• Zdefiniujesz pierwiastki wielomianu.

• Obliczysz pierwiastki wielomianu w najprostszych przypadkach.

• Zastosujesz  twierdzenie Bézouta, określając pierwiastki wielomianu.

• Wykorzystasz  związek między liczbą pierwiastków wielomianu, a jego stopniem.

• Skorzystasz z  zapisu wielomianu w postaci iloczynowej do wyznaczania  pierwiastków tego wielomianu.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ nazywamy liczbę $x_0$ taką, że $W\left(x_0\right)=0$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$.

• Pierwiastkami tego wielomianu są rozwiązania równania $\frac{2}{3}x+7=0$.

• Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba $\left(-\frac{21}{2}\right)$.

• Zatem wielomian $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$ ma jeden pierwiastek $x_1=-\frac{21}{2}$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=3x^2+7x-11$.

• Szukamy rozwiązań równania $3x^2+7x-11=0$.

• Stosując znane metody rozwiązywania równań kwadratowych możemy łatwo obliczyć, że wielomian ten ma dwa pierwiastki rzeczywiste: $x_1=\frac{-7-\sqrt{181}}{6}$ oraz $x_2=\frac{-7+\sqrt{181}}{6}$.

Warto wyszukać w Wykładach z historii matematyki Marka Kordosa albo w internecie informacji na temat turnieju matematycznego z 1535 roku, w którym wzięło udział dwóch włoskich matematyków: Antonio Maria del Fiore i Niccolo Tartaglia. Kluczowe znaczenie miał podczas potyczki algorytm rozwiązywania niektórych typów równań z wielomianami trzeciego stopnia, opublikowany potem przez Girolamo Cardano w dziele Ars Magna.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=$$x^6+11x^4+x^2+3$.

• Zauważmy, że dla dowolnego $x$ liczby $x^6$, $11x^4$ oraz $x^2$ są nieujemne, ponieważ są potęgami o wykładniku parzystym. Suma liczb nieujemnych oraz liczby dodatniej $3$ jest zaś zawsze dodatnia. Oznacza to, że wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wykażmy, że wielomian $W\left(x\right)=$$x^4-x^2-6x+11$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

• Zauważmy, że
  $x^4-x^2-6x+11=\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(x^2-6x+9\right)+1=$
  $={\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2+1$.

• Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc suma dwóch kwadratów i liczby dodatniej jest dodatnia. Wielomian zatem nigdy nie może przyjąć wartości $0$, czyli nie ma pierwiastków.

Czy wielomian $W\left(x\right)=2x^4-3x^2-6x+11$ ma pierwiastki rzeczywiste?

• Zauważmy, że
  $W\left(x\right)=2x^4-4x^2+x^2-6x+11=\left(2x^4-4x^2+2\right)+\left(x^2-6x+9\right)=$
  $=2{\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2$.

• Wielomian można zapisać jako sumę dwóch kwadratów, czyli liczb nieujemnych. Suma taka może być równa $0$ tylko, gdy
  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1=0\\ x-3=0\end{array}\right.$.

• Ten warunek jest jednak sprzeczny (z drugiej równości mamy, że $x=3$, ale jednocześnie z pierwszej równości $x^2=1$, co jest niemożliwe).

• Wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Étienne Bézout był francuskim matematykiem żyjącym w latach 1730‑1783, autorem cenionych podręczników akademickich. Zajmował się głównie algebrą. Jedno z twierdzeń  geometrii algebraicznej nosi jego nazwisko  i nie jest to twierdzenie o pierwiastkach wielomianu, funkcjonujące pod nazwą twierdzenia Bézouta.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=4(x-2)(x+1)(x-7)$.

• Zauważmy, że wielomian  $W$ przyjmuje wartość $0$ dla $x=-1$, $x=2$ lub $x=7$ i są to jedyne pierwiastki tego wielomianu$.$

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty.

Jeżeli wielomian
$W\left(x\right)=$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots$$+a_{1}x+a_0$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W\left(x\right)=$$a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$.

• Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych.

• Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywistypierwiastek wielomianupierwiastek rzeczywisty.

Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=(x^2-3x-4)(x^2+x-6)$.

• Korzystamy z postaci iloczynowejpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej wielomianów stopnia 2: $Q\left(x\right)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$ oraz $P\left(x\right)=x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ i otrzymujemy: $W\left(x\right)=(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)$.

• Zatem $W\left(x\right)$ jest podzielny przez dwumiany $x+1$, $x-4$, $x-2$ oraz $x+3$.

• Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniem Bézouta liczby $-1$, $4$, $2$ i $-3$ są pierwiastkami $W\left(x\right)$.

• $W\left(x\right)$ jest wielomianem czwartego stopnia, więc to jedyne pierwiastki tego wielomianu.

Sprawdźmy, czy wielomian $W(x)=x^{51}-17x^{32}+18$ jest podzielny przez

• $x-1$,

• $x-2$,

• $x+1$.

Ustalmy, dla jakich liczb naturalnych jednocyfrowych $a$ wielomian $W(x)=x^{14} - 3 x^{13} + 2 x^{12} + x^2 - 3 x + 2$ jest podzielny przez $x-a$.

• Zauważmy, że $W(x)=x^{12}(x^2-3x+2)+(x^2-3x+2)$.

• Zatem $W(x)=(x^2-3x+2)(x^{12}+1)$.

• Sprowadzając trójmian kwadratowy $x^2-3x+2$ do postaci iloczynowej dostajemy
  $W(x)=(x-1)(x-2)(x^{12}+1)$.

• Wiemy, że $W(1)=W(2)=0$, więc, z twierdzenia Bézouta, wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x-2$.

• Trójmian kwadratowy nie ma więcej miejsc zerowych, a wyrażenie $x^{12}+1$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez $x-a$ tylko dla $a=1$ lub $a=2$.

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$

wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych; wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

jeżeli wielomian
$W\left(x\right)=$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots$$+a_{1}x+a_0$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W\left(x\right)=$$a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty