4. recognizes an angle between segments and an angle between segments and planes in cylinders and cones (e.g. a line inclination angle, an angle between the element of the cylindrical surface and the base of the cone) and works out the sizes of these angles;
6. calculates the volume and the surface area of a prism, pyramid, cylinder, cone, sphere using trigonometry and theorems.
Working in groups students make mind maps of all the information about cylinders that they previously acquired at primary school.
Students present the results of their work on posters. The teacher verifies the information and explains any doubts.
The teacher tells the students that the aim of the class is to get to know solids of revolution and extend their knowledge about the cylindercylindercylinder.
Working in groups, students analyze the method of obtaining a certain type of solids and draw conclusions.
[Geogebra applet]
[Geogebra applet]
Conclusion
A solid of revolution is obtained by rotating a given plane figure around a straight line, known as the axis of revolution.
Students give examples of solids of revolution that they know from everyday life. They recognize the solids using models previously prepared by the teacher.
Working in groups, students analyze the method of obtaining a cylindercylindercylinder and make a definition of the cylindercylindercylinder.
Draw a cylindercylindercylinder obtained by rotating a rectangle, whose sides are 4 cm and 6 cm, around its shorter side.
Students work individually. They get to know the net of a cylindercylindercylinder using their computer.
Task
Draw a net of a cylindercylindercylinder with a base radius 3 cm and height 8 cm. The diagram below will help you. Describe the way you draw the net of a cylindercylindercylinder.
The net of a cylindercylindercylinder consists of two congruent circles and a rectangle. The radius of each of the circles equals the base radius of the cylinderradius of the cylinderradius of the cylinder. The perpendicular sides of the rectangle equal respectively the height of the cylindercylindercylinder and the circumference of the circle at its base.
The curved surface area of a cylindercylindercylinder unfolded on a plane is a rectangle whose one side is three times longer than the other and the diagonal has a length of 36√10 cm. What is the height of this cylindercylindercylinder?
Task
The curved surface area of a cylindercylindercylinder unfolded on a plane is a square whose side is 6π. Calculate the base radius of the cylinderradius of the cylinderradius of the cylinder.
Task
Prove that the sections of a cylindercylindercylinder made by planes parallel to the axial section of the cylinderaxial section of the cylinderaxial section of the cylinder which are equally spaced form this section are the same.
Extra task
Square ABCD with a side of 5 cm has been rotated around a line parallel to side AD and spaced from it by 3 cm. Draw a figure obtained in this way. Give the length of the inner radius and the outer radius of the obtained solid.
4. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
6. oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
m1dadd405c24ac8ce_1528449068082_0
45 minut
m1dadd405c24ac8ce_1528449523725_0
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
m1dadd405c24ac8ce_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Poznanie sposobu powstawania bryły obrotowej.
3. Wskazywanie elementów walca i siatki walca.
m1dadd405c24ac8ce_1528450430307_0
Uczeń:
1. Poznaje sposób powstawania bryły obrotowej.
2. Wskazuje elementy walca i jego siatki.
m1dadd405c24ac8ce_1528449534267_0
1. Mapa myśli.
2. Analiza sytuacyjna.
m1dadd405c24ac8ce_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
m1dadd405c24ac8ce_1528450135461_0
m1dadd405c24ac8ce_1528450127855_0
Uczniowie pracując w grupach tworzą mapy myśli zawierające znane im ze szkoły podstawowej informacje o walcu.
Efekty swojej pracy prezentują na planszach. Nauczyciel weryfikuje przedstawione informacje, wyjaśnia wątpliwości.
m1dadd405c24ac8ce_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie brył obrotowych i rozszerzenie wiadomości na temat walca.
Uczniowie, pracując w grupach, analizują sposób powstawania pewnego rodzaju brył. Wyciągają wniosek.
[Geogebra aplet]
[Geogebra aplet]
Wniosek
Bryła obrotowa powstaje przez obrót pewnej figury płaskiej dookoła prostej, nazywanej osią obrotu.
Uczniowie podają przykłady brył obrotowych z otaczającej nas rzeczywistości.
Rozpoznają takie bryły, korzystając z modeli przygotowanych wcześniej przez nauczyciela.
Uczniowie, pracując w grupach, analizują sposób powstawania walca. Formułują definicję walca.
Definicja walca
Walec jest to bryła powstała przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków.
Uczniowie korzystając z uzyskanych wiadomości rozwiązują zadania.
Polecenie
Narysuj walec o wysokości 5 cm i promieniu podstawy 3 cm.
Polecenie
Narysuj walec, który powstał w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości
4 cm i 6 cm, wokół krótszego boku.
Uczniowie pracują samodzielnie. Korzystając z komputerów poznają siatkę walca.
Polecenie
Narysuj siatkę walca o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 8 cm. Pomoże ci w tym poniższy rysunek. Opisz jak rysujesz siatkę walca.
[Rysunek]
Siatka walca
Siatka walca składa się z dwóch przystających kół i prostokąta. Promień każdego z tych kół jest równy promieniowi podstawy walca. Boki prostopadłe prostokąta są równe odpowiednio wysokości walca i obwodowi koła, będącego podstawą.
Uczniowie korzystając z poznanych informacji rozwiązują zadania.
Polecenie
Czy prostokątną kartkę papieru taką, jak na rysunku, można zwinąć tak, aby otrzymać rurkę o wysokości 10 cm i promieniu podstawy 7 cm?
[Rysunek]
Polecenie
Powierzchnia boczna walca po rozłożeniu na płaszczyźnie jest prostokątem, w którym jeden z boków jest trzykrotnie dłuższy od drugiego, a przekątna ma długość 36√10 cm. Jaką wysokość ma ten walec?
Polecenie
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem o boku 6π. Oblicz promień podstawy walca.
Polecenie
Wykaż, że przekroje walca płaszczyznami równoległymi do przekroju osiowego walca i jednakowo od tego przekroju odległymi są równe.
Polecenie dla chętnych
Kwadrat ABCD o boku długości 5 cm obrócono dookoła prostej równoległej do boku AD i oddalonej od niego o 3 cm. Narysuj figurę, którą otrzymano. Podaj długość promienia zewnętrznego i wewnętrznego otrzymanej bryły.
m1dadd405c24ac8ce_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują definicje do zapamiętania.
- Bryła obrotowa powstaje przez obrót pewnej figury płaskiej dookoła prostej, nazywanej osią obrotu.
- Walec jest bryłą powstałą przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków.