4. Współczynniki funkcji liniowej

RWtiSkfV4UWnV

Funkcja liniowa ma wiele ciekawych własności, które wykorzystujemy do rozwiązywania problemów matematycznych. Decydują o nich współczynniki liczbowe występujące we wzorze tej funkcji. W materiale omówimy, jak wartość współczynnika $b$ wpływa na zamianę własności funkcji liniowej.

Twoje cele

Określisz znaczenie współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ .
Przeanalizujesz położenie wykresu funkcji liniowej w układzie współrzędnych, w zależności od współczynnika $b$ .
Wyznaczysz punkt przecięcia (o ile istnieje) wykresu funkcji liniowej z osią $Y$ układu współrzędnych.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

W materiale omówimy znaczenie współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ funkcja liniowafunkcji liniowej $f (x) = a x + b$ .

Wyznaczmy wzór na współczynnik $b$ , jeżeli do wykresu funkcji liniowej należą punkty o współrzędnych $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ .

Zauważmy, że $y_{1} = f (x_{1})$ oraz $y_{2} = f (x_{2})$ .

Mamy zatem dwie zależności

$y_{1} = a \cdot x_{1} + b$ oraz $y_{2} = a \cdot x_{2} + b$ .

Z powyższych równości możemy wyznaczyć współczynnik $b$

b = y_{1} - \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} \cdot x_{1}

Przykład 1

Obliczymy wartość współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej, jeżeli do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(1, \frac{1}{5})$ oraz $(- 2, - 1)$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór na współczynnik $b$ , zatem:

$b = \frac{1}{5} - \frac{\frac{1}{5} + 1}{1 + 2} \cdot 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = - \frac{1}{5}$ .

Wartość współczynnika $b$ decyduje o:

1. współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych.

Do wyznaczenia współrzędnych przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią rzędnych układu współrzędnych należy do wzoru funkcji podstawić w miejsce $x$ liczbę $0$ .

Zatem $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych ma współrzędne $(0, b)$ .

RUZ9xPw87o8Ou

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X i pionową Y. Zaznaczono prostą malejącą f przecinającą oś Y w wartości dodatniej.

2. przesunięciu wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x$ w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

dla $b > 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ ,
dla $b < 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w dół wzdłuż osi $Y$ .

Na rysunkach przedstawiono wykresy różnych funkcji liniowych po przesunięciu o $b$ jednostek w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

R1O26lzU2H2OF1

Ilustracja przedstawia cztery układy współrzędnych z osiami X i Y. W pierwszym zaznaczono prosta malejącą znajdującą się w pierwszej drugiej oraz czwartej ćwiartce. W drugim zaznaczono prostą rosnącą w pierwszej drugiej i trzeciej ćwiartce. W trzecim układzie przechodzi prosta rosnąca przez pierwszą trzecią i czwartą ćwiartkę. W czwartym układzie prosta malejąca przechodzi przez drugą trzecią i czwartą ćwiartkę.

3. wartości miejsca zerowego funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

Miejsce zerowemiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ :

jeżeli $a = 0$ i $b = 0$ , to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych,
jeżeli $a = 0$ i $b \neq 0$ , to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych,
jeżeli $a \neq 0$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru: $x_{0} = - \frac{b}{a}$ .

Ważne!

Jeżeli $b = 0$ , to do wykresu każdej funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ należy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ .

Przykład 2

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_{1} (x) = - 3 x + 3$ , $f_{2} (x) = 2 x - 3$ , $f_{3} (x) = - x - 3$ , $f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x - 3$ , $f_{5} (x) = \sqrt{2} x + 3$ , $f_{6} (x) = - \sqrt{5} x + 3$ .

Podamy wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ .

Rozwiązanie:

Wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ : $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ .

Przykład 3

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ należy punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią rzędnych układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 2 = - \frac{1}{3} \cdot 9 + b$ .

Wobec tego $b = 1$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 1)$ .

Przykład 4

Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych. Wyznaczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji $f$ po przesunięciu o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych zapisujemy w postaci $g (x) = - \frac{1}{3} x + 3$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RhcHGYQ0gnlY6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden do dziesięciu oraz osią pionową od minus trzech do pięciu. Zaznaczono prostą malejącą mającą wyraz wolny równy trzy oraz miejsce zerowe równe dziewięć.

Otrzymaną figurą jest trójkąt prostokątny. Pole tego trójkąta obliczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku odczytujemy, że $a = 9$ i $h = 3$ , zatem:

$P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2}$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ . Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ .

RUySStzMJGXM2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono prostą malejącą przechodzącą przez dwa punkty. -5;3 oraz 4;-3

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(- 5, 3)$ oraz $(4, - 3)$ .

Niech $f (x) = a x + b$ .

Wartości $a$ i $b$ wyznaczamy z zależności:

$3 = a \cdot (- 5) + b$ oraz $- 3 = a \cdot 4 + b$ .

Zatem $a = - \frac{2}{3}$ oraz $b = - \frac{1}{3}$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{3})$ .

Przykład 6

Wykres funkcji liniowej przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , a do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Niech $f (x) = a x + b$ .

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , to $b = 3$ .

Zatem funkcja wyraża się wzorem $f (x) = a x + 3$ .

Jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot (- 2) + 3$ , zatem $a = 1$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = x + 3$ .

Przykład 7

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{2}{3} x + (3 m - 1)$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ oraz $b = 3 m - 1$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3 m - 1 = - 2$ , wobec tego $m = - \frac{1}{3}$ .

Przykład 8

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = 0$ oraz $b = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ .

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, gdy $b \neq 0$ .

Zatem $\frac{3}{8} m - \frac{1}{2} \neq 0$ , czyli $m \neq \frac{4}{3}$ .

Polecenie 1

Uruchom aplet, a następnie przeanalizuj, jak zmienia się wzór funkcji liniowej oraz wartość miejsca zerowego, gdy zmienia się wartość współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej.

Rdk9Z2DUL8OFs

Polecenie 2

Podamy wzór funkcji linowej $f (x) = a x + b$ , jeżeli $a = - \frac{1}{2}$ oraz wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych:

a) $(0, - 1)$

b) $(0, 3)$

a) $f (x) = - \frac{1}{2} x - 1$

b) $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1E3XbYkOmTTT

Ćwiczenie 2

R9SCVqdWwyhYs

Połącz w pary wzór funkcji liniowej ze współrzędnymi punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią Y: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, zero, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero przecinek cztery, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 3

RotNNRYW4JPhE

Ćwiczenie 4

Funkcja liniowa określonej wzorem $f (x) = a x + b$ przedstawiona jest na poniższym rysunku.

R1KOcSoyzrDgs

R8RIGb2xKQ6Z0

RR6yumXENX0WE

Ćwiczenie 5

R6wEozyqTBZLG

Ćwiczenie 6

Do wykresu funkcji liniowej należą punkty o współrzędnych $(- 3, 4)$ i $(6, - 2)$ . Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią rzędnych układu współrzędnych.

Niech $f (x) = a x + b$ . Ponieważ punkty o współrzędnych $(- 3, 4)$ i $(6, - 2)$ należą do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 4 = a \cdot (- 3) + b \\ - 2 = a \cdot 6 + b \end{cases}$

Zatem $a = - \frac{2}{3}$ oraz $b = 2$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{2}{3} x + 2$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 2)$ .

Ćwiczenie 7

Rk7C1CUTFQ81D

Ćwiczenie 8

Wyznacz, dla jakiej wartości parametru $m$ wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - 2 x + (\frac{3}{5} m - 1)$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, \frac{3}{4})$ .

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $b = \frac{3}{5} m - 1$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{3}{5} m - 1 = \frac{3}{4}$ .

Wobec tego $m = \frac{35}{12}$ .

Słownik

funkcja liniowa

funkcja określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ , pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

3. Funkcja liniowa i jej wykres

5. Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych

4. Współczynniki funkcji liniowej

Słownik