2. Równanie kierunkowe prostej

R1cUUWU0lwfXi

Wiele figur narysowanych w układzie współrzędnych można potraktować jak zbiór punktów, których współrzędne spełniają pewne równanie. W tej lekcji zajmiemy się przypadkiem szczególnym równania liniowego, mianowicie równaniem kierunkowym, którym można opisać każdą prostą nierównoległą do osi $Y$ . Równanie to jest użyteczne z powodu jednoznacznej interpretacji jego współczynników, a rysowanie wykresów na jego podstawie jest wygodne i łatwe.

Twoje cele

Odróżnisz równanie kierunkowe prostej od innego.
Wskażesz współczynniki równania kierunkowego.
Wyznaczysz współczynniki równania kierunkowego narysowanej prostej.
Powiążesz współczynniki prostej z jej położeniem w układzie współrzędnych.
Rozpoznasz proporcjonalność prostą.

Każda prosta umieszczona w prostokątnym układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$ , może zostać opisana tzw. równaniem kierunkowym:

y = a x + b

gdzie $a, b \in ℝ$ . Liczby $a$ i $b$ nazywamy współczynnikami równania kierunkowego: $a$ to współczynnik kierunkowy, zaś $b$ to wyraz wolnywyraz wolnywyraz wolny.

Przykład 1

Podamy współczynniki danych równań kierunkowych prostychrównanie kierunkowe prostejrównań kierunkowych prostych.

Równanie kierunkowe prostej	Współczynnik kierunkowy	Wyraz wolny
$y = 3 x - 5$	$3$	$- 5$
$y = π x - \sqrt{2}$	$π$	$- \sqrt{2}$
$y = \frac{7}{3}$	$0$	$\frac{7}{3}$
$y = 0$	$0$	$0$
$y = - 3 x$	$- 3$	$0$
$y = - 5 x - 3 + π$	$- 5$	$- 3 + π$
$y = (2, 5 - \sqrt{3}) x + \sqrt{5} - π$	$2, 5 - \sqrt{3}$	$\sqrt{5} - π$

Zauważmy, że jeśli współczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowy jest równy zeru, to równanie przyjmuje postać:

y = a x + b

y = 0 \cdot x + b

y = b

Równanie postaci $y = b$ oznacza, że niezależnie od wartości zmiennej $x$ , wartość zmiennej $y$ jest stała i równa $b$ . Zatem punkty leżące na prostej będącej wykresem tego równania, mają współrzędne $(x_{0}, b)$ , gdzie $x_{0}$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Podsumowując, prosta o równaniu $y = b$ jest równoległa do osi $X$ i przecina oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ .

R19nEvgLi7iz6

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Osie nie mają zaznaczonych wartości. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta o równaniu Y równa się B, przy czym punkt B położony jest na dodatniej półosi OY i ma współrzędne zero B.

Wyznaczymy teraz współrzędne punktów przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osiami układu współrzędnych.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $Y$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma odciętą równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(0, y_{0})$ .

Podstawmy te współrzędne do równania $y = a x + b$ . Otrzymujemy:

y_{0} = a \cdot 0 + b

y_{0} = b

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, b)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $X$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma rzędną równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(x_{0}, 0)$ . Podstawmy te współrzędne do równania $y = a x + b$ . Otrzymamy:

0 = a \cdot x_{0} + b

a x_{0} = - b

Jeśli $a$ nie jest równe zeru (czyli prosta nie jest równoległa do osi $X$ ), to możemy otrzymane równanie podzielić obustronnie przez $a$ , otrzymując

x_{0} = - \frac{b}{a}

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osią $X$ , gdzie $a \neq 0$ , ma współrzędne $(- \frac{b}{a}, 0)$ .

R1RnjBO2FqTU2

Przykład 2

Wyznaczymy punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych. Proste opisane są równaniami:

$y = - 3 x + 5$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma odciętą równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(0, y_{0})$ . Podstawmy te współrzędne do równania $y = - 3 x + 5$ :

$y_{0} = - 3 \cdot 0 + 5$ ,

$y_{0} = 5$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 3 x + 5$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 5)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $X$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma rzędną równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(x_{0}, 0)$ .

Podstawmy te współrzędne do równania $y = - 3 x + 5$ . Otrzymamy:

$0 = - 3 x_{0} + 5$ ,

$3 x_{0} = 5$ ,

$x_{0} = \frac{5}{3}$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 3 x + 5$ z osią $X$ ma współrzędne $(\frac{5}{3}, 0)$ .

$y = 4 x$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , podstawmy $(0, y_{0})$ do równania $y = 4 x$ . Otrzymamy:

$y_{0} = 4 \cdot 0$ ,

$y_{0} = 0$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = 4 x$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 0)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $X$ , podstawmy $(x_{0}, 0)$ do równania $y = 4 x$ . Otrzymamy:

$0 = 4 \cdot x_{0}$ ,

$x_{0} = 0$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = 4 x$ z osią $X$ ma współrzędne $(0, 0)$ .

Zatem prosta o równaniu $y = 4 x$ przecina każdą z osi układu w punkcie $(0, 0)$ .

$y = - 2$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , podstawmy $(0, y_{0})$ do równania $y = - 2$ . Otrzymamy:

$y_{0} = - 2$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 2$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 2)$ . Ta prosta jest równoległa do osi $X$ , więc nie ma z nią punktów wspólnych.

$y = 0$

Prosta o równaniu $y = 0$ pokrywa się z osią $X$ , zatem punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 0)$ , zaś punktów wspólnych z osią $X$ jest nieskończenie wiele.

Przykład 3

Wyznaczymy równanie kierunkowe narysowanej prostej.

RBszOwOSOWKsY

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, funkcja jest rosnąca. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty: H o współrzędnych minus trzy zero, J o współrzędnych minus jeden jeden oraz K o współrzędnych jeden dwa.

Aby wyznaczyć równanie $y = a x + b$ narysowanej prostej odczytamy najpierw współrzędne przynajmniej dwóch z punktów kratowych $H = (- 3, 0), J = (- 1, 1), K = (1, 2)$ , przez które przechodzi ta prosta.

Do równania prostej podstawiamy najpierw współrzędne punktu $K = (1, 2)$ , otrzymując równanie $2 = a + b$ .
Następnie podstawiamy współrzędne punktu $J = (- 1, 1)$ , otrzymując równanie $1 = - a + b$ .

Aby wyznaczyć współczynniki $a$ i $b$ wystarczy rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} a + b = 2 \\ - a + b = 1 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy równanie:

$2 b = 3$

$b = \frac{3}{2}$ ,

zatem

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + b = 2 \end{cases}$ .

Po podstawieniu wyznaczonego $b$ do pierwszego z równań, możemy wyznaczyć $a$ .

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + \frac{3}{2} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a = \frac{1}{2} \end{cases}$

Zatem prosta ma równanie $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj poniższą infografikę, a następnie wykonaj polecenie.

R1XtnbjdnBsTD1

Polecenie 2

R7tFyMDaR8WQT

Podaj trzy dowolne punkty, przez które przechodzi prosta zadana wzorem $y = - 2, 5 x + 1$ .

R1IUMz7tQcSW2

Przykład 4

Narysujemy proste o danych niżej równaniach przez podstawienie konkretnych liczb za $x$ .

$y = 3 x$

Aby narysować prostą w układzie współrzędnych, stworzymy tabelę, która posłuży nam do wyznaczenia współrzędnych punktów należących do tej prostej. Liczby w pierwszym wierszu tabeli wybieramy uznaniowo, zaś drugi wiersz wypełniamy na podstawie równania opisującego prostą.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = 3 x$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$

Otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów, które należą do prostej o równaniu $y = 3 x$ :

$(- 2, - 6)$ , $(- 1, - 3)$ , $(0, 0)$ , $(1, 3)$ , $(2, 6)$

R1FmNAPHPkCaB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, znajdują się na niej liczby od -8 do osiem. Oś pionowa została oznaczona jako Y, liczby na niej są z zakresu od -6 do sześć. Zaznaczono kolejno pięć punktów na układzie współrzędnych: -2;-6, -1;-3, 0;0, 1;3 oraz 2;6. Poprowadzono prostą przechodzącą przez wszystkie te punkty.

$y = \frac{1}{2} x$

Ponownie tworzymy tabelę, która ułatwi nam wyznaczenie współrzędnych punktów należących do prostej. Liczby w pierwszym wierszu również wybieramy uznaniowo, ale tym razem wybieramy je tak, aby były podzielne przez $2$ . Kierujemy się przy tym tylko wygodą obliczeń.

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y = \frac{1}{2} x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów które należą do prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x$ :

$(- 4, - 2)$ , $(- 2, - 1)$ , $(0, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$

R4C32vhkkppye

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -8 do 8, natomiast pionowa oś Y od -4 do cztery. Na układzie współrzędnych zaznaczono kolejno pięć punktów: -4;-2, -2;-1, 0;0, 2;1 oraz 4;2. Poprowadzono prostą, która przechodzi przez wszystkie te punkty.

$y = \frac{4}{3} x$

Podobnie jak w poprzednich przykładach tworzymy tabelkę.

$x$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$
$y = \frac{4}{3} x$	$- 8$	$- 4$	$0$	$4$	$8$

Zatem do prostej o równaniu $y = \frac{4}{3} x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 6, - 8)$ , $(- 3, - 4)$ , $(0, 0)$ , $(3, 4)$ , $(6, 8)$ .

R1eJdUiLtpWJP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -8 do osiem. Oś pionowa Y ma liczby z zakresu od -8 do osiem. Na układzie współrzędnych zaznaczono kolejno pięć punktów: -6;-8, -3;-4, 0;0, 3;4 oraz 6;8. Poprowadzono prostą, która przechodzi przez wszystkie zaznaczone punkty.

$y = \frac{3}{4} x$

Tworzymy tabelę:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y = \frac{3}{4} x$	$- 3$	$- \frac{3}{2}$	$0$	$\frac{3}{2}$	$3$

Zatem do prostej o równaniu $y = \frac{3}{4} x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 4, - 3)$ , $(- 2, - \frac{3}{2})$ , $(0, 0)$ , $(2, \frac{3}{2})$ , $(4, 3)$ .

RxJYA3TAlR2NK

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Na poziomej osi X zaznaczono liczby od -8 do 8, a na pionowej osi Y zaznaczono liczby od -6 do sześć. Zaznaczono punkty: -4;-3, -2;-32, 0;0, 2;32oraz 4;3. Narysowano prostą przechodzącą przez te punkty.

$y = - 3 x$

Tworzymy tabelę:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = - 3 x$	$6$	$3$	$0$	$- 3$	$- 6$

Zatem do prostej o równaniu $y = - 3 x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 2, 6)$ , $(- 1, 3)$ , $(0, 0)$ , $(1, - 3)$ , $(2, - 6)$ .

R17e8CIYsxoMV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X oraz osią pionową Y. Na osi X znajdują się liczby od -8 do osiem. Na osi Y liczby są z zakresu od -6 do sześć. Zaznaczono kolejno pięć punktów: -2;6, -1;3, 0;0, 1;-3 oraz 2;-6. Poprowadzono prostą przechodzącą przez wszystkie te punkty.

$y = - \frac{1}{2} x$

Tworzymy tabelę:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y = - \frac{1}{2} x$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

Zatem do prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 4, 2)$ , $(- 2, 1)$ , $(0, 0)$ , $(2, - 1)$ , $(4, - 2)$ .

R1gG8s7MfdQmz

$y = - \frac{4}{3} x$

Tworzymy tabelę:

$x$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$
$y = - \frac{4}{3} x$	$8$	$4$	$0$	$- 4$	$- 8$

Zatem do prostej o równaniu $y = - \frac{4}{3} x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 6, 8)$ , $(- 3, 4)$ , $(0, 0)$ , $(3, - 4)$ , $(6, - 8)$ .

R6p21xiq9bayY

$y = - \frac{3}{4} x$

Tworzymy tabelę:

$x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$
$y = - \frac{3}{4} x$	$3$	$\frac{3}{2}$	$0$	$- \frac{3}{2}$	$- 3$

Zatem do prostej o równaniu $y = - \frac{3}{4} x$ należą między innymi punkty o współrzędnych: $(- 4, 3)$ , $(- 2, \frac{3}{2})$ , $(0, 0)$ , $(2, - \frac{3}{2})$ , $(4, - 3)$ .

RyihlfDCOQtAP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby od -8 do osiem. Oś pionowa Y ma liczby od -4 do cztery. Zaznaczono punkty: -4;3, -2;32, 0;0, 2;-32 oraz 4;-3. Przez wszystkie punkty poprowadzono ukośną prostą.

Polecenie 3

RpsxWgIPSwxko

Polecenie 4

RoCWD2A4gjRKT

Poniższą interpretację współczynnika kierunkowego można wykorzystać do sprawnego szkicowania prostych na podstawie ich równań oraz do podawania równań prostych na podstawie ich wykresu.

Przykład 5

Przeanalizujemy kilka przykładów za każdym razem badając punkty kratowepunkt kratowypunkty kratowe (punkty o współrzędnych całkowitych) znajdujące się na danej prostej.

$y = 2 x$

Zwróć uwagę na punkty kratowe.

Aby przemieścić się od punktu $(- 2, - 4)$ do punktu $(- 1, - 2)$ wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i jedną jednostkę w prawo.

Aby przemieścić się od punktu $(- 1, - 2)$ do punktu $(0, 0)$ ponownie wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i jedną jednostkę w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RgChoikfYRixS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, ma ona liczby od -8 do osiem, natomiast oś pionowa Y ma liczby od -4 do cztery. Zaznaczono pięć punktów, dwoma kolorami: Punkty Pomarańczowe. -2;-4, -1;-2, 0;0. Punkty Niebieskie. 1;2, 2;4. Przez wszystkie punkty poprowadzono ukośną prostą.

$y = \frac{2}{3} x$

Aby przemieścić się od punktu $(- 3, - 2)$ do punktu $(0, 0)$ wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i trzy jednostki w prawo.

Aby przemieścić się od punktu $(0, 0)$ do punktu $(3, 2)$ ponownie wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i trzy jednostki w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RMOti5iRoXN4p

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma ona liczby od -8 do osiem, oś pionowa Y ma liczby od -4 do cztery. Zaznaczono pięć punktów, dwoma kolorami: Punkty Pomarańczowe. -3;-2, 3;2, 0;0. Punkty Niebieskie. -6;-4, 6;4. Przez wszystkie punkty poprowadzono ukośną prostą.

$y = - 3 x$

Aby przemieścić się od punktu $(1, - 3)$ do punktu $(0, 0)$ wystarczy “przejść” trzy jednostki w dół i jedną jednostkę w prawo.

Aby przemieścić się od punktu $(0, 0)$ do punktu $(1, - 3)$ ponownie wystarczy “przejść” trzy jednostki w dół i jedną jednostkę w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

R2JkCjEbeLE3K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, pionową jako Y. Oś X ma liczby z zakresu od -8 do osiem. Oś pionowa Y ma liczby z zakresu od -6 do sześć. Zaznaczono pięć punktów, dwoma kolorami: Punkty Pomarańczowe. 1;-3, 0;0. Punkty Niebieskie. 2;-6, -1;3, -2;6. Przez wszystkie punkty poprowadzono ukośną prostą.

$y = - \frac{4}{3} x$

Aby przemieścić się od punktu $(0, 0)$ do punktu $(3, - 4)$ wystarczy “przejść” cztery jednostki w dół i trzy jednostki w prawo.

Aby przemieścić się od punktu $(3, - 4)$ do punktu $(6, - 8)$ ponownie wystarczy “przejść” cztery jednostki w dół i trzy jednostki w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RNcIPt1XpVEKH

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma X ma na sobie liczby od -8 do 8, a oś pionowa Y ma na sobie liczby od -8 do osiem. Zaznaczono pięć punktów na układzie współrzędnych, używając dwóch kolorów. Punkty Niebieskie. -6;8, -3;4. Punkty Pomarańczowe. 0;0, 3;-4, 6;-8. Poprowadzono prostą. Przechodzi ona przez wszystkie zaznaczone punkty.

Polecenie 5

R1498KQVB67xr

Polecenie 6

Obserwuj położenie prostej o równaniu $y = a x$ w układzie współrzędnych w zależności od zmieniającej się wartości współczynnika $a$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu. Zwróć uwagę, przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzą proste $y = a x$ , gdy współczynnik $a$ jest większy od $0$ , a przez które, gdy $a$ jest mniejszy od $0$ .

R11J1703PSvf1

Polecenie 7

Rozwiąż test na podstawie obserwacji położenia prostej w układzie współrzędnych w zależności od współczynnika kierunkowego.

Zaznacz poprawne odpowiedzi. Więcej, niż jedna odpowiedź może być poprawna.

RCD1ukFrDPFSx

R11w2Q4yJPGRv

Możemy zauważyć, że podstawiając za zmienną $x$ liczbę zero w równaniu $y = a x + b$ , otrzymujemy kolejno:

$y = a \cdot 0 + b$

$y = b$

Stąd wniosek, że prosta o równaniu $y = a x + b$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, b)$ . Zatem wyraz wolny $b$ informuje nas, w którym punkcie prosta przecina oś $Y$ . Obserwacja ta znacznie ułatwia rysowanie prostych o danym równaniu oraz podawanie równań narysowanych prostych.

RQuuSCwUHnKGW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Brak podziałki. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, b, gdzie b jest liczbą dodatnią większą od 1. Prosta podpisana jest równaniem kierunkowym y=ax+b. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 6

Narysujemy proste będące wykresami podanych niżej równań liniowych. Skorzystamy z interpretacji graficznej wyrazu wolnegowyraz wolnywyrazu wolnego.

$y = 3 x - 2$

Wyrazem wolnym prostej o równaniu $y = 3 x - 2$ jest liczba $(- 2)$ , co oznacza, że prosta przechodzi przez punkt $(0, - 2)$ .

Aby narysować prostą, wystarczą nam współrzędne dwóch punktów, przez które ona przechodzi. Wyznaczają one bowiem jednoznacznie położenie prostej na płaszczyźnie.

Jeśli za zmienną $x$ podstawimy liczbę $1$ , otrzymamy $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ , czyli punkt o współrzędnych $(1, 1)$ .

Czasami dla skontrolowania poprawności rachunkowej warto wyznaczyć współrzędne jeszcze jednego punktu spełniającego dane równanie. Jeśli po zaznaczeniu wszystkich trzech punktów w układzie współrzędnych okazuje się, że nie leżą one na jednej prostej, oznacza to, że popełniliśmy błąd. Jeśli natomiast punkty leżą na jednej prostej, to z dużym prawdopodobieństwem rozwiązaliśmy zadanie poprawnie. Niech pierwsza współrzędna punktu kontrolnego będzie równa $2$ , wówczas druga współrzędna tego punktu to $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$ . Otrzymujemy punkt o współrzędnych $(2, 4)$ .

Rwvp7tCwRy0Ek

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, -2. Na prostej zaznaczono również punkty o współrzędnych: 1, 1 oraz 2, 4.

$y = - 2 x + 3$

Zauważmy, że wyraz wolny w tym równaniu wynosi $3$ , zatem prosta przechodzi przez punkt $(0, 3)$ .

Szukając drugiego punktu, podstawimy za zmienną $x$ liczbę $3$ . Otrzymamy $y = - 2 \cdot 3 + 3 = - 3$ , czyli punkt o współrzędnych $(3, - 3)$ .

Dla skontrolowania poprawności rachunkowej weźmy jeszcze jeden punkt. Niech jego pierwsza współrzędna będzie równa $2$ . Wówczas druga współrzędna to $y = - 2 \cdot 2 + 3 = - 1$ . Otrzymujemy punkt $(2, - 1)$ .

RykkChd8qDZgb

$y = - 2$

Wyrazem wolnym prostej o równaniu $y = - 2$ jest liczba $(- 2)$ , zatem prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ . Zauważmy, że współczynnik kierunkowy $a$ jest równy $0$ . Dlatego niezależnie od tego jaką liczbę podstawimy za zmienną $x$ , druga współrzędna zawsze będzie równa $y = - 2$ . Czyli do tej prostej należą między innymi punkty o współrzędnych $(3, - 2)$ oraz $(- 2, - 2)$ .

R1Qj6KDIoUlae

Przykład 7

Podamy równania prostych na podstawie ich wykresów i korzystając z interpretacji współczynnika $b$ .

RUvM8lYqh4so4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, 3. Prosta przechodzi również przez punkt o współrzędnych 1, 5, który nie jest na niej wyróżniony.

Zauważmy najpierw, że prosta na rysunku nie jest prostopadła do osi $X$ . Zatem można ją opisać równaniem postaci $y = a x + b$ .

Z wykresu możemy odczytać, że przechodzi ona przez punkty kratowepunkty kratowepunkty kratowe o współrzędnych $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 3)$ , $(1, 5)$ . Ponieważ prosta przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 3)$ , zatem wyraz wolny $b$ jest równy $3$ .

Stąd $y = a x + 3$ .

Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$ , możemy wykorzystać współrzędne jednego z odczytanych punktów kratowych. Weźmy na przykład punkt $(1, 5)$ . Po podstawieniu do wzoru $x = 1$ i $y = 5$ , otrzymujemy $5 = a \cdot 1 + 3$ , czyli $a = 2$ .

Zatem prosta ma równanie $y = 2 x + 3$ .

RPKy4iWONkv2Z

Z wykresu odczytujemy, że prosta $y = a x + b$ przechodzi przez punkty kratowepunkty kratowepunkty kratowe o współrzędnych $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, - 2)$ . Ponieważ prosta przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 2)$ , zatem wyraz wolny $b$ jest równy $(- 2)$ .

Stąd $y = a x - 2$ .

Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$ , wykorzystamy współrzędne odczytanego punktu kratowego $(- 1, 1)$ . Po podstawieniu do wzoru $x = - 1$ i $y = 1$ otrzymujemy $1 = a \cdot (- 1) - 2$ , czyli $a = - 3$ .

Zatem prosta ma równanie $y = - 3 x - 2$ .

Polecenie 8

Korzystając z suwaków, zmieniaj wartości współczynników $a$ i $b$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$ .

Czy zmiana wartości współczynnika kierunkowego $a$ ma wpływ na punkt przecięcia prostej z osią $Y$ ?
Zwróć uwagę na zależność pomiędzy wyrazem wolnym $b$ a punktem przecięcia prostej z osią $Y$ .

Zapoznaj się z poniższym apletem, w którym wyjaśniono wpływ współczynnika kierunkowego oraz wyrazu wolnego na położenie w układzie współrzędnych prostej zadanej wzorem $y = a x + b$ .

RXWjq1FuqK5NR

Polecenie 9

R6NSgkdRND7Dj

R1aBiAELLvIUj1

Ćwiczenie 1

R19rz5AyLIyeB1

Ćwiczenie 2

RsE5BAhHqp3dp2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary równanie kierunkowe z jego opisem. y, równa się, jedenaście x, plus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, PI Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, jeden przecinek dwa pięć Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, siedem x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, piętnaście x, plus, trzydzieści dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, dwa x, plus, dwadzieścia Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, minus, x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Oba współczynniki tego równania są liczbami złożonymi., 2. Oba współczynniki tego równania są liczbami pierwszymi., 3. Oba współczynniki tego równania są liczbami parzystymi., 4. Oba współczynniki tego równania są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych., 5. Tylko wyraz wolny tego równania jest liczbą niewymierną., 6. Oba współczynniki tego równania są liczbami nieparzystymi, przy czym jedna z nich jest liczbą pierwszą., 7. Tylko współczynnik kierunkowy tego równania jest liczbą niewymierną., 8. Tylko wyraz wolny ma rozwinięcie nieskończone okresowe.

R1dihH2bDKuLp2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R13QjtctBnkNU2

RcCIRhcOdDUDR2

Ćwiczenie 6

R1KzG8RdqLDwb3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Podaj równania kierunkowe narysowanych prostych. Przeciągnij pasujące równanie.

RW6odoCEo6Kk8

R1GLHQFPP7mhg

Podaj równanie kierunkowe prostych przechodzących przez następujące punkty: a) punkty należące do prostej to $(0; - 2)$ oraz $(2; 2)$ ; b) punkty należące do prostej to $(- 1; 0)$ oraz $(0; - 2)$ ; c) punkty należące do prostej to $(0; - 2)$ oraz $(2; - 1)$ .

RZsCSCSsPeGjD

R1AlqsOeMblSl1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

R17aJM0vU3vgf

Ry98qsfWQ8aiU

R1IBxe3CBGq0Z2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

R16r5aqu5Feva

R9GySpApkGp97

R130tYBBX6fMK2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

R15YK0k39sFV9

R33uhpORzaAXE

Ćwiczenie 15

Jeden bochenek chleba kosztuje $2, 40 zł$ . Naszkicuj wykres proporcjonalności prostej (zależności ceny od ilości zakupionych bochenków), gdy liczba bochenków należy do zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

R10AWWuW20OsI

Ilustracja przedstawia wykres proporcjonalności prostej. Na poziomej osi X znajdują się liczby z zakresu od 0 do 9, na pionowej osi Y znajdują się liczby z zakresu od 0 do dwanaście. Zaznaczono punkty: 1;2,4, 2;4,8, 3;7,2, 4;9,6, 5;12.

RTG5QCczoG59431

Ćwiczenie 16

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 17

R6XGwdfOBwo0D1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zaznacz prawidłową odpowiedź w każdym z wariantów. Każda z prostych zadana jest równaniem kierunkowym. Należy dopasować wyraz wolny do każdej z nich.

R16NfiFXlcja0

R13dK55SYwqN9

RlPz8UcGUiiKT

RKlMVgLNZJxhN

Ćwiczenie 18

R13kXKiK2dlsb1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Dobierz w każdym przypadku odpowiednie równanie kierunkowe prostej.

RAeTYZVHcJ1rB1

R5gcvoS5FEDNh1

R8iyLecQ9PvQt1

R14GzJucARXAH1

Ćwiczenie 19

RxDvMkgFduCfB

Dobierz w każdym przypadku odpowiednie równanie kierunkowe prostej.

R7lgDYZ2piv31

R8hLIT88kEtNP

RplWPP921OqBZ

RFfiXqG3gzDOI

RCln4LK51Abqf2

Ćwiczenie 20

Dopasuj równanie prostej przechodzącej przez podane punkty A i B. Połącz w pary. A nawias zero przecinek zero zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias zero przecinek zero zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias trzy przecinek dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias zero, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias jeden, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias jeden przecinek trzy zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias dwa przecinek zero zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias jeden, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias, minus, trzy przecinek zero zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias jeden przecinek cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x A nawias jeden przecinek dwa zamknięcie nawiasu, przecinek, B nawias dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, x, minus, dwa, 2. y, równa się, x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, minus, trzy, 4. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, 5. y, równa się, x, plus, trzy, 6. y, równa się, x, plus, jeden, 7. y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x

RQXcF3hhWUdOY21

Ćwiczenie 21

Ćwiczenie 22

R17oFYSUHIwnk

Ćwiczenie 23

Wstaw równania prostych przedstawionych na rysunku.

RhPD60MJx9lJM

RLrXnIboHByii

RZ7afZMz3xTse

Jakie równania mają proste przechodzące przez podane punkty? Uzupełnij luki za pomocą podanych elementów.

Prosta $k$ przechodzi przez punkty: $A = (- 2, - 2), B = (0, 0)$ . Równanie kierunkowe prostej jest postaci: 1. y, równa się, x, 2. y, równa się, dwa x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, plus, cztery, 4. y, równa się, x, minus, dwa.

Prosta $l$ przechodzi przez punkty: $A = (0, - 2), B = (2, 0)$ . Równanie kierunkowe prostej jest postaci: 1. y, równa się, x, 2. y, równa się, dwa x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, plus, cztery, 4. y, równa się, x, minus, dwa.

Prosta $m$ przechodzi przez punkty: $A = (0, 4), B = (- 4, 0)$ . Równanie kierunkowe prostej jest postaci: 1. y, równa się, x, 2. y, równa się, dwa x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, plus, cztery, 4. y, równa się, x, minus, dwa.

Prosta $n$ przechodzi przez punkty: $A = (- 2, - 2), B = (0, 2)$ . Równanie kierunkowe prostej jest postaci: 1. y, równa się, x, 2. y, równa się, dwa x, plus, dwa, 3. y, równa się, x, plus, cztery, 4. y, równa się, x, minus, dwa.

Ćwiczenie 24

RUkEaK1VBwnmq

Słownik

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ , równanie kierunkowe opisuje proste, które nie są równoległe do osi $Y$

współczynnik kierunkowy

współczynnik przy zmiennej $x$ w równaniu kierunkowym prostej zwykle oznaczany przez literą $a$

wyraz wolny

współczynnik $b$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$ , określa punkt przecięcia prostej $(0, b)$ z osią $Y$

punkty kratowe

punkty o współrzędnych będących liczbami całkowitymi

punkt kratowy

punkt o współrzędnych będących liczbami całkowitymi

1. Odcinek w układzie współrzędnych

3. Współczynnik kierunkowy prostej

2. Równanie kierunkowe prostej

Słownik