5. Wzajemne położenie dwóch okręgów

R94OsW5FqgIGD

W ilu punktach mogą przecinać się dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej? Czy możliwe jest, aby dwa okręgi przecinały się w trzech lub nieskończenie wielu punktach?

R3gVY7LHcw2hP1

Zdjęcie przedstawia koła zębate znajdujące się w maszynie. Zdjęcie jest czarno- białe. — Źródło: MustangJoe, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Popatrzmy na koła zębate (wyobrażając sobie jednak, że zębów nie mają). Koła te „stykają się” ze sobą w jednym miejscu. Pomimo tego, że kręcą się, punkt wspólny zawsze pozostaje tylko jeden.

Jeden punkt wspólny to oczywiście nie jedyna możliwość, bowiem jeśli okręgi przetną się, powstaną wówczas dwa punkty wspólne, jak w przypadku niektórych kół olimpijskich. Zauważmy też, że na przykład okrąg niebieski i czerwony nie mają żadnych punktów wspólnych.

RPhD8Dq5qoC5l1

Ilustracja przedstawia koła olimpijskie. — Źródło: Gerhard G., dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

W tym materiale poznasz warunki istnienia punktów wspólnych dwóch okręgów.

Twoje cele

Określisz wzajemne położenie okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Wyznaczysz warunki, jakie muszą spełniać odległości między środkami oraz długości promieni tak, aby okręgi były styczne, przecinające się lub rozłączne.
Obliczysz wartości parametrów w badaniu wzajemnego położenia okręgów.
Obliczysz współrzędne punktów przecięcia dwóch okręgów.
Zastosujesz poznane wzory do rozwiązywania zadań.

Okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej opisujemy za pomocą równania. Wyróżniamy dwie postacie tego równania:

równanie okręgu w postaci ogólnej $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , zaś punkt $S = (a, b)$ jest środkiem okręgu,
równanie okręgu w postaci kanonicznej ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $r$ nazywamy promieniem okręgu, zaś punkt $S = (a, b)$ środkiem okręgu.

Wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej

Załóżmy, że mamy dane dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wprowadźmy oznaczenia:

$S_{1}, S_{2}$ - środki okręgów,

$r_{1}, r_{2}$ - promienie okręgów.

1. Okręgi styczne wewnętrznie lub zewnętrznie.

Okręgi są styczne wewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest równa wartości bezwzględnej różnicy ich promieni:

$|S_{1} S_{2}| = |r_{2} - r_{1}|$ .

Na rysunku przedstawiono okręgi styczne wewnętrznie o równaniach:

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ oraz ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{9}{4}$ , skąd otrzymujemy:

$S_{1} = (3, 4)$ oraz $r_{1} = 3$ ,

$S_{2} = (\frac{3}{2}, 4)$ oraz $r_{2} = \frac{3}{2}$ .

R1CB705DHAm9s

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. W pierwszej ćwiartce układu narysowano dwa okręgi. Duży okrąg ma środek w punkcie S1=3;4 i promień r1. Mniejszy okrąg jest narysowany wewnątrz dużego. Ma on środek w punkcie S2=32;4 oraz promień r2. Okręgi te są styczne wewnętrznie w punkcie o współrzędnych 0;4.

Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni:

$| S_{1} S_{2} | = r_{1} + r_{2}$ .

Na rysunku przedstawiono okręgi styczne zewnętrznie o równaniach:

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ oraz $x^{2} + y^{2} = 4$ , skąd otrzymujemy

$S_{1} = (0, 0)$ oraz $r_{1} = 2$ ,

$S_{2} = (3, 4)$ oraz $r_{2} = 3$ ,

Rd4gztTZLFW5J

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano dwa okręgi. Duży okrąg znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jego środek ma współrzędne S2=3;4, a jego promień wynosi r2. Mniejszy okrąg przechodzi przez wszystkie ćwiartki układu, bowiem jego środek znajduje się w początku układu współrzędnych, czyli S1=0;0, a jego promień to r1. Okręgi te są styczne zewnętrznie w punkcie leżącym w pierwszej ćwiartce układu. Promienie okręgów narysowano w taki sposób, że wspólnie tworzą one odcinek S1S2.

2. Okręgi rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie.

Okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy odległość pomiędzy ich środkami jest mniejsza niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni:

$| S_{1} S_{2} | < | r_{2} - r_{1} |$ .

Na rysunku przedstawiono okręgi rozłączne wewnętrznie o równaniach:

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ oraz ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ , skąd otrzymujemy

$S_{1} = (3, 4)$ oraz $r_{1} = 3$ ,

$S_{2} = (2, 4)$ oraz $r_{2} = \sqrt{2}$ .

R16t8UVkfMfXQ

Okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy odległość między ich środkami jest większa niż suma ich promieni:

$|S_{1} S_{2}| > r_{1} + r_{2}$

Na rysunku przedstawiono okręgi rozłączne zewnętrznie o równaniach:

$x^{2} + y^{2} = 4$ oraz ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ , skąd otrzymujemy

$S_{1} = (0, 0)$ oraz $r_{1} = 2$ ,

$S_{2} = (3, 4)$ oraz $r_{2} = \sqrt{2}$ .

RgS16A3yMtXfQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa okręgi. Mniejszy okrąg znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jego środek ma współrzędne S2=3;4, a jego promień wynosi r2. Większy okrąg przechodzi przez wszystkie ćwiartki układu, bowiem jego środek znajduje się w początku układu współrzędnych, czyli S1=0;0, a jego promień to r1. Okręgi te są rozłączne zewnętrznie, czyli nie mają żadnych punktów wspólnych.

3. Okręgi przecinające się.

Okręgi przecinają się w dwóch punktach, gdy odległość między środkami okręgów jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni i mniejsza od sumy ich promieni:

$|r_{1} - r_{2}| < |S_{1} S_{2}| < r_{1} + r_{2}$

Na rysunku przedstawiono okręgi przecinające się o równaniach:

${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ oraz $x^{2} + y^{2} = 9$ , skąd otrzymujemy

$S_{1} = (0, 0)$ oraz $r_{1} = 3$ ,

$S_{2} = (3, 0)$ oraz $r_{2} = 2$ .

RvKyGcItt1axh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa okręgi. Mniejszy okrąg znajduje się w pierwszej i w czwartej ćwiartce. Jego środek ma współrzędne S2=0;3, a jego promień wynosi r2. Większy okrąg przechodzi przez wszystkie ćwiartki układu, bowiem jego środek znajduje się w początku układu współrzędnych, czyli S1=0;0, a jego promień to r1. Okręgi te przecinają się, co oznacza, że mają dwa punkty wspólne. Promienie okręgów narysowano w taki sposób, że przebiegają od środków swoich okręgów do jednego z punktów wspólnych, który znajduje się w pierwszej ćwiartce. Drugi punkt wspólny znajduje się w czwartej ćwiartce.

Z opisanych wyżej możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej wynika pewna własność.

Liczba punktów wspólnych dwóch okręgów.

Własność: Liczba punktów wspólnych dwóch okręgów.

Dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej mają:

$0$ punktów wspólnych, gdy są rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie,
$1$ punkt wspólny, gdy są styczne wewnętrznie lub zewnętrznie,
$2$ punkty wspólne, gdy się przecinają,
nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy się pokrywają.

Ciekawostka

Okręgi o wspólnym środku nazywamy okręgami współśrodkowymi. Zaliczamy je do grupy okręgów rozłącznych.

Na rysunku przedstawiono okręgi o równaniach:

${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ oraz ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ , skąd otrzymujemy

$S_{1} = S_{2} = (2, 0)$ , $r_{1} = 2$ i $r_{2} = 3$ .

RMO2rPUd2Kx62

Do analizy wzajemnego położenia okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej wykorzystamy wzór na odległość dwóch punktów o współrzędnych $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ .

Wówczas: $|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .

Przykład 1

Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami w postaci kanonicznejrównaniami w postaci kanonicznej: ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ i ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 5$ .

Rozwiązanie:

Ustalmy środki i promienie okręgów. Mamy:

$S_{1} = (- 2, 0)$ oraz $r_{1} = 2$ ,

$S_{2} = (- 1, 4)$ oraz $r_{2} = \sqrt{5}$ .

Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:

$|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(- 1 + 2)}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{17}$ .

Wyznaczmy sumę oraz różnicę promieni:

$r_{1} + r_{2} = 2 + \sqrt{5}$ oraz $r_{2} - r_{1} = \sqrt{5} - 2$ .

Ponieważ zachodzi warunek $| r_{2} - r_{1} | < | S_{1} S_{2} | < r_{1} + r_{2}$ , zatem okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Przykład 2

Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami: $x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y - 2 = 0$ oraz $x^{2} + 4 x + y^{2} - 4 y + 7 = 0$ .

Rozwiązanie:

Równanie pierwszego okręgu możemy zapisać w postaci ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ , a drugiego okręgu w postaci ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ .

Środki i promienie tych okręgów wynoszą odpowiednio:

$S_{1} = (1, - 1)$ oraz $r_{1} = 2$ ,

$S_{2} = (- 2, 2)$ oraz $r_{2} = 1$ .

Obliczmy odległość pomiedzy środkami tych okręgów:

$|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Zauważmy, że $r_{1} + r_{2} = 2 + 1 = 3$ .

Ponieważ zachodzi warunek $| S_{1} S_{2} | > r_{1} + r_{2}$ , zatem okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Jeżeli mamy dane równanie okręgu w postaci ogólnejrównanie okręgu w postaci ogólnejrównanie okręgu w postaci ogólnej, wówczas możemy wyznaczyć jego środek i promień, korzystając ze wzorów.

Przykład 3

Zbadamy wzajemne położenie okręgów zadanych równaniami: $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ oraz $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y - 20 = 0$ .

Rozwiązanie:

Środek oraz promień pierwszego okręgu wynoszą:

$S_{1} = (0, - 1)$ i $r_{1} = 2$ .

Do wyznaczenia środka i promienia drugiego okręgu wykorzystamy wzór na równanie okręgu w postaci ogólnej $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ oraz wzór na promień $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ .

Otrzymujemy:

$- 2 a = 4$ oraz $- 2 b = - 2$ , co daje $a = - 2$ i $b = 1$

Środek okręgu ma zatem współrzędne $S_{2} = (- 2, 1)$ .

Promień okręgu obliczymy po podstawieniu do wzoru:

$r_{2} = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 20} = \sqrt{25} = 5$

Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:

$|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(- 2 - 0)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$

Zauważmy, że $|r_{2} - r_{1}| = 5 - 2 = 3$ .

Ponieważ $|S_{1} S_{2}| < |r_{2} - r_{1}|$ , zatem okręgi są rozłączne wewnętrznie.

Mając dane równanie okręgu z parametrem, możemy wyznaczyć jego wartość, jeżeli wiemy, czy okręgi są styczne, przecinające się lub rozłączne.

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ okręgi o równaniach ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ i $x^{2} + {(y - 2 \sqrt{3})}^{2} = m^{2} - 1$ są styczne zewnętrznie.

Z podanych równań możemy odczytać środki oraz promienie okręgów.

Zatem:

$S_{1} = (2, 0)$ oraz $r_{1} = 3$

$S_{2} = (0, 2 \sqrt{3})$ oraz $r_{2} = \sqrt{m^{2} - 1}$ .

Z warunku, że promień okręgu jest zawsze większy od $0$ otrzymujemy nierówność:

$m^{2} - 1 > 0$ , zatem $m \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ .

Jeżeli okręgi są styczne zewnętrznie, to prawdziwy jest warunek:

$|S_{1} S_{2}| = r_{1} + r_{2}$

Obliczmy odległość pomiędzy środkami tych okręgów:

$|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(2 \sqrt{3} - 0)}^{2}} = 4$

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$4 = \sqrt{m^{2} - 1} + 3$ , czyli $m^{2} = 2$ .

Rozwiązaniami równania są liczby $\sqrt{2}$ lub $- \sqrt{2}$ .

Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy $m = \sqrt{2}$ lub $m = - \sqrt{2}$ .

W celu wyznaczenia punktów wspólnych dwóch okręgów rozwiązujemy układ równań kwadratowych.

Przykład 5

Wyznaczymy punkty wspólne okręgów określonych równaniami ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ oraz $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ .

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia punktów wspólnych tych okręgów rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9 \\ x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5 \end{cases}$

Układ ten jest równoważny układowi równań:

$\{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} = 9 \\ x^{2} + y^{2} + 2 y + 1 = 5 \end{cases}$

Jeżeli równania odejmiemy stronami, to otrzymujemy równanie $2 x + 2 y = - 4$ , czyli $y = - x - 2$ .

Po podstawieniu tego wyrażenia do pierwszego równania otrzymujemy równanie $x^{2} - 2 x + 1 + {(- x - 2)}^{2} = 9$ , które przekształcamy do postaci $x^{2} + x - 2 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $x_{1} = - 2$ lub $x_{2} = 1$ .

Zatem okręgi mają dwa punkty wspólne, których drugie współrzędne wynoszą odpowiednio $y_{1} = 0$ oraz $y_{2} = - 3$ .

Okręgi przecinają się w punktach o współrzędnych $(- 2, 0)$ oraz $(1, - 3)$ .

Polecenie 1

Zbadaj wzajemne położenie okręgów o wybranych przez Ciebie środkach i promieniach, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1LJvV9RwuBN7

R994BfhubWM7f

Przyporządkuj podane elementy do odpowiedniej grupy.
Zakładamy, że mamy dwa różne okręgi: okrąg pierwszy o środku w punkcie S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz okrąg drugi o środku w punkcie S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Okręgi styczne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 2. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 3. Odległość między środkami okręgów jest większa, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Mają jeden punkt wspólny., 5. Nie posiadają punktów wspólnych., 6. Nie posiadają punktów wspólnych., 7. Mają jeden punkt wspólny., 8. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 9. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 10. Mają dwa punkty wspólne. Okręgi styczne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 2. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 3. Odległość między środkami okręgów jest większa, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Mają jeden punkt wspólny., 5. Nie posiadają punktów wspólnych., 6. Nie posiadają punktów wspólnych., 7. Mają jeden punkt wspólny., 8. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 9. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 10. Mają dwa punkty wspólne. Okręgi rozłączne wewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 2. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 3. Odległość między środkami okręgów jest większa, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Mają jeden punkt wspólny., 5. Nie posiadają punktów wspólnych., 6. Nie posiadają punktów wspólnych., 7. Mają jeden punkt wspólny., 8. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 9. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 10. Mają dwa punkty wspólne. Okręgi rozłączne zewnętrznie Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 2. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 3. Odległość między środkami okręgów jest większa, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Mają jeden punkt wspólny., 5. Nie posiadają punktów wspólnych., 6. Nie posiadają punktów wspólnych., 7. Mają jeden punkt wspólny., 8. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 9. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 10. Mają dwa punkty wspólne. Okręgi przecinające się Możliwe odpowiedzi: 1. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 2. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 3. Odległość między środkami okręgów jest większa, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Mają jeden punkt wspólny., 5. Nie posiadają punktów wspólnych., 6. Nie posiadają punktów wspólnych., 7. Mają jeden punkt wspólny., 8. Odległość między środkami okręgów jest równa sumie długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 9. Odległość między środkami okręgów jest mniejsza, niż suma długości ich promieni, czyli wartość bezwzględna z, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 10. Mają dwa punkty wspólne.

Polecenie 2

Zbadaj wzajemne położenie okręgów o środkach i promieniach odpowiednio: $S_{1} = (- 5, - 3)$ , $S_{2} = (7, 2)$ , $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 5$ .

Ponieważ równanie okręgu jest postaci ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ - promień, to musimy zbadać wzajemne położenie okręgów określonych równaniami:

${(x + 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 49$ oraz

${(x - 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ .

Obliczamy odległość między środkami okręgów: $|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(2 + 3)}^{2} + {(7 + 5)}^{2}} = 13$ .

Zauważmy, że $r_{1} + r_{2} = 7 + 5 = 12$ .

Zatem okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Przykład 6

Określimy liczbę punktów wspólnych okręgów o równaniach: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{4}{9}$ i $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ .

Rozwiązanie

Okrąg o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{4}{9}$ ma środek w punkcie $O_{1} = (1, 2)$ i promień długości $r_{1} = \frac{2}{3}$ .

Okrąg o równaniu $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ma środek w punkcie $O_{2} = (0, 2)$ i promień długości $r_{2} = 1$ .

Obliczamy odległość środków tych okręgów:

$|O_{1} O_{2}|$ $= \sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = \sqrt{1} = 1$ .

Wyznaczamy sumę i różnicę długości promieni tych okręgów:

$r_{2} - r_{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ ,

$r_{1} + r_{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ .

Stąd: $r_{2} - r_{1} = \frac{1}{3} <$ $|O_{1} O_{2}|$ $< r_{1} + r_{2} = \frac{5}{3}$ i $|O_{1} O_{2}| = 1$ .

Okręgi mają zatem $2$ punkty wspólne.

Przykład 7

Mamy dany okrąg o środku w punkcie $O_{1} = (1, 1)$ i promieniu długości $r_{1} = 5$ . Okrąg o środku w punkcie $O_{2} = (2, y)$ i promieniu długości $r_{2} = 3$ ma z danym okręgiem $1$ punkt wspólny. Wyznaczymy $y$ .

Rozwiązanie

Okręgi mają $1$ punkt wspólny, jeśli odległość ich środków jest równa sumie lub różnicy długości ich promieni.

Zatem: $|O_{1} O_{2}| = 8$ lub $|O_{1} O_{2}| = 2$ .

Wyznaczymy odległość środków okręgów:

$|O_{1} O_{2}|$ $= \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{y^{2} - 2 y + 2}$ .

Rozwiążemy równania:

(1) $\sqrt{y^{2} - 2 y + 2} = 2$ i (2) $\sqrt{y^{2} - 2 y + 2} = 8$ .

(1) $y^{2} - 2 y + 2 = 4$

$y^{2} - 2 y - 2 = 0$

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 12$

$y_{1} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$ lub $y_{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$ .

(2) $y^{2} - 2 y + 2 = 64$

$y^{2} - 2 y - 62 = 0$

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 62) = 252$

$y_{3} = \frac{2 - 6 \sqrt{7}}{2} = 1 - 3 \sqrt{7}$ lub $y_{4} = \frac{2 + 6 \sqrt{7}}{2} = 1 + 3 \sqrt{7}$ .

Zatem okrąg o środku w punkcie $O_{2} = (2, y)$ i promieniu długości $r_{2} = 3$ ma z okręgiem o środku w punkcie $O_{1} = (1, 1)$ i promieniu długości $r_{1} = 5$ jeden punkt wspólny, jeśli $y = 1 - \sqrt{3}$ lub $y = 1 + \sqrt{3}$ , lub $y = 1 - 3 \sqrt{7}$ , lub $y = 1 + 3 \sqrt{7}$

Przykład 8

Wyznaczymy długość promienia okręgu $K_{1}$ o środku w punkcie $(2, - 2)$ tak, aby miał $2$ punkty wspólne z okręgiem $K_{2}$ o równaniu $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + 1 = 0$ .

Rozwiązanie

Równanie okręgu $K_{1}$ możemy zapisać następująco: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {r_{1}}^{2}$ .

Równanie okręgu $K_{2}$ : $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + 1 = 0$ doprowadzamy do postaci ${(x - a_{2})}^{2} + {(y - b_{2})}^{2} = {r_{2}}^{2}$ .

Po przekształceniach: $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + 1 = {(x + 2)}^{2} - 4 + {(y - 1)}^{2} - 1 + 1$ otrzymujemy równanie okręgu $K_{2}$ postaci ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

Jego środek ma współrzędne $O_{2} = (- 2, 1)$ a promień ma długość $r_{2} = 2$ .

Obliczamy odległość środków tych okręgów:

$|O_{1} O_{2}|$ $= \sqrt{{(- 2 - 2)}^{2} + {(1 - (- 2))}^{2}} = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(3)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

Okręgi $K_{1}$ i $K_{2}$ mają się przecinać, więc musi być spełniony warunek $|r_{1} - r_{2}| < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ .

Zatem $|r_{1} - 2| < 5 < r_{1} + 2$ .

Warunek ten możemy zapisać za pomocą układu nierówności

$\{\begin{cases} - 5 < r_{1} - 2 < 5 \\ r_{1} + 2 > 5 \end{cases}$

Ponieważ długość promienia przyjmuje tylko wartości dodatnie, to dodajemy jeszcze warunek $r_{1} > 0$ .

Mamy zatem

$\{\begin{cases} - 3 < r_{1} < 7 \\ r_{1} > 3 \\ r_{1} > 0 \end{cases}$

co oznacza, że okręgi $K_{1}$ i $K_{2}$ mają $2$ punkty wspólne, gdy $r_{1} \in (3, 7)$ .

Przykład 9

Dane są dwa okręgi: $K_{1}$ o promieniu $r_{1} = 5$ , styczny do osi $X$ w początku układu współrzędnych i $K_{2}$ o promieniu $r_{2} = 3$ , styczny do osi $Y$ w punkcie $A = (0, 4)$ . Napiszemy równania tych okręgów oraz wyznaczymy współrzędne ich punktów wspólnych.

Rozwiązanie

Okrąg $K_{1}$ o równaniu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 25$ jest styczny do osi $X$ w punkcie $(0, 0)$ zatem: ${(0 - a)}^{2} + {(0 - b)}^{2} = 25$ , czyli $a^{2} + b^{2} = 25$ . Okrąg jest styczny do osi $X$ , stąd odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi okręgu $K_{1}$ .

Korzystając ze wzoru na odległość środka okręgu $K_{1}$ od prostej $y = 0$ mamy:

$r_{1} = \frac{|0 \cdot a + 1 \cdot b + 0|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = \frac{|b|}{1} = 5$ .

Rozwiązaniem równania $|b| = 5$ są dwie liczby $b_{1} = - 5$ lub $b_{2} = 5$ .

Z warunku $a^{2} + b^{2} = 25$ wyznaczamy $a$ : $a^{2} = 25 - b^{2}$ . Dla $b_{1} = - 5$ i $b_{2} = 5$ otrzymujemy $a = 0$ .

Są zatem dwa okręgi o promieniu $r_{1} = 5$ styczne do osi $X$ w początku układu współrzędnych:

$K_{11}$ : $x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ oraz $K_{12}$ : $x^{2} + {(y + 5)}^{2} = 25$ .

R1esunMpHZ8OK

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dziesięciu do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi pięć. Okręgi mają jeden punkt wspólny o współrzędnych początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu.

Te okręgi są styczne zewnętrznie, punktem styczności jest punkt $(0, 0)$ .

Okrąg $K_{2}$ o równaniu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 9$ jest styczny do osi $Y$ w punkcie $(0, 4)$ , zatem punkt $(0, 4)$ leży na okręgu: ${(0 - a)}^{2} + {(4 - b)}^{2} = 9$ , czyli $a^{2} + {(4 - b)}^{2} = 9$ .

Ponieważ okrąg ten jest styczny do osi $Y$ , to odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi okręgu $K_{2}$ .

Korzystając ze wzoru na odległość środka okręgu $K_{2}$ od prostej $x = 0$ mamy:

$r_{2} = \frac{|1 \cdot a + 0 \cdot b + 0|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{|a|}{1} = 3$ .

Rozwiązaniem równania $|a| = 3$ są dwie liczby: $a_{1} = - 3$ lub $a_{2} = 3$ .

Z warunku $a^{2} + {(4 - b)}^{2} = 9$ mamy ${(4 - b)}^{2} = 9 - a^{2}$ .

Dla $a = - 3$ lub $a = 3$ otrzymujemy równanie ${(4 - b)}^{2} = 0$ , stąd $b = 4$ .

Są zatem dwa okręgi o promieniu $r_{2} = 3$ styczne do osi $Y$ w punkcie $(0, 4)$ :

$K_{21}$ : ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ lub $K_{22}$ : ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ .

R1B7HeoC7uq8Y

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dwóch do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, minus 3, 4, zamknięcie nawiasu oraz promień długości trzy. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi mają jeden punkt wspólny o współrzędnych początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu.

Te okręgi są styczne zewnętrznie a ich punktem styczności jest punkt $(0, 4)$ .

Wyznaczymy teraz punkty przecięcia okręgu $K_{11} : x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ z okręgiem $K_{21} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ . Te okręgi się przecinają bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{3^{2} + {(5 - 4)}^{2}} = \sqrt{10}$ spełnia warunek $r_{1} - r_{2} = 2 < \sqrt{10} < 8 = r_{1} + r_{2}$ .

Aby znaleźć punkty przecięcia tych okręgów musimy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9 \end{cases}$ .

Równanie $x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ po przekształceniach przyjmuje postać $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ .

Równanie ${(x - 3)}^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ po przekształceniach jest postaci $x^{2} - 6 x + y^{2} - 8 y + 16 = 0$ .

Rozwiązujemy zatem układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} - 6 x + y^{2} - 8 y + 16 = 0 \end{cases}$ .

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

$- 10 y + 6 x + 8 y - 16 = 0$ ,

stąd

$y = 3 x - 8$ .

Po podstawieniu $y = 3 x - 8$ do równania $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ otrzymujemy $x^{2} + {(3 x - 8)}^{2} - 10 (3 x - 8) = 0$ , co daje: $x^{2} + 9 x^{2} - 48 x + 64 - 30 x + 80 = 0$ , a stąd $10 x^{2} - 78 x + 144 = 0$ .

Wyróżnik trójmianu kwadratowego $Δ = 78^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 144 = 324$ , istnieją więc dwa rozwiązania tego równania.

$x_{1} = \frac{78 - 18}{20} = 3$ lub $x_{2} = \frac{78 + 18}{20} = \frac{24}{5}$ .

Dla $x_{1} = 3$ : $y_{1} = 3 \cdot 3 - 8 = 1$ .

Dla $x_{2} = \frac{24}{5}$ : $y_{2} = 3 \cdot \frac{24}{5} - 8 = \frac{32}{5}$ .

RD5FrypjAMZJJ

Okręgi $K_{11}$ i $K_{21}$ przecinają się w punktach $(3, 1)$ i $(\frac{24}{5}, \frac{32}{5})$ .

Wyznaczymy teraz punkty przecięcia okręgu $K_{11}$ : $x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ z okręgiem $K_{22}$ : ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ . Te okręgi się przecinają bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(5 - 4)}^{2}} = \sqrt{10}$ spełnia warunek $r_{1} - r_{2} = 2 < \sqrt{10} < 8 = r_{1} + r_{2}$ .

RPzKZoSUtIYGW

Ponieważ okręgi $K_{21}$ i $K_{22}$ , oraz okrąg $K_{11}$ , są symetryczne względem osi $Y$ , to punkty przecięcia okręgów $K_{21}$ i $K_{22}$ z okręgiem $K_{11}$ są również symetryczne względem osi $Y$ .

W związku z tym, jeśli okręgi $K_{11}$ i $K_{21}$ przecinają się w punktach $(3, 1)$ i $(\frac{24}{5}, \frac{32}{5})$ to okręgi $K_{11}$ i $K_{22}$ przecinają się w punktach $(- 3, 1)$ i $(- \frac{24}{5}, \frac{32}{5})$ .

Okręgi $K_{12}$ i $K_{21}$ są rozłączne bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(4 + 5)}^{2}} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}$ spełnia warunek $3 \sqrt{10} > 8 = r_{1} + r_{2}$ . Analogicznie - rozłączne są okręgi $K_{12}$ i $K_{22}$ .

Rn3MmWLK5Y2dh

Grafika przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią y od minus dziesięciu do ośmiu. Osie mają podziałkę co dwa. Na pierwszej płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, minus 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi nie mają punktów wspólnych. Na drugiej płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi nie mają punktów wspólnych.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją prezentującą wyznaczanie punktów wspólnych dwóch okręgów, a następnie rozwiąż polecenia.

ROwvDBFk7p40A

Polecenie 4

Sprawdź, czy okręgi o równaniach ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ i ${(x - 6)}^{2} + (y + 8)^{2} = 25$ przecinają się.

Aby okręgi się przecinały musi być spełniony warunek $|r_{1} - r_{2}| < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$ ma środek w punkcie $O_{1} = (1, 4)$ i promień $r_{1} = 9$ .

Okrąg o równaniu ${(x - 6)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 25$ ma środek w punkcie $O_{2} = (6, - 8)$ i promień $r_{2} = 5$ .

Ponieważ

$|O_{1} O_{2}|$ $= \sqrt{{(6 - 1)}^{2} + {(- 8 - 4)}^{2}} = \sqrt{{(5)}^{2} + {(- 12)}^{2}} = \sqrt{169} = 13$

i $r_{1} = 9$ , $r_{2} = 5$ , to spełniony jest warunek $|r_{1} - r_{2}| < |O_{1} O_{2}| < r_{1} + r_{2}$ , bo $9 - 5 < 13 < 9 + 5$ . Zatem okręgi się przecinają.

Polecenie 5

Okręgi o równaniach $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$ i $x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ przecinają się. Oblicz współrzędne punktów przecięcia tych okręgów.

Aby znaleźć punkty przecięcia okręgów rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16 (1) \\ x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9 (2) \end{cases}$ .

W tym celu odejmujemy stronami od równania $(1)$ równanie $(2)$ i otrzymujemy ${(y - 1)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 7$ .

Po przekształceniach:

$y^{2} - 2 y + 1 - (y^{2} + 8 y + 16) = 7$

$y^{2} - 2 y + 1 - y^{2} - 8 y - 16 = 7$

$- 10 y - 15 = 7$

otrzymujemy: $10 y = - 22$ ,

stąd: $y = - \frac{11}{5}$ .

Podstawiając $y = - \frac{11}{5}$ do pierwszego równania otrzymujemy:

$x^{2} + {(- \frac{11}{5} - 1)}^{2} = 16$

$x^{2} = \frac{144}{25}$ ,

stąd

$x_{1} = \frac{12}{5}$ , $x_{2} = - \frac{12}{5}$ .

Punkty przecięcia tych okręgów to: $(\frac{12}{5}; - \frac{11}{5})$ lub $(- \frac{12}{5}; - \frac{11}{5})$ .

Ćwiczenie 1

R16XlkZnLWZPO

Ćwiczenie 2

RU8IhAW4yWq2h

Ćwiczenie 3

RJqfolv16m8Rb

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Równania okręgów, które są styczne: Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 4. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Równania okręgów, które są rozłączne: Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 4. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden oraz nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery

Ćwiczenie 4

R1tafM3AIR6As

Ćwiczenie 5

R11b4nDI5ZMWx

Ćwiczenie 6

Przyjrzyj się okręgom na rysunku poniżej, a następnie wybierz zdania opisujące ich wzajemne położenie.

RUTjL7H1BWNup

RaFujRNVxmZAw

R4hzQLSW0sDA9

Ćwiczenie 7

R11ndXK8Wrmt3

Ćwiczenie 8

Dane są dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej o równaniach $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ oraz $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = m^{2}$ . Dla jakiej wartości parametru $m$ $(m > 0)$ okręgi są:

a) styczne wewnętrznie

b) rozłączne wewnętrznie

Z podanych równań okręgów możemy odczytać ich środki oraz promienie:

$S_{1} = (0, 1)$ i $r_{1} = 1$ ,

$S_{2} = (0, 3)$ i $r_{2} = m$ .

Obliczmy odległość między środkami tych okręgów:

$|S_{1} S_{2}| = \sqrt{{(3 - 1)}^{2}} = 2$ .

a) jeżeli okręgi są styczne wewnętrznie, to $|S_{1} S_{2}| = |r_{2} - r_{1}|$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$2 = |m - 1|$ .

Równanie sprowadzamy do postaci $2 = m - 1$ lub $- 2 = m - 1$ .

Zatem $m = 3$ lub $m = - 1$ .

Ponieważ z założenia $m > 0$ , zatem $m = 3$ .

b) jeżeli okręgi są rozłączne wewnętrznie, to $|S_{1} S_{2}| < |r_{2} - r_{1}|$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$2 < |m - 1|$ .

Nierównosć jest równoważna nierównościom $m - 1 > 2$ lub $m - 1 < - 2$ .

Zatem $m > 3$ lub $m < - 1$ .

Ponieważ z założenia $m > 0$ , zatem $m > 3$ .

Rbuu9c01TPOo81

Ćwiczenie 9

RtPE2Nn9pYcRl1

Ćwiczenie 10

Dobierz w pary równania okręgów, tak aby były to okręgi przecinające się. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 4. nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 4. nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 4. nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć, 2. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, szesnaście, 3. nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 4. nawias, x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden

RNEv5fRiTfhXg1

Ćwiczenie 11

R1A51mquwaWX62

Ćwiczenie 12

R1BZpsLGGwma82

Ćwiczenie 13

RGexQNsOd2UoI2

Ćwiczenie 14

R1SikO73XyBTs3

Ćwiczenie 15

R1M4fiNwtBBGW3

Ćwiczenie 16

Słownik

równanie okręgu w postaci ogólnej

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie promień okręgu obliczamy ze wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ i $a, b, c \in R$ oraz $S = (a, b)$ - środek okręgu

równanie okręgu w postaci kanonicznej

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $r$ - promień okręgu, $S = (a, b)$ - środek okręgu

4. Styczna do okręgu

6. Wybrane przekształcenia geometryczne w układzie współrzędnych