaznaczono na płaszczyźnie zbiór wartości funkcji, który składa się z dwóch części: punktu oraz pionowej półprostej. Punkt ma współrzędne nawias, zero, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, a półprosta ma początek w punkcie nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu i biegnie po osi Y do plus nieskończoności.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi $Y$ .

$Z W_{f} = ⟨3, \infty) \cup \{- 3\}$

Korzystając z wyznaczonego zbioru wartości funkcji $f$ , sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji.

Zauważamy, że do zbioru wartości funkcji $f$ , należy tylko jedna liczba ujemna. Tą liczbą jest $(- 3)$ . Wśród podanych liczb nie ma tej liczby. Do zbioru wartości należą liczby dodatnie większe lub równe liczbie $3$ . Na podstawie tych informacji możemy zapisać, że spośród podanych liczb do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby $4$ ; $7, 5$ ; $9$ .

Podsumowanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji opisanej różnymi wzorami w różnych przedziałach, szkicujemy najpierw wykres tej funkcji, a następnie odczytujemy zbiór wartości na osi $Y$ .
Sprawdzenia, czy liczba a należy do zbioru wartości funkcji $f$ , możemy dokonać dwoma sposobami:
- sposób pierwszy – wyznaczamy zbiór wartości funkcji i sprawdzamy, czy liczba $a$ należy do tego zbioru,
- sposób drugi – rozwiązujemy równanie $f (x) = a$ i sprawdzamy, czy otrzymana liczba $x$ należy do dziedziny funkcji $f$ .

Animacje multimedialne

Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w animacji. Wykorzystując poniższe informacje zaproponuj sposób wyznaczania zbioru wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru, gdy dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym.

R1G8TO5VE58KC

Polecenie 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = x^{2} - 3$ , gdzie $x \in ℝ$ .

Sprawdź, czy do zbioru wartości funkcji należą liczby $- 5$ , $- 4$ , $0$ , $2$ , $4$ .

Rozwiążemy równania.

$x^{2} - 3 = - 5$

$x^{2} = - 2$ – równanie sprzeczne. Liczba $- 5$ nie należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

$x^{2} - 3 = - 4$

$x^{2} = - 1$ – równanie sprzeczne. Liczba $- 4$ nie należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} = 3$

$x = \sqrt{3}$ lub $x = - \sqrt{3}$ – liczba $0$ należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

$x^{2} - 3 = 2$

$x^{2} = 5$

$x = \sqrt{5}$ lub $x = - \sqrt{5}$ – liczba $2$ należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

$x^{2} - 3 = 4$

$x^{2} = 7$

$x = \sqrt{7}$ lub $x = - \sqrt{7}$ – liczba $4$ należy do zbioru wartości funkcji $f$ .

Do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby $0$ , $2$ , $4$ .

Polecenie 2

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą tabelki.

$x$	$- 5, 35$	$- 3, 46$	$- 0, 26$	$1, 25$	$2, 58$	$3, 57$
$f (x)$	$- 6$	$- 4$	$- 1$	$1$	$2$	$3$

$Z W_{f} = \{- 6, - 4, - 1, 1, 2, 3\}$

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru:

$f (x) = \frac{x - 3}{3 x}$ , gdy $x \in \{- 3, - 1, 1, 2, 4, 6\}$

Wyznacz zbiór wartości tej funkcji i oblicz wartość wyrażenia $3 \cdot {[f (- 1)]}^{2} + 4 \cdot {[f (6)]}^{2}$ .

Dziedzina funkcji $f$ jest zbiorem skończonym. Zbiór wartości tej funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla wszystkich liczb należących do dziedziny funkcji.

$f (- 3) = \frac{- 3 - 3}{- 9} = \frac{2}{3}$

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3}{- 3} = \frac{4}{3}$

$f (1) = \frac{1 - 3}{3} = \frac{- 2}{3}$

$f (2) = \frac{2 - 3}{6} = \frac{- 1}{6}$

$f (4) = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$

$f (6) = \frac{6 - 3}{18} = \frac{1}{6}$

$Z W_{f} = \{- \frac{2}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\}$

Wartość wyrażenia $3 \cdot {[f (- 1)]}^{2} + 4 \cdot {[f (6)]}^{2}$ jest równa

$3 \cdot {(\frac{4}{3})}^{2} + 4 \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} = 5 \frac{4}{9}$ .

Polecenie 4

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1S977M5OSXK3

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Wykres składa się z dwóch części. Pierwsza to łuk zawarty w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i wybrzuszony do góry. Lewy koniec łuku znajduje w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, sześć, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, a lewy koniec łuku znajduje w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Druga część wykresu to ukośny odcinek lewostronnie otwarty o lewym końcu w punkcie o współrzędnych nawias, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i prawym końcu w punkcie nawias, siedem, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Z W_{f} = (- 3; 2,5)

Polecenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1QA4M9LFBE76

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres składa się z trzech części. Pierwsza to poziomy odcinek otwarty w drugiej ćwiartce układu współrzędnych o krańcach w punktach: nawias, minus, sześć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Druga część wykresu składa się z fragmentu funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej na przedziale nawias ostry, minus, dwa, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Trzecia część wykresu to poziomy odcinek otwarty o krańcach w punktach nawias, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu oraz nawias, sześć, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.

Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ i podaj wzór opisujący tę funkcję.

Z W_{f} = \{- 1\} \cup ⟨0; 2,5) \cup \{3\}

Wzór opisujący funkcję.

f (x) = \{\begin{cases} 3, & gdzie x \in (- 6,5; - 4) \\ |x|, & gdzie x \in <- 2; 2,5) \\ - 1, & gdzie x \in (3; 6) \end{cases}

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w materiale filmowym. Spróbuj najpierw samodzielnie je rozwiązać, a następnie porównaj swoje rozwiązania z podanymi w filmie. Wykonaj przedstawione poniżej polecenia.

R17H5EZMGVE11

Polecenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , gdzie $x \in ℝ - \{0\}$ .

Wyznacz jej zbiór wartości.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór nieskończony. Do wyznaczenia zbioru wartości funkcji skorzystamy z wykresu funkcji.

R18OBEKXTUCAC

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Funkcja posiada dwie asymptoty: pozioma pokrywa się z osią X, a pionowa pokrywa się z osią Y.

$Z W_{f} = ℝ_{+}$

Przeanalizuj uważnie przykłady pokazane w filmie. Rozwiąż je najpierw samodzielnie, a następnie porównaj rozwiązania. Po zapoznaniu się z filmem, wykonaj podane poniżej polecenia.

R7FSRQZXEPTSC

Polecenie 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f (x) = \{\begin{cases} - 3, & gdy x \in (- \infty, - 2) \\ 2 - x^{2}, & gdy x \in ⟨- 2, 1) \\ |5 - x|, & gdy x \in ⟨1, \infty) \end{cases}$

Oblicz wartości: $f (- \frac{117}{49})$ , $f (- 2)$ , $f (0)$ , $f (1)$ , $f (10)$ .

$f (- \frac{117}{49}) = - 3$ , $f (- 2) = - 2$ , $f (0) = 2$ , $f (1) = 4$ , $f (10) = 5$ .

Polecenie 8

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}, & gdy x \in (- \infty, 0) \\ \sqrt{x + 4}, & gdy x \in ⟨0, \infty) \end{cases}$

Spośród podanych liczb wybierz te, które należą do zbioru wartości funkcji $f$ .

$- 31$ , $- 1$ , $- \frac{1}{3}$ , $0$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ , $\sqrt{3}$ , $2$ , $\sqrt{17}$ .

Do zbioru wartości funkcji $f$ należą liczby: $- 31$ , $- 1$ , $- \frac{1}{3}$ , $2$ , $\sqrt{17}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1FOH3ZUN211H1

Ćwiczenie 1

ROF5QEEANM9G51

Ćwiczenie 2

R1AGO1TFCV84121

Ćwiczenie 3

Połącz w pary funkcję f, opisaną za pomocą zbioru par uporządkowanych, z odpowiadającym jej zbiorem wartości. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, minus, jeden przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, cztery, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, siedem, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias klamrowy, nawias, minus, osiem, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, cztery, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, siedem, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias klamrowy, nawias, minus, dwa przecinek pięć, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, minus, jeden przecinek zero, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, dwa, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, siedem, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego nawias klamrowy, nawias, minus, cztery, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, zero przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, cztery przecinek siedem, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, jeden, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. Z W indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy, przecinek, siedem, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego

R1E5L21XSHPHE2

Ćwiczenie 4

R17H6JFC7PAEG2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R128U2KF5C4JR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do czterech oraz pionową osią Y od minus trzech do czterech. Funkcja działa na przedziale nawias ostry, minus, siedem początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu ostrego suma zbiorów nawias ostry, minus, dwa, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu. Na przedziale nawias ostry, minus, siedem początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu ostrego mamy odcinek z początkiem w punkcie minus siedem i jedna druga minus dwa oraz z końcem w punkcie minus trzy jeden. Na przedziale nawias ostry, minus, dwa, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu mamy fragment paraboli z ramionami skierowanymi do góry i wierzchołkiem w punkcie zero minus trzy. Fragment lewego ramienia paraboli zaczyna się w punkcie minus dwa jeden.

RA67P2ZR51RVB

R1B26L5XXMEVE3

Ćwiczenie 7

RSFV2ZZDGDL3U3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9