2. Wysokości w trójkącie

R8QFNPFKS1O8B

Omawiając zagadnienia związane chociażby z tzw. punktami szczególnymi trójkąta, np. punktami przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta, symetralnych jego boków, czy środkowych narzędziem, które jest niezwykle przydatne do badania istnienia takich punktów jest twierdzenie Cevy, które głosi, że jeżeli punkty $D$ , $E$ , $F$ należą odpowiednio do boków $A B$ , $B C$ , $A C$ trójkąta $A B C$ , jak na rysunku, to proste $A E$ , $B F$ , $C D$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

\frac{|A D|}{|D B|} \cdot \frac{|B E|}{|E C|} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1

RF42ACUD58CGQ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz jego trzy wysokości. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A E padający na odcinek B C, z wierzchołka B poprowadzono odcinek B F padający na odcinek A C, natomiast z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D padający na odcinek A B. Wszystkie trzy wewnętrze odcinki przecinają się w jednym punkcie. — Twierdzenie Cevy

I choć istnienie ortocentrum wykażemy w inny sposób, a twierdzenie to nie obowiązuje w programie matematyki, to rozwiązując problemy geometryczne warto korzystać z tego użytecznego twierdzenia.

Twoje cele

Usystematyzujesz wiadomości o wysokościach w trójkącie.
Zbadasz zależności między bokami i wysokościami w trójkącie.
Udowodnisz twierdzenie, wysokości przecinają się w jednym punkcie.
Poznasz pojęcie trójkąta ortycznego i zbadasz jego własności.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Jeśli nie będzie to zasygnalizowane inaczej, to punkty $D$ , $E$ , $F$ będą spodkami wysokości poprowadzonych odpowiednio na bok $A B$ , $B C$ oraz $A C$ .

Wysokość trójkąta

Definicja: Wysokość trójkąta

Niech $A$ będzie wierzchołkiem trójkąta $A B C$ . Najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek $A$ trójkąta z prostą $B C$ zawierającą przeciwległy bok nazywamy wysokością trójkąta poprowadzoną z tego wierzchołka.

R5EA3ZRE6XLAR

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta do podstawy B C. — Wysokość trójkąta

Spodek wysokości

Definicja: Spodek wysokości

Niech $D$ będzie punktem wspólnym wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ i prostej $B C$ . Wówczas punkt $D$ będziemy nazywać spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ .

R18RJEMZ2BDMH

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta do podstawy B C, której spodek leży w punkcie D. — Spodek wysokości trójkąta

Przyjmijmy następującą definicję.

Ortocentrum

Definicja: Ortocentrum

Punkt przecięcia się trzech prostych zawierających odpowiednio wysokości trójkąta $A B C$ będziemy nazywać ortocentrum tego trójkąta.

R1HRDDEVM7V75

R19MJ6HXC12RP

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz jego trzy wysokości. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A E padający na bok C B. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek B C padający na przedłużenie odcinka C A. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D padający na przedłużenie odcinka A B. Przedłużenia odcinków C D, A E oraz B F przecinają się w punkcie H. — Ortocentrum $H$ w trójkącie rozwartokątnym

R1EZ7K92HTBNB

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C D na bok A B. Wierzchołek C jest równocześnie równy H, czyli ortocentrum. — Ortocentrum $H$ w trójkącie prostokątnym

Zauważmy, że w trójkącie ostrokątnym czy prostokątnym ortocentrum jest punktem przecięcia się wysokości (odcinków), a w trójkącie rozwartokątnym jest punktem przecięcia się przedłużeń tych wysokości. Przyjęcie w definicji warunku przecinania się prostych jest ogólniejsze, co nie zmienia faktu, iż często o ortocentrum, także w przypadku trójkąta rozwartokątnego, mówi się, jako o punkcie przecinania się wysokości, a nie odpowiednich prostych i nie jest to traktowane jako błąd.

W definicji ortocentrum pojawia się warunek istnienia jednego punktu, w którym przetną się wszystkie trzy wysokości. Poniższe twierdzenie i jego dowód pokazują, że warunek ten jest spełniony dla dowolnego trójkąta.

O istnieniu ortocentrum

Twierdzenie: O istnieniu ortocentrum

Proste zawierające wysokości trójkątawysokość trójkątawysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Rozważmy dowolny trójkąt $A B C$ i poprowadźmy przez każdy z jego wierzchołków prostą równoległą do przeciwległego boku, aż do przecięcia odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ , jak na rysunku.

R1UJJJEUUVFO5

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Przez każdy z jego wierzchołków poprowadzono proste równoległe do przeciwległego boku, aż do przecięcia się tych prostych w punktach A prim, B prim oraz C prim. Wewnątrz trójkąta A B C upuszczono trzy wysokości, A E, B F oraz C D. — Dowód twierdzenia o istnieniu ortocentrum

Zauważmy, że czworokąt $A B A' C$ jest równoległobokiem, a odcinek $B C$ jest jego przekątną, stąd w szczególności trójkąty $A B C$ oraz $A' B C$ są przystające.

Podobnie, korzystając z własności równoległoboków $A B C B'$ oraz $A C' B C$ stwierdzamy, że trójkąty $A B C$ oraz $A C B'$ i $A B C$ oraz $A C' B$ są także przystające.

Stąd wynika, że punkty $A$ , $B$ , $C$ są środkami odpowiednich boków trójkąta $A' B' C'$ , a proste $A H$ , $B H$ oraz $C H$ są symetralnymi odpowiednich boków trójkąta $A' B' C'$ .

Korzystając ze znanej własności, że symetralne przecinają się w jednym punkcie otrzymujemy tezę twierdzenia.

Ciekawostka

Trójkąt ortyczny

Definicja: Trójkąt ortyczny

Dany jest trójkąt $A B C$ , który nie jest prostokątny. Trójkąt $D E F$ , którego wierzchołkami są spodki wysokości danego trójkąta $A B C$ nazywamy trójkątem ortycznym albo spodkowym.

ROLB7NEP5QUCF

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. Wewnątrz trójkąta A B C powstał trójkąt D E F. — Trójkąt ortyczny trójkąta ostrokątnego

R1MQT22VB8JUA

Problemem Fagnana nazywa się problem optymalizacyjny związany z wyznaczeniem trójkąta o najmniejszym obwodzie, którego każdy z wierzchołków leży na innym z trzech boków danego trójkąta ostrokątnego. Problem ten został postawiony przez włoskiego matematyka i duchownego Giovanniego Fagnana w $1775$ roku. Okazuje się, że jego rozwiązaniem jest trójkąt ortycznytrójkąt ortycznytrójkąt ortyczny.

Przykład 1

Rozważmy trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ długości $30$ i ramieniu $25$ . Wyznaczymy obwód trójkąta ortycznego oraz odległość ortocentrum trójkąta $A B C$ od jego podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RPPUEKJ6LU6N1

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. Wewnątrz trójkąta A B C powstał trójkąt równoramienny D E F.

Wtedy $|A B| = 30$ , $|A C| = |B C| = 25$ oraz $\cos (∢ D A C) = \frac{|A D|}{|A C|} = \frac{15}{25} = \frac{|A F|}{|A B|}$ .

Stąd $|A F| = \frac{15}{25} \cdot |A B| = 18$ .

Ponieważ $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|F C|}$ , więc $|E F| = \frac{|A B|}{|A C|} \cdot |F C| = \frac{30}{25} \cdot (25 - 18) = \frac{42}{5}$ .

Ponadto $|C D| = \sqrt{25^{2} - 15^{2}} = 20$ oraz $\frac{|A C|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C G|}$ .

Stąd $|C G| = \frac{|C D|}{|A C|} \cdot |C F| = \frac{20}{25} \cdot (25 - 18) = \frac{28}{5}$ oraz $|D G| = 20 - \frac{28}{5} = \frac{72}{5}$ .

Zatem $|D F| = \sqrt{{(\frac{72}{5})}^{2} + {(\frac{21}{5})}^{2}} = 15$ .

Szukany obwód jest więc równy $30 + \frac{42}{5}$ .

Ponieważ trójkąty $A H B$ i $E H F$ są podobne w skali $\frac{30}{\frac{42}{5}} = \frac{25}{7}$ oraz $|H D| + |H G| = \frac{72}{5}$ , więc $\frac{7}{25} \cdot |H D| + |H D| = \frac{72}{5}$ .

Stąd $|H D| = \frac{45}{4}$ .

Symulacje interaktywne

Uruchom symulację. Ustal położenie wierzchołków trójkąta tak, aby trójkąt był ostrokątny, prostokątny lub rozwartokątny. Zastanów się, gdzie leżą spodki wysokości trójkąta. Wybierz polecenie „wysokości” i sprawdź swoje przypuszczenia.

R1442T25SKFJ7

Polecenie 1

Na podstawie symulacji interaktywnej określ położenie punktu wspólnego wysokości danego trójkąta w zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąta. Wybierz polecenie „ortocentrum” i sprawdź swoje przypuszczenia.

Na podstawie opisu symulacji interaktywnej określ położenie punktu wspólnego wysokości danego trójkąta w zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąta.

Polecenie 2

Znajdź takie położenie wierzchołków trójkąta, dla których wysokości mają długości odpowiednio równe $h_{a} = h_{b} = 2$ , $h_{c} = 5$ .

R1AN1N7LMCTB1

Uruchom symulację interaktywną. Ustal położenie wierzchołków trójkąta, a następie wybierz polecenie „Ortocentrum”. Obserwuj położenie punktu wspólnego wysokości danego trójkąta w zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąta. Następnie wybierz polecenie „Trójkąt ortyczny”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta $P Q R$ i obserwuj jak zmienia się jego obwód. Kliknij przycisk „Koniec”, by porównać obwód trójkąta $P Q R$ i trójkąta ortycznego.

RA61JKSQA2QEO

Polecenie 3

Ustal położenie wierzchołków, aby trójkąt $A B C$ był rozwartokątny. Następnie znajdź takie położenie punktów $P$ , $Q$ , $R$ , przy którym – twoim zdaniem – obwód jest najmniejszy. Oblicz błąd względny otrzymanego obwodu w stosunku do obwodu trójkąta ortycznego. Rozstrzygnij, czy w zagadnieniu Fagnana założenie o tym, że trójkąt jest ostrokątny jest konieczne.

Polecenie 4

Ustal położenie wierzchołków, aby trójkąt $A B C$ był ostrokątny. Następnie znajdź takie położenie punktów $P$ , $Q$ , $R$ , przy którym – twoim zdaniem – obwód jest najmniejszy. Oblicz błąd względny otrzymanego obwodu w stosunku do obwodu trójkąta ortycznego.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R935Z6N6F8XAZ2

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RBXAUTFKSNGHG

R9C3HQ7MK5S4E

Ćwiczenie 3

R12BTBMN9FOFT

RPAJF6UR4DEUH

Na rysunkach opisano miary dwóch wybranych kątów, jakie wysokości trójkąta A B C tworzą z odpowiednimi bokami. Korzystając z przedstawionych na rysunku zależności, wyznacz miarę kąta alfa.
Dopasuj miarę kąta do odpowiedniego rysunku. alfa, równa się, piętnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści cztery stopnie Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, trzydzieści stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C. alfa, równa się, szesnaście stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 12 stopni, między wysokością B E, a bokiem B C, oraz kąt alfa plus 18 stopni między wysokością A D, a bokiem A C., 2. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy alfa między bokiem A B C, a wysokością A D trójkąta, oraz kąt dwa alfa, minus, trzydzieści cztery stopnie, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F znajdującym się na przedłużeniu boku A B. Zaznaczono kąt równy cztery alfa między bokiem A B , a wysokością B E trójkąta, oraz kąt dwa alfa, plus, pięć stopni, między bokiem B C, a wysokością C F trójkąta., 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na boku B C. Z wierzchołka B opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie E, znajdującym się na boku A C. Z wierzchołka C opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie F, znajdującym się na boku A B. Zaznaczono kąt równy 2 alfa minus 8 stopni, między wysokością A D, a bokiem A B, oraz kąt alfa plus 8 stopni między wysokością F C, a bokiem A C.

RGN2J4ACHD3PN2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

W trójkącie prostokątnym, wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość $2$ , a jedna z pozostałych wysokości ma długość $3$ . Oblicz długość trzeciej wysokości tego trójkąta.

Oznaczmy przez $h$ szukaną wysokość (przyprostokątną) trójkąta.

Wtedy przeciwprostokątna $c$ jest równa $3^{2} + h^{2} = c^{2}$ .

Ponieważ $\frac{1}{2} c \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ , więc $\frac{1}{2} \sqrt{3^{2} + h^{2}} \cdot 2 = \frac{1}{2} h \cdot 3$ .

Stąd otrzymujemy, że $4 \cdot (3^{2} + h^{2}) = 9 h^{2}$ .

Stąd $5 h^{2} = 36$ , czyli $h = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

Ćwiczenie 6

Punkty $D$ , $E$ , $F$ są spodkami wysokości w trójkącie $A B C$ , jak na rysunku.

R4RZBN46KQZ9Q

Punkty $D$ i $E$ dzielą boki trójkąta w taki sposób, że $\frac{|A D|}{|B D|} = \frac{2}{5}$ oraz $\frac{|B E|}{|C E|} = \frac{1}{3}$ . Wyznacz stosunek długości odcinków, na jakie punkt $F$ dzieli bok $A C$ .

Z twierdzenia Cevy mamy, że $\frac{|A D|}{|D B|} \cdot \frac{|B E|}{|E C|} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Zatem $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Stąd $\frac{|C F|}{|F A|} = \frac{15}{2}$ .

R66OBTKR4ALGO3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Rozważmy trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ długości $17$ . Wysokości poprowadzone do ramion trójkąta mają długości $15$ . Wyznacz obwód trójkąta ortycznego.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1XNRGL9O882O

Wtedy $|A B| = 17$ , $|A E| = |B F| = 15$ oraz $|A F| = |B E| = \sqrt{17^{2} - 15^{2}} = 8$ .

$\cos (∢ C A D) = \frac{|A F|}{|A B|} = \frac{8}{17} = \frac{|A D|}{|A C|}$ . Stąd $|A C| = \frac{17}{8} \cdot |A D| = \frac{289}{16}$ .

Ponieważ $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|F C|}$ , więc $|E F| = \frac{|A B|}{|A C|} \cdot |F C| = \frac{17}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{161}{17}$ .

Ponadto $|C D| = \sqrt{{(\frac{289}{16})}^{2} - {(\frac{17}{2})}^{2}} = \frac{255}{16}$ oraz $\frac{|A C|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C G|}$ .

Stąd $|C G| = \frac{|C D|}{|A C|} \cdot |C F| = \frac{\frac{255}{16}}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{2415}{272}$ oraz $|D G| = \frac{255}{16} - \frac{2415}{272} = \frac{120}{17}$ .

Zatem $|D F| = \sqrt{{(\frac{161}{34})}^{2} + {(\frac{120}{17})}^{2}} = \frac{17}{2}$ .

Szukany obwód jest więc równy $17 + \frac{161}{17}$ .

Ćwiczenie 9

W trójkącie ostrokątnym o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ i wysokościach odpowiednio $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ mamy dane $h_{a} = 3$ , $h_{b} = 4$ , $c = 6$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Zauważ, że wysokości $h_{a}$ , $h_{b}$ są przyprostokątnymi trójkątów o wspólnym wierzchołku.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R7KSQ6XJC6BAV

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny A B C. Z wierzchołka A opuszczono wysokość do boku A B, o długości trzy. Spodek tej wysokości leży w punkcie D. Z wierzchołka B opuszczono wysokość do boku A C, o długości cztery. Spodek tej wysokości leży w punkcie E. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do boku A B, której spodek leży w punkcie F. Długość odcinka A F oznaczono x, natomiast długość odcinka F B oznaczono y.

Wtedy $|A E| = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ oraz $|B D| = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ .

Ponadto $tg (∢ A B C) = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h_{c}}{y}$ oraz $tg (∢ B A C) = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{h_{c}}{x}$ .

Stąd $y = \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5}$ .

Ale $x + y = 6$ , czyli $x + \frac{2 \sqrt{15} \cdot x}{5} = 6$ .

Stąd $x = \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5}$ .

Wtedy $h_{c} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{30}{2 \sqrt{15} + 5} = \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Zatem pole trójkąta jest równe $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{12 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7} = \frac{36 \cdot (2 \sqrt{3} - \sqrt{5})}{7}$ .

Słownik

wysokość trójkąta

wysokością trójkąta jest najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok

trójkąt ortyczny

trójkąt, którego wierzchołkami są spodki wysokości danego trójkąta nazywamy jego trójkątem ortycznym

1. Środkowe w trójkącie

3. Punkty szczególne w trójkącie równobocznym