1. Walec

RVVM7Ay1odym5

Bryły obrotowe znane są od zarania dziejów ze względu na ich proste i intuicyjne otrzymywanie. Spotykamy się z nimi w czynnościach dnia codziennego, chociażby nalewając sobie kawę do kubka.

R7fAoSBCgssdG

Ilustracja przedstawia kubek o kształcie walca, stojący na białym stole. Zewnętrzna część kubka jest biała, natomiast jego wnętrze jest niebieskie. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W tej lekcji zajmiemy się jednym z czołowych reprezentantów brył obrotowych - z walcem.

Twoje cele

Dowiesz się, czym jest walec oraz oś obrotu walca.
Będziesz rozróżniał składowe walca.
Obliczysz pole powierzchni walca.
Określisz wzór na objętość walca.
Wykorzystasz wzory na pole powierzchni i objętość walca do rozwiązywania problemów matematycznych.>

Walcem nazywamy bryłę geometryczną, która powstała poprzez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jego bok lub wokół prostej zawierającej jego oś symetrii.

RXvGHcWqjZXmm

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jego dłuższy bok. Na rysunku zaznaczono także podstawę walca będąca kołem, promień podstawy walca, tworzącą oraz wysokość mającą taką samą długość oraz oś obrotu przechodzącą przez środek podstawy pod kątem prostym.

Prostą, wokół której obracamy prostokąt, nazywamy osią obrotu walcaoś obrotu walcaosią obrotu walca. Prostopadłe do osi obrotu boki zakreślają dwa koła będące podstawami walcapodstawy walcapodstawami walca. Z kolei równoległy do osi obrotu bok prostokąta zakreśla powierzchnię boczną walcapowierzchnia boczna walcapowierzchnię boczną walca. Odcinek przesuwający się prostopadle wzdłuż podstawy walca, który wykreśla powierzchnię boczną, nazywamy tworzącątworząca walcatworzącą walca. Wysokością walca nazywamy każdy odcinek (oraz jego długość), który jest prostopadły do obydwu podstaw walca. W szczególności każda tworząca jest jego wysokościąwysokośćwysokością.

Przykład 1

Mamy prostokąt o wymiarach $\sqrt{2}$ oraz $\frac{7}{5}$ . Obliczymy pole podstawy walca otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół:

dłuższego boku,
krótszego boku.

Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $\sqrt{2} > \frac{7}{5}$ .

Jeśli walec powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższego boku, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.
R1cXyCkpVZDOW
Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości siedem piątych. Promień podstawy jest jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość $\sqrt{2}$ .
Pole podstawy $P_{p}$ jest wówczas równe:
$P_{p} = π r^{2} = π \frac{7^{2}}{5^{2}} = \frac{49}{25} π$ .
Z kolei tworząca ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\sqrt{2}$ .
W tym przypadku nasz walec wygląda tak:
RRV2SHu50VdPl
Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości $\sqrt{2}$ . Promień podstawy jest jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość siedem piątych.
Zatem nasze pole podstawy wynosi:
$P_{p} = π r^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} π = 2 π$
Tworząca ponownie ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\frac{7}{5}$ .

Przykład 2

Pola podstaw walców powstałych w wyniku obrotu prostokąta wokół jego boków wynoszą $36 π$ i $16 π$ ${cm}^{2}$ . Obliczymy długość przekątnej tego prostokąta.

Rozwiązanie:

RjDvhtGwKKLs3

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono promień podstawy walca oznaczony jako a, będący jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość bryły oznaczona poprzez literkę b, będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Literką c, zaznaczono przekątną prostokąta.

R136E83Sw95kC

Z pierwszego rysunku widzimy, że:

$π a^{2} = 16 π \Rightarrow a^{2} = 16$ ,

z drugiego mamy:

$π b^{2} = 36 π \Rightarrow b^{2} = 36$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow c^{2} = 16 + 36 \Rightarrow c = \sqrt{52}$ .

Przykład 3

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku, który ma długość $7$ . Kąt między przekątnymi tego prostokąta znajdujący się naprzeciwko dłuższego boku ma $120 °$ . Obliczymy promień podstawy tego walca.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od sporządzenia rysunku.

RcT1Z3LCU0Q9j

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Wewnątrz figury został zaznaczony kąt A E B o mierze stu dwudziestu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wiadomo, że $|A D| = |B C| = 7$ oraz $|∢ A E B| = 120 °$ .

Poprowadźmy wysokość trójkąta $A B E$ . Oznaczmy ją poprzez odcinek $|E F|$ , który ma długość $\frac{7}{2}$ .

R5Hvj8TCSaRmv

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Powstał trójkąt równoramienny A B E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość na bok A B w punkcie F. Wewnątrz nowego trójkąta prostokątnego A F E zaznaczony został kąt F E A o mierze sześćdziesięciu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wówczas trójkąt $A F E$ jest trójkątem o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ . Zatem odcinek $|A F|$ ma długość $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ . Wtedy odcinek $|A B|$ , będący promieniem, ma długość $7 \sqrt{3}$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w symulacji interaktywnej, następnie na ich podstawie rozwiąż poniższe polecenia.

R1JoAn1jURnkb

Polecenie 2

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół jego boku. Mając dane jak na rysunku, oblicz stosunek pola prostokąta do pola podstawy walca.

R1XL1g89XkRuo

$I$ sposób:

Stosunek pola prostokąta do pola podstawy oznaczmy jako $\frac{A}{B}$ . Wiadomo, że

$\{\begin{array}{l} r h = A x \\ π r^{2} = B x \end{array} ⟹ \{\begin{array}{l} h = \frac{A x}{r} \\ r = \frac{\sqrt{B x}}{\sqrt{π}} \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} h = \frac{A x}{\frac{\sqrt{B x}}{\sqrt{π}}} \\ r = \frac{\sqrt{B x}}{\sqrt{π}} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} h = \frac{A x \sqrt{π}}{\sqrt{B x}} \\ r = \frac{\sqrt{B x}}{\sqrt{π}} \end{cases}$

Do rysunku dołóżmy wysokość trójkąta w następujący sposób:

R1UZAUGC6BAe3

Zauważmy, że:

$\frac{\frac{r}{2}}{\frac{h}{2}} = \frac{r}{h} = tg 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Podstawiając $r$ oraz $h$ , wyliczone z układu równań, otrzymamy

$\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{B} \sqrt{x}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{B} \sqrt{x}}{A x \sqrt{π}} = \frac{B x}{A x π} = \frac{B}{A π}$

Wiedząc, że $\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , otrzymujemy równanie:

$\frac{B}{A π} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \frac{B}{A} = \frac{\sqrt{3} π}{3} \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{3}{\sqrt{3} π} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{3 \sqrt{3}}{3 π} \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{3}}{π}$

Zatem stosunek pola prostokąta do pola podstawy wynosi $\frac{\sqrt{3}}{π}$ .

$II$ sposób:

Oznaczmy przez $x$ wysokość w trójkącie równobocznym wyznaczonym przez promień podstawy walca i połowy przekątnych prostokąta.

Zatem $x = \frac{r \sqrt{3}}{2}$ .

Stąd $h = 2 x = r \sqrt{3}$ .

Stosunek pola prostokąta do pola podstawy walca jest równy: $\frac{r h}{π r^{2}} = \frac{h}{π r} = \frac{r \sqrt{3}}{π r} = \frac{\sqrt{3}}{π}$ .

Polecenie 3

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół jego osi symetrii. Stosunek pola prostokąta do pola podstawy wynosi $4 \sqrt{3} : 3 π$ . Oblicz miary kątów pomiędzy przekątną a bokami prostokąta.

Rzx4t381L8NY0

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta wokół jego osi symetrii. Prostokąt został podpisany jako A B C D. Odcinek A B jest jednocześnie średnicą podstawy walca i ma długość dwa r. Odcinek B C jest jednocześnie wysokością walca i ma długość h. Wewnątrz prostokąta poprowadzono przekątną A C, tworząc tym samym trójkąt prostokątny A B C z zaznaczonymi kątami alfa i beta. Kąt alfa znajduje się przy wierzchołku B, natomiast kąt beta przy wierzchołku A.

$\{\begin{array}{l} 2 r h = 4 \sqrt{3} x \\ π r^{2} = 3 π x \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} h = \frac{4 \sqrt{3} x}{2 r} \\ r = \sqrt{3 x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} h = \frac{2 \sqrt{3} x}{\sqrt{3} \sqrt{x}} \\ r = \sqrt{3 x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} h = 2 \sqrt{x} \\ r = \sqrt{3} \sqrt{x} \end{cases}$

Z rysunku odczytujemy, że $tg α = \frac{2 r}{h} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} = \sqrt{3}$ , stąd $α = 60 °$ .

Skoro suma kątów w trójkącie wynosi $180 °$ , to $β = 30 °$ .

Pole powierzchni walca

Podczas robót drogowych walec wykonuje pracę, która polega na wyrównaniu powierzchni asfaltu. Każdy pełny obrót walca oznacza ubicie fragmentu drogi, który jest równy polu powierzchni bocznej walca.

R1AXChzCvPWO4

Zdjęcie przedstawia walec przemysłowy. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Poniżej omówimy, jak obliczyć pole powierzchni całkowitej walca.

Walec zbudowany jest z dwóch podstaw, które są kołami o promieniu $r$ oraz powierzchni bocznej, która po rozwinięciu jest prostokątem o bokach długości $2 π r$ oraz $h$ .

RbLAnOqunRhcq

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z dwóch kół oraz jednego prostokąta. Wymiary prostokąta zostały podane, dłuży bok o długości dwa pi r oraz krótszy o długości h.

Zatem pole powierzchni całkowitej walca zapisujemy wzorem:

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

gdzie:

P_{p} = π \cdot r^{2}

P_{b} = 2 π r \cdot h

Wobec tego

P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot h = 2 π r (r + h)

Przykład 4

Obliczymy pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach $12$ i $16$ wokół krótszego boku.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RrMsq8Jpmy5zh

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia szesnaście i wysokości równej dwanaście. Na ilustracji utworzona została także nowa płaszczyzna wewnątrz bryły. Płaszczyzna ta jest prostokątem, pierwszy bok tej figury jest zawarty w osi obrotu o długości dwanaście, drugi natomiast w bocznej krawędzi figury. Dwa dłuższe boki są promieniami obu podstaw walca o długości szesnaście.

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, a $r$ długością jego wysokości, to:

$r = 16$ ,

$h = 12$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:

$P_{c} = 2 π \cdot 16^{2} + 2 π \cdot 16 \cdot 12 = 512 π + 384 π = 896 π$ .

Przykład 5

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej walca, jeżeli obwód jego podstawy wynosi $16 π$ , a wysokość walca ma długość $6$ .

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1aJXLLXGNt0B

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia r. Zaznaczona została także wysokości h będąca jednocześnie prostopadła do promienia podstawy.

Z treści zadania mamy, że $h = 6$ . Obwód podstawy walcawalecwalca o promieniu $r$ obliczamy ze wzoru $L = 2 π r$ , zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$16 π = 2 π \cdot r$ , czyli $r = 8$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$

$P_{c} = 2 π \cdot 8^{2} + 2 π \cdot 8 \cdot 6 = 128 π + 96 π = 224 π$ .

Przykład 6

Obliczymy długość promienia podstawy walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi $42 π$ , a wysokość ma długość $4$ .

Rozwiązanie

$P_{c} = 42 π$ ,

$h = 4$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Zatem:

$42 π = 2 π \cdot r^{2} + 2 π \cdot r \cdot 4$

$42 = 2 \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4$

$r^{2} + 4 r - 21 = 0$

$r_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7 < 0$

$r_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3 > 0$ .

Zatem promień podstawy walca jest równy $3$ .

Przykład 7

Obliczymy pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach, jak na rysunku.

RcggG4HZoUKLz

Ilustracja przedstawia dwa walce, pierwszy większy o średnicy podstawy równej dziesięć i wysokości o długości cztery. Drugi walec posiada średnice podstawy o długości sześć oraz wysokość o długości cztery. Oba walce są ze sobą połączone w taki sposób, że dolna podstawa mniejszego walca zawiera się w górnej podstawie większego walca. Bryła przypomina przycisk.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku składa się z dwóch walców.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$r_{1}$ – długość promienia mniejszego walca,
$r_{2}$ – długość promienia większego walca,
$h_{1}$ – długość wysokości mniejszego walca,
$h_{2}$ – długość wysokości większego walca.

Z rysunku odczytujemy, że:

$r_{1} = 3$ ,

$r_{2} = 5$ ,

$h_{1} = h_{2} = 4$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej tej bryły obliczymy ze wzoru:

$P_{c} = 2 π r_{1} \cdot h_{1} + 2 π {r_{2}}^{2} + 2 π r_{2} \cdot h_{2}$ .

Zatem:

$P_{c} = 2 π \cdot 3 \cdot 4 + 2 π \cdot 5^{2} + 2 π \cdot 5 \cdot 4 = 24 π + 50 π + 40 π = 114 π$ .

Przykład 8

W sześcian o przekątnej długości $9$ wpisano walec. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec wpisany w sześcian i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1HDs11WoiI9W

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości h wpisanego w sześcian, którego krawędzie zostały oznaczone jako a. Wysokość walca h jest równa długości krawędzi sześcianu a oraz przechodzi przez środek ściany bocznej.

Zauważmy, że jeśli $a$ jest długością krawędzi sześcianu, $r$ długością promienia podstawy walca, a $h$ długością jego wysokości, to zachodzą następujące zależności:

$r = \frac{1}{2} a$ oraz $h = a$ .

Ponieważ przekątna sześcianu ma długość $9$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$9 = a \sqrt{3}$

$a = 3 \sqrt{3}$ .

Zatem $r = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ oraz $h = 3 \sqrt{3}$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej walca wynosi:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 π \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 3 \sqrt{3} = \frac{27}{2} π + 27 π = \frac{81}{2} π$ .

Polecenie 4

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, a następnie wykonaj poniższe polecenie. Schemat można powiększać i zmniejszać za pomocą przycisków „ $+$ ” i „ $-$ ”, a także przesuwać za pomocą myszki.

R1VASqIUK3K2i1

Polecenie 5

Prostokąt o boku długości $7$ i przekątnej długości $13$ obracamy wokół osi przechodzącej przez środki dłuższych boków. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego walca.

Narysujmy prostokąt oraz otrzymany walec, jak na poniższych rysunkach.

RGmfSCL6qAaWt

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz walec powstały poprzez obrót pierwszej figury wokół osi symetrii przechodzącej przez środki dłuższych boków. Długość dłuższego boku prostokąta wynosi x, długość krótszego to h, natomiast jego przekątna ma długość trzynaście. Walec posiada promień podstawy o długości r oraz wysokość o długości h.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość drugiego boku prostokąta, to do otrzymania wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 7^{2} = 13^{2}$

$x^{2} + 49 = 169$

$x^{2} = 120$

$x = 2 \sqrt{30}$ .

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, to $r = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{30} = \sqrt{30}$ , a wysokość walca $h = 7$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$

$P_{c} = 2 π {(\sqrt{30})}^{2} + 2 π \cdot \sqrt{30} \cdot 7 = 60 π + 14 π \sqrt{30}$ .

Polecenie 6

W poniższym schemacie przygotuj algorytm obliczający pole powierzchni całkowitej walca.

R1bTXyj7z0wum

Przygotuj algorytm w języku PHP obliczający pole powierzchni całkowitej walca.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

Rbu9WO5niMv1q

Linia 1. $r średnik. Linia 2. $pole średnik. Linia 3. $h średnik. Linia 5. prawy ukośnik prawy ukośnik Obliczanie pola powierzchni całkowitej walca mając daną. Linia 6. prawy ukośnik prawy ukośnik długość promienia podstawy r i długość wysokości h kropka. Linia 7. function Pole podkreślnik powierzchni podkreślnik ca podkreślnik C5 podkreślnik 82kowitej podkreślnik walca otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 8. global $r przecinek $pole przecinek $h średnik. Linia 9. $r znak równości 2 średnik. Linia 10. $h znak równości 2 średnik. Linia 11. if otwórz nawias okrągły $r zamknij nawias ostrokątny 0 ampersant ampersant $h zamknij nawias ostrokątny 0 zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 12. print otwórz nawias okrągły implode otwórz nawias okrągły apostrof apostrof przecinek array otwórz nawias okrągły apostrof Pole powierzchni całkowitej dwukropek P podkreślnik c znak równości 2 otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny r kareta 2 plus 2 otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny rh znak równości 2 otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny · apostrof przecinek $r przecinek apostrof plus 2 otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny · apostrof przecinek $r przecinek apostrof · apostrof przecinek $h przecinek apostrof znak równości apostrof przecinek pole2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 13. zamknij nawias klamrowy else otwórz nawias klamrowy. Linia 14. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest walec kropka apostrof zamknij nawias okrągły średnik. Linia 15. zamknij nawias klamrowy. Linia 16. zamknij nawias klamrowy. Linia 18. prawy ukośnik prawy ukośnik Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 19. function pole2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 20. global $r przecinek $pole przecinek $h średnik. Linia 21. $pole znak równości 2 asterysk M podkreślnik PI asterysk $r asterysk $r plus 2 asterysk M podkreślnik PI asterysk $r asterysk $h średnik. Linia 22. return $pole średnik. Linia 23. zamknij nawias klamrowy. Linia 26. Pole podkreślnik powierzchni podkreślnik ca podkreślnik C5 podkreślnik 82kowitej podkreślnik walca otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik.

$r;
$pole;
$h;

// Obliczanie pola powierzchni całkowitej walca mając daną
// długość promienia podstawy r i długość wysokości h.
function Pole_powierzchni_ca_C5_82kowitej_walca() {
  global $r, $pole, $h;
  $r = 2;
  $h = 2;
  if ($r > 0 && $h > 0) {
    print(implode('', array('Pole powierzchni całkowitej: P_c=2πpir^2+2πpirh=2πpi·',$r,'+2πpi·',$r,'·',$h,'=',pole2())));
  } else {
    print('To nie jest walec.');
  }
}

// Opisz tę funkcję...
function pole2() {
  global $r, $pole, $h;
  $pole = 2 * M_PI * $r * $r + 2 * M_PI * $r * $h;
  return $pole;
}


Pole_powierzchni_ca_C5_82kowitej_walca();

Objętość walca

Wiele przedmiotów codziennego użytku ma kształt walca. W przepisach kulinarnych często odmierzamy odpowiednie ilości składników, używając do tego szklanki w kształcie walca.

Rl8NojOA7qxXp

Zdjęcie przedstawia w połowie pustą szklankę. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Właściwa ilość dodanych składników jest ściśle powiązana z objętością takiej szklanki.

W tej części materiału omówimy, jak obliczyć objętość walca.

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Rzemhh9ig0eT0

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia r i wysokości o długości h. Na ilustracji utworzona została także nowa płaszczyzna wewnątrz bryły. Płaszczyzna ta jest prostokątem, pierwszy bok tej figury jest zawarty w osi obrotu walca o długości h, drugi natomiast w bocznej krawędzi figury także o długości h. Dwa krótsze boki są promieniami obu podstaw walca o długości r.

Wówczas objętość walcawalecwalca obliczamy ze wzoru

V = P_{p} \cdot h

Ponieważ podstawa walca jest kołem, zatem objętość walca obliczamy ze wzoru

V = π r^{2} \cdot h

Przykład 9

Wiadomo, że pole powierzchni całkowitej walca wynosi $24 π + 16 \sqrt{3} π$ , a promień podstawy walca ma długość $2 \sqrt{3}$ . Obliczymy objętość tego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CAkWyWkuWlE

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości o długości h.

Ponieważ promień podstawy walca $r = 2 \sqrt{3}$ a pole powierzchni całkowitej walca obliczamy ze wzoru $P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ , to do wyznaczenia długości wysokości $h$ walca rozwiązujemy równanie:

$24 π + 16 \sqrt{3} π = 2 π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} + 2 π \cdot 2 \sqrt{3} \cdot h$

$24 + 16 \sqrt{3} = 2 \cdot 12 + 4 \sqrt{3} \cdot h$

$16 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \cdot h$ , czyli $h = 4$ .

Wobec tego objętość walca wynosi:

$V = π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} \cdot 4 = 48 π$ .

Przykład 10

Obliczymy, o ile procent zwiększyła się objętość walca, w którym promień podstawy oraz wysokość zwiększono o $10 %$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to objętość walca wyraża się wzorem:

$V = π r^{2} \cdot h$ .

Jeżeli długości promienia podstawy oraz wysokości walca zwiększymy o $10 %$ , wówczas wielkości te będą wynosiły odpowiednio $1$ , $1 r$ oraz $1$ , $1 h$ .

Zatem objętość walca będzie wynosiła $V = π \cdot {(1, 1 r)}^{2} \cdot 1, 1 h = 1, 331 π r^{2} \cdot h = 133, 1 % \cdot π r^{2} \cdot h$ .

Wobec tego objętość walca zwiększyła się o:

$133, 1 % - 100 % = 33, 1 %$ .

Przykład 11

Śruba wykonana z mosiądzu ma kształt bryły przedstawionej na poniższym rysunku. Obliczymy masę tej śruby, jeżeli wiadomo, że $1 {cm}^{3}$ stopu waży $8, 5 g$ . W obliczeniach przyjmiemy, że $π = 3, 14$ .

R1GAENVlnLXNo

Ilustracja przedstawia dwa walce, pierwszy większy o średnicy podstawy równej cztery i wysokości o długości sześć. Drugi walec posiada średnice podstawy o długości dwa oraz wysokość o długości trzy. Oba walce są ze sobą połączone w taki sposób, że dolna podstawa mniejszego walca zawiera się w górnej podstawie większego walca. Bryła przypomina przycisk.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku zbudowana jest z dwóch walców.

Z rysunku odczytujemy, że:

$r_{1} = 1 cm$ ,

$h_{1} = 3 cm$ ,

$r_{2} = 2 cm$ ,

$h_{2} = 6 cm$ .

Zatem objętość bryłyobjętość bryłyobjętość bryły wynosi:

$V = π \cdot 1^{2} \cdot 3 + π \cdot 2^{2} \cdot 6 = 3 π + 24 π = 27 π = 27 \cdot 3, 14 = 84, 78 {cm}^{3}$ .

Zatem masa tej śruby wynosi:

$84, 78 g \cdot 8, 5 g = 720, 63 g$ .

Przykład 12

Prostokąt o boku długości $6$ i przekątnej długości $12$ obracamy wokół osi przechodzącej przez środki dłuższych boków. Obliczymy objętość otrzymanego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy prostokąt oraz otrzymany walecwalecwalec, jak na poniższych rysunkach.

R1MX6zHAugjBb

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość drugiego boku prostokąta, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 6^{2} = 12^{2}$

$x^{2} + 36 = 144$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ .

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, to $r = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ , a wysokość walca $h = 6$ .

Zatem objętość walca jest równa:

$V = π r^{2} \cdot h$

$V = π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} \cdot 6 = 162 π$ .

Przykład 13

Obliczymy objętość walca z poniższego rysunku.

R13veYzIQiyzw

Ilustracja przedstawia walec o promieniu o długości osiem oraz wysokości o długości h. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości dwadzieścia, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej dwadzieścia.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że promień podstawy $r = 8$ .

Do wyznaczenia długości wysokości $h$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:

$8^{2} + h^{2} = 20^{2}$

$64 + h^{2} = 400$

$h^{2} = 336$

$h = 4 \sqrt{21}$ .

Wobec tego objętość bryły z rysunku wynosi:

$V = π \cdot 8^{2} \cdot 4 \sqrt{21} = 256 π \sqrt{21}$ .

Polecenie 7

Zapoznaj się ze schematem interaktywnym, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R13FecWPkdIeR1

Polecenie 8

Oblicz objętość walca, otrzymanego w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku, jeżeli długości boków oraz przekątna tego prostokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $3$ .

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RSM65IgBN9PTv

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia równej r, wysokości o długości h oraz przekątnej prostokąta zawartego wewnątrz walca o wymiarach r na h o długości d.

Z warunków w zadaniu wynika, że:

$r = h + 3$ ,

$d = h + 6$ .

Ponieważ długości $r$ , $h$ , $d$ tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$h^{2} + {(h + 3)}^{2} = {(h + 6)}^{2}$

$h^{2} + h^{2} + 6 h + 9 = h^{2} + 12 h + 36$

$h^{2} - 6 h - 27 = 0$

$h_{1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{- 12}{2} = - 6 < 0$

$h_{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9 > 0$ .

Wobec tego $h = 9$ oraz $r = 9 + 3 = 12$ .

Zatem objętość otrzymanego walca wynosi:

$V = π \cdot 12^{2} \cdot 9 = 1296 π$ .

Polecenie 9

Zbuduj algorytm obliczający objętość walca, mając dane: $d$ – długość średnicy podstawy walca i $h$ – długość wysokości walca lub $L$ – obwód koła, które jest podstawą walca i $h$ – długość wysokości walca.

R1RaEqbnezoSh

Przygotuj w języku Python algorytm obliczający objętość walca, mając dane: $d$ – długość średnicy podstawy walca i $h$ – długość wysokości walca lub $L$ – obwód koła, które jest podstawą walca i $h$ – długość wysokości walca.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R1Go0SkmzKfZ6

Linia 1. import math. Linia 3. lista podkreślnik a znak równości None. Linia 4. obj znak równości None. Linia 5. d2 znak równości None. Linia 6. obj1 znak równości None. Linia 7. L2 znak równości None. Linia 8. d znak równości None. Linia 9. L znak równości None. Linia 10. h znak równości None. Linia 12. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Obliczanie objętości walca przecinek mając dane dwukropek d minus długość średnicy. Linia 13. podstawy walca i h minus długość wysokości walca lub L minus obwód. Linia 14. koła przecinek które jest podstawą walca i h minus długość wysokości walca kropka. Linia 15. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 16. def Obj podkreślnik C4 podkreślnik 99to podkreślnik C5 podkreślnik 9B podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik walca otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 17. global lista podkreślnik a przecinek obj przecinek d2 przecinek obj1 przecinek L2 przecinek d przecinek L przecinek h. Linia 18. lista podkreślnik a znak równości otwórz nawias kwadratowy apostrof a apostrof przecinek apostrof b apostrof zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy. Linia 19. if lista podkreślnik a znak równości znak równości apostrof a apostrof dwukropek. Linia 20. d znak równości 3. Linia 21. h znak równości 1. Linia 22. print otwórz nawias okrągły apostrof Objętość walca dwukropek V znak równości otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny · otwórz nawias okrągły d prawy ukośnik 2 zamknij nawias okrągły kareta 2 · h znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik obj otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 23. else dwukropek. Linia 24. L znak równości 1. Linia 25. h znak równości 1. Linia 26. print otwórz nawias okrągły apostrof Objętość walca dwukropek V znak równości otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny · otwórz nawias okrągły L prawy ukośnik 2 otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny π otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny pi otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny zamknij nawias okrągły kareta 2 · h znak równości apostrof plus str otwórz nawias okrągły licz podkreślnik obj1 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 28. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 29. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 30. def licz podkreślnik obj otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 31. global lista podkreślnik a przecinek obj przecinek d2 przecinek obj1 przecinek L2 przecinek d przecinek L przecinek h. Linia 32. obj znak równości otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły math kropka pi asterysk licz podkreślnik d2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk licz podkreślnik d2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk h. Linia 33. return obj. Linia 35. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 36. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 37. def licz podkreślnik d2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 38. global lista podkreślnik a przecinek obj przecinek d2 przecinek obj1 przecinek L2 przecinek d przecinek L przecinek h. Linia 39. d2 znak równości d prawy ukośnik 2. Linia 40. return d2. Linia 42. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 43. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 44. def licz podkreślnik obj1 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 45. global lista podkreślnik a przecinek obj przecinek d2 przecinek obj1 przecinek L2 przecinek d przecinek L przecinek h. Linia 46. obj1 znak równości otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły math kropka pi asterysk licz podkreślnik L2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk licz podkreślnik L2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły asterysk h. Linia 47. return obj1. Linia 49. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 50. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 51. def licz podkreślnik L2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 52. global lista podkreślnik a przecinek obj przecinek d2 przecinek obj1 przecinek L2 przecinek d przecinek L przecinek h. Linia 53. L2 znak równości L prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk math kropka pi zamknij nawias okrągły. Linia 54. return L2. Linia 57. Obj podkreślnik C4 podkreślnik 99to podkreślnik C5 podkreślnik 9B podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik walca otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

import math

lista_a = None
obj = None
d2 = None
obj1 = None
L2 = None
d = None
L = None
h = None

"""Obliczanie objętości walca, mając dane: d - długość średnicy
podstawy walca i h - długość wysokości walca lub L - obwód
koła, które jest podstawą walca i h - długość wysokości walca.
"""
def Obj_C4_99to_C5_9B_C4_87_walca():
  global lista_a, obj, d2, obj1, L2, d, L, h
  lista_a = ['a', 'b'][0]
  if lista_a == 'a':
    d = 3
    h = 1
    print('Objętość walca: V = πpi · (d/2)^2 · h = ' + str(licz_obj()))
  else:
    L = 1
    h = 1
    print('Objętość walca: V = πpi · (L/2πpi)^2 · h = ' + str(licz_obj1()))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_obj():
  global lista_a, obj, d2, obj1, L2, d, L, h
  obj = ((math.pi * licz_d2()) * licz_d2()) * h
  return obj

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_d2():
  global lista_a, obj, d2, obj1, L2, d, L, h
  d2 = d / 2
  return d2

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_obj1():
  global lista_a, obj, d2, obj1, L2, d, L, h
  obj1 = ((math.pi * licz_L2()) * licz_L2()) * h
  return obj1

"""Opisz tę funkcję...
"""
def licz_L2():
  global lista_a, obj, d2, obj1, L2, d, L, h
  L2 = L / (2 * math.pi)
  return L2


Obj_C4_99to_C5_9B_C4_87_walca()

Ćwiczenie 1

RtE0SDTatMuaY

RSg6n79SSfYrI

Ćwiczenie 2

R1KKwfyw33efI

R1MnqeualVHyh

RssS6EonTwIgl2

Ćwiczenie 3

R1UMZONy6XQIA2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Rt44cpGVBQVH7

RxRZ18s2UKn7l

Ćwiczenie 6

Walec powstaje w wyniku obrotu wokół osi symetrii. Wysokość walca jest o $6$ dłuższa od średnicy jego podstawy. Pole podstawy jest równe $49 π$ . Oblicz pole tego prostokąta.

RJ4UGCjYtX7TQ

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz oś obrotu poprowadzoną przez środek górnej i dolnej podstawy figury. Oś dzieli podstawę na dwie równe części o długości r. Na rysunku zaznaczono także długość dłuższego boku prostokąta wynoszącą 2r+6.

$π r^{2} = 49 π \Rightarrow r = 7 \lor r = - 7$ .

$h = 2 \cdot 7 + 6 = 20$

Zatem pole prostokąta wynosi:

$P = 20 \cdot 14 = 280$

Ćwiczenie 7

Walec powstaje w wyniku obrotu kwadratu wokół osi symetrii. Przekątna tego kwadratu wynosi $d$ . Oblicz długość promienia podstawy oraz tworzącej.

R1Abaj5zUpsbs

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D oraz oś obrotu poprowadzoną przez środek górnej i dolnej podstawy figury. Oś dzieli podstawę na dwie równe części. Wewnątrz figury zaznaczono także przekątna B D o długości d.

Wiedząc, że w kwadracie o boku $a$ długość przekątnej kwadratu wynosi $a \sqrt{2}$ , obliczamy długość boku kwadratu. Wynosi ona $\frac{\sqrt{2}}{2} d$ . Tworząca równa się wysokości i wynosi tyle, ile bok kwadratu. Mamy zatem $h = \frac{\sqrt{2}}{2} d$ . Z kolei promień podstawy równa się połowie boku kwadratu, ponieważ obrót kwadratu odbywa się wokół osi symetrii. Ostatecznie mamy

$h = \frac{\sqrt{2}}{2} d$ , $r = \frac{\sqrt{2}}{4} d$ .

Ćwiczenie 8

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół osi symetrii równoległej do krótszego boku. Pole tego prostokąta wynosi $48$ . Długość przekątnej to $10$ . Oblicz długość promienia podstawy oraz tworzącej.

RzbVmkJHiTfct

Niech $a$ oraz $b$ oznaczają długości boków prostokąta.

$\{\begin{array}{l} a b = 48 \\ a^{2} + b^{2} = 10^{2} \end{array} ⟹ \{\begin{cases} b = \frac{48}{a} \\ a^{2} + b^{2} = 100 \end{cases}$

Podstawiając do drugiego równania pierwsze, otrzymamy:

$a^{2} + \frac{48^{2}}{a^{2}} = 100$

$a^{4} + 2304 = 100 a^{2}$

$a^{4} - 100 a^{2} + 2304 = 0$

Podstawmy pod $a^{2}$ pomocniczą zmienną, aby rozważać równanie kwadratowe.

$a^{2} = t$ , $t > 0$

$t^{2} - 100 t + 2304 = 0$

$Δ = {(- 100)}^{2} - 4 \cdot 2304$

$Δ = 784$

$\sqrt{Δ} = 28$

$t_{1} = \frac{100 - 28}{2}$ , $t_{2} = \frac{100 + 28}{2}$

$t_{1} = 36$ , $t_{2} = 64$

Przejdźmy teraz na naszą zmienną $a$ . Otrzymujemy wtedy:

$a^{2} = 36 \lor a^{2} = 64$

$a = 6 \lor a = - 6 \lor a = 8 \lor a = - 8$

Ujemne rozwiązania nas nie interesują. Zatem

$\{\begin{array}{l} a = 6 \\ b = 8 \end{array} \lor \{\begin{cases} a = 8 \\ b = 6 \end{cases}$

Skoro walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół osi symetrii równoległej do krótszego boku, to ostatecznie mamy:

$h = 6$ oraz $r = \frac{8}{2} = 4$ .

Ćwiczenie 9

RdtYtGwMci2ME

Ćwiczenie 10

Na rysunku przedstawiono siatkę walca.

RbEh6fB1tdVzo

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z dwóch kół o promieniu r oraz jednego prostokąta. Wymiary prostokąta zostały podane, dłuży bok o długości dwanaście pi oraz krótszy o długości dziesięć.

R1PzrRDcTq7v9

Ćwiczenie 11

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono walce.

R1bQHVHpQEa7r

Ilustracja przedstawia dwa walce. Pierwszy o promieniu o długości r oraz wysokości o długości dwa r. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości piętnaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych r i dwa r oraz przeciwprostokątnej równej piętnaście. Drugi walec posiada promień podstawy o długości osiem oraz wysokości o długości h. W taki sam sposób promień oraz wysokość zostały połączone odcinkiem o długości czternaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej czternaście.

R1D3soHvU7V0H

Ćwiczenie 12

R1MJ97hvwqcXi

RIwYmKcJOzn8B

Ćwiczenie 13

Rzta8vpkQJrw2

Ćwiczenie 14

Wiadomo, że iloczyn długości wysokości walca i średnicy jego podstawy jest równy $20$ , a ich stosunek długości wynosi $5 : 2$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1NI3EdBkp9Uo

Ilustracja przedstawia walce z oznaczonymi wartościami. Długość promienia jako r, wysokość jako h oraz średnice podstawy jako d.

Z treści zadania wynika, że:

$h = 5 r$ ,

$d = 2 r$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$5 r \cdot 2 r = 20$

$10 r^{2} = 20$

$r^{2} = 2$ , czyli $r = \sqrt{2}$ .

Zatem $h = 5 \sqrt{2}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} + 2 π \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 4 π + 20 π = 24 π$

Ćwiczenie 15

Obliczymy pole powierzchni bocznej walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi $480 π$ , a wysokość ma długość $8$ .

$P_{c} = 480 π$ ,

$h = 8$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Zatem:

$480 π = 2 π \cdot r^{2} + 2 π \cdot r \cdot 8$

$480 = 2 \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot 8$

$r^{2} + 8 r - 240 = 0$ ,

$r_{1} = \frac{- 8 - 32}{2} = - 20 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{- 8 + 32}{2} = 12 > 0$ .

Zatem promień podstawy walca jest równy $12$ .

Wobec tego pole powierzchni bocznej walca wynosi:

$P_{b} = 2 π \cdot 12 \cdot 8 = 192 π$ .

Ćwiczenie 16

Długość średnicy podstawy walca i wysokości jest taka sama, a ich iloczyn jest równy $P$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Z warunków zadania wynika, że $h = 2 r$ oraz $h \cdot 2 r = P$ .

Zatem $2 r \cdot 2 r = P$ , czyli $4 r^{2} = P$ .

Wobec tego:

$r = \frac{\sqrt{P}}{2}$ ,

$h = 2 r = 2 \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} = \sqrt{P}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\frac{\sqrt{P}}{2})}^{2} + 2 π \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} \cdot \sqrt{P} = 2 π \cdot \frac{P}{4} + π \cdot P = \frac{3}{2} π P$ .

R15tVy6YDRrd51

Ćwiczenie 17

RWoiQn0o0E73K11

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

RA3mqb3GWMrzx

RfClS3pB0caYt

R17KCA3WVrWpd2

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

Na rysunkach $1$ i $2$ przedstawiono walce.

Rx83rpp861VKF

Ilustracja przedstawia dwa walce. Pierwszy o promieniu o długości r oraz wysokości o długości h. Na ilustracji zawarta jest także przekątna walca o długości dwadzieścia. Promień wraz z przekątną tworzą kąt 45 stopni. Drugi o promieniu o długości r oraz wysokości o długości h, a także przekątnej o długości dwadzieścia. Tak jak na pierwszej ilustracji, przekątna wraz z promieniem tworzą kąt 60 stopni.

R1oDRbhin6e4v

Ćwiczenie 22

Z walca o promieniu podstawy $12$ wycięto walec o promieniu podstawy $8$ i tej samej wysokości, jak na rysunku. Oblicz objętość powstałej bryły.

RUm1AK2zLNcGy

Ilustracja przedstawia walec z wyciętym środkiem, przypomina rurę. Pierwotny walec ma promień podstawy o długości dwanaście i wysokości czternaście. Z tego walca wycięto walec o promieniu podstawy o długości osiem i wysokości równej czternaście.

Odczytujemy dane z rysunku:

$r_{1} = 8$ ,

$r_{2} = 12$ ,

$h_{1} = h_{2} = 14$ .

Objętość $V_{1}$ mniejszego walca wynosi:

$V_{1} = π \cdot 8^{2} \cdot 14 = 896 π$ .

Objętość $V_{2}$ większego walca wynosi:

$V_{2} = π \cdot 12^{2} \cdot 14 = 2016 π$ .

Zatem objętość $V$ otrzymanej bryły jest równa różnicy objętości tych walców:

$V = 2016 π - 896 π = 1120 π$ .

Ćwiczenie 23

W sześcian o polu powierzchni całkowitej równym $96$ wpisano walec. Oblicz objętość tego walca.

Narysujmy walec wpisany w sześcian i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1WtOKNWTKEAS

Jeżeli $a$ jest długością krawędzi podstawy sześcianu, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$96 = 6 \cdot a^{2}$

$a^{2} = 16$ , czyli $a = 4$ .

Zauważmy, że $r = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ oraz $h = a = 4$ .

Zatem objętość tego walca wynosi:

$V = π \cdot 2^{2} \cdot 4 = 16 π$ .

Ćwiczenie 24

Wyznacz promień podstawy walca o objętości równej $V$ , jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

ROx5dmziGeAJj

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości prostopadłej do promienia o długości h.

Jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem, zatem $2 π r = h$ .

Ze wzoru na objętość walca mamy $V = π r^{2} \cdot h$ , czyli $h = \frac{V}{π r^{2}}$ .

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{V}{π r^{2}} = 2 π r$

$V = 2 π^{2} r^{3}$

$r^{3} = \frac{V}{2 π^{2}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π^{2}}}$ .

Słownik

oś obrotu walca

prosta, wokół której obracany jest prostokąt w celu otrzymania walca

podstawy walca

dwa koła wykreślone przez prostopadłe do osi obrotu boki prostokąta

powierzchnia boczna walca

powierzchnia wykreślana przez równoległe do osi obrotu boki prostokąta

tworząca walca

każdy odcinek równoległy do osi obrotu i łączący brzegi obu podstaw walca

wysokość

każdy odcinek (oraz jego długość), którego końce są zawarte w płaszczyznach zawierających podstawy, będący prostopadły do tych płaszczyzn

walec

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden bok

pole powierzchni

miara przyporządkowująca danej figurze liczbę nieujemną, charakteryzująca jej rozmiar

objętość bryły

ilość sześcianów jednostkowych, jakimi można wypełnić daną bryłę

2. Stożek

M_R_W23_M5 Bryły obrotowe

1. Walec

Pole powierzchni walca

Objętość walca

Słownik