Odległością punktów $A=\left(a\right)$ i $B=\left(b\right)$, zaznaczonych na osi liczbowej, jest długość odcinka $\mathrm{AB}$.
Długość ta jest równa wartości bezwzględnej różnicy współrzędnych punktów $A$ i $B$.

Rut5U6xJ1qg0U1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami o współrzędnych A =(a), B =(b). Zapis: Wartość bezwzględna AB = wartość bezwzględna (b –a).

Znajdziemy długości odcinków $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{CD}$, gdy $\mathrm{A }= \left(-\mathrm{4,2}\right),B= \left(2, 2\right),C=\left(3, 4\right),D=(3,-3)$.

R3M3X6YcwbXOQ1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami: A , B, C, D. Długość odcinka AB =wartość bezwzględna [2 –( -4)]=4. Długość odcinka CD =wartość bezwzględna (-3 –4) =7.

Odcinek $\mathrm{AB}$ jest równoległy do osi $X$. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$.

Odcinek $\mathrm{CD}$ jest równoległy do osi $Y$. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy drugich współrzędnych punktów $C$ i $D$.

W układzie współrzędnych dane są punkty: $A=(-4,-1),\mathrm{ B}=(-\mathrm{2,2}),\mathrm{ C}=\left(\mathrm{3,2}\right)$. Znajdziemy taki punkt $D$, aby wielokąt $\mathrm{ABCD}$ był równoległobokiem.

RgYoSITOf0tLk1

Rysunek układu współrzędnych z zaznaczonymi punktami o współrzędnych: A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2).

Oznaczmy: $D=(a,b)$.
Zauważmy, że $\left|\mathrm{BC}\right|=|3-(-2\left)\right|=5$. W równoległoboku długości boków przeciwległych są równe, a boki równoległe. Odcinek $\mathrm{AD}$ leży na prostej równoległej do prostej $\mathrm{BC}$, a więc i do osi $X$. Zatem $\left|\mathrm{AD}\right|=5$.
Korzystając z tego, znajdziemy pierwszą współrzędną punktu $D$.

Z rysunku widać, że liczba $a$ jest dodatnia, zatem większa od $-4$. Ponieważ
$\left|a+4\right|=5$, więc $a+4=5$ lub $a+4=-5$. Stąd
$a=1$ lub $a=-9$.
Ponieważ $a>-4$, więc $a=1$.
Liczba $b$ jest równa drugiej współrzędnej punktu $A$ (bo odcinek $\mathrm{AD}$ jest równoległy do osi $X$), więc $b= -1$.
Odpowiedź: Szukanym punktem jest punkt $D=(1,-1)$.

R1dNKeaUYN1Xl1

Rysunek równoległoboku A B C D o współrzędnych wierzchołków A =(-4, -1), B =(-2, 2), C =(3, 2), D =(1, -1) leżącego w układzie współrzędnych.

Obliczymy pole trapezu $\mathrm{ABCD}$, gdzie $A=(-\mathrm{4,1}),\mathrm{ B}=\left(\mathrm{4,1}\right),\mathrm{ C}=(1,-2),D=(-1,-2)$.

R1b2OP282nVZR1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) ,  B = ( 4, 1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych.

• sposób $I$

Zauważmy, że trapez jest równoramienny, więc jego pole jest równe polu prostokąta $\mathrm{BEDF}$, długości $5$ i szerokości $3$. Zatem pole tego prostokąta, a więc i pole trapezu jest równe $15$.

RN8TjiBx5nKqp1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) ,  B = ( 4, 1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczone punkty E i F, które utworzył prostokąt B E D F.

• sposób $\mathrm{II}$

Obliczamy długości a, b podstaw oraz wysokość h trapezu i korzystamy ze wzoru

R1LbcRmPqY9yX1

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4,1 ) ,  B = ( 4,1 ) ,  C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt E . Odcinek DE jest wysokością trapezu.

Odpowiedź: pole trapezu jest równe $15$.