2. Obrazy wielokątów i okręgów w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych

RGV8N446HHL45

Symetrię możesz spotkać wszędzie. W przyrodzie z łatwością zauważysz drzewa o symetrycznych liściach, owady o symetrycznie ubarwionych skrzydłach oraz symetryczne płatki śniegu.
W architekturze wszystkich kultur znajdziesz symetryczne kompozycje, które nadają budynkom harmonijny i proporcjonalny wygląd.

Pojęcie symetrii znane jest od czasów starożytnych. Symetryczne są różne obiekty w przyrodzie oraz arcydzieła architektury i sztuki.

R2187VJ9L1J16

Ilustracja przedstawia kolorowego motyla. Na jego tułowiu poprowadzono prostą. Oznacza ona, że skrzydła owada są symetryczne. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

RMPLFN4N8BL52

Ilustracja przedstawia łuk triumfalny. Na jego środku poprowadzono prostą. Mówi ona o tym, że prawa strona łuku jest identyczna jak lewa. — Źródło: Pixabay.com, *Łuk Triumfalny, Paryż*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1SV75EHLPA1N

Ilustracja przedstawia płatek śniegu. Przez jego środek przebiega prosta. Jest to oś symetrii, oznaczająca podzielenie figury na dwie identyczne części. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1FNVSQ11FPRK

Ilustracja przedstawia Taj Mahal. Przez budynek przebiega prosta, oś symetrii dzieląca budowlę na dwie równe części. — Źródło: Pixabay.com, *Taj Mahal, Indie*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R6XRTLN9J4ZGK

Ilustracja przedstawia sowę. Pomiędzy jej oczami oraz przez środek dziobu przechodzi oś symetrii. Dzieli ona głowę zwierzęcia na dwie równe części. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Wyznaczysz obraz danej figury w symetriach względem osi $X$ i osi $Y$ .
Wyznaczysz równanie okręgu w symetriach względem osi $X$ i osi $Y$ .

Aby wyznaczyć obraz figury $F$ w symetrii względem osi $X$ (lub osi $Y$ ), wyznaczamy obraz każdego punktu należącego do figury $F$ . Zbiór obrazów wszystkich punktów figury $F$ tworzy obraz figury $F$ . Na rysunku poniżej zilustrowano odcinek $A B$ i jego obraz w symetrii względem osi $X$ .

R13K5FBGL2TRO

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostało pięć pionowych prostych. Wszystkie proste przechodzą przez pierwszą i czwartą ćwiartkę. Na pierwszej prostej w ćwiartce pierwszej zaznaczony został punkt A prim, a w ćwiartce czwartej punkt A. Na drugiej prostej w pierwszej ćwiartce zaznaczony został punkt X prim, a w ćwiartce czwartej punkt X. Na trzeciej prostej w ćwiartce pierwszej znajduje się punkt Y prim, a w ćwiartce czwartej punkt Y. Na czwartej prostej w pierwszej ćwiartce jest punkt Z, a w czwartej Z prim. Na piątej prostej w pierwszej ćwiartce mamy punkt B, a w czwartej ćwiartce punkt B prim. Litery bez oznaczenia primem, czyli A, X, Y, Z, B zostały zaznaczone kolorem niebieskim i połączone linią prostą. Wszystkie litery oznaczone primem, czyli kolejno: A prim, X prim, Y prim, Z prim i B prim, oznaczono na kolor zielony i również połączono ze sobą linią prostą. Odcinek zielony jest obrazem symetrii odcinka niebieskiego względem osi x.

Ponieważ symetria względem osi jest izometrią, można udowodnić, że obrazem odcinka/koła/wielokąta (dowolnej figury) jest odcinek/koło/wielokąt, przy czym obraz figury $F$ jest figurą przystającą do $F$ .
Zatem, aby wyznaczyć obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ (lub osi $Y$ ), wystarczy wyznaczyć obrazy wierzchołków danego wielokąta, a następnie połączyć je w odpowiedniej kolejności odcinkami. Otrzymana łamana ogranicza obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ (lub osi $Y$ ).

Poniżej przedstawiono kolejne etapy wyznaczania obrazu trójkąta w symetrii względem osi $X$ .

RED3XMOVBS62E

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Trójkąt jest zamalowany na kolor niebieski.

RVHOK8Z8KQ2H3

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim.

RHQKK182G54CJ

Ilustracja trzecia przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt.

RRV5LF38UTDQO

Ilustracja czwarta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt. Ostatnim krokiem jest wypełnienie powierzchni trójkąta znajdującego się w czwartej ćwiartce tak aby był pełnym obrazem symetrii trójkąta A, B, C względem osi x.

Kolejne etapy wyznaczania obrazu trójkąta w symetrii względem osi $Y$ .

R16LE1BNRRGE8

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

R17RD5RHDKDAL

R9H4FP1JAK4KO

R1K54UDGM8ANN

Przykład 1

Wyznaczymy obraz okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w symetrii osiowej względem osi $X$ . Zapiszemy równanie tego obrazu.

Rozwiązanie:

Poniższy rysunek przedstawia dany okrąg oraz jego obraz w symetrii osiowej względem osi $X$ .

R1LS9XCNLT99V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W pierwszej ćwiartce znajduje się okrąg podpisany o równaniu nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, którego środek A ma współrzędne nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pod tym okręgiem, w czwartej ćwiartce znajduje się okrąg tego samego rozmiaru o równaniu nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, którego środek podpisany literą B ma współrzędne nawias trzy średnik minus trzy.

Obrazem punktu $A = (x, y)$ w symetrii osiowej względem osi $X$ jest punkt $A' = (x, - y)$ , więc zmieniając $y$ na $(- y)$ , otrzymujemy:

${(- y - 3)}^{2} = {(- (y + 3))}^{2} = {(y + 3)}^{2}$ .

Stąd równanie obrazu okręgu ma postać:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ .

Przykład 2

Wyznaczymy obraz okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w symetrii osiowej względem osi $Y$ . Zapiszemy jego równanie.

Rozwiązanie:

Poniższy rysunek przedstawia dany okrąg oraz jego obraz w symetrii osiowej względem osi $Y$ .

R4MC88PK8ASD5

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jeden do sześciu. Oś Y jest osią symetrii okręgu o środku w punkcie A nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Okręgiem symetrycznym względem osi Y do okręgu A jest okrąg o środku w punkcie B nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Obrazem punktu $A = (x, y)$ w symetrii osiowej względem osi $Y$ jest punkt $A' = (- x, y)$ . Zmieniając $x$ na $(- x)$ , otrzymujemy:

${(- x - 3)}^{2} = {(- (x + 3))}^{2} = {(x + 3)}^{2}$ .

Zatem równanie okręgu ma postać:

${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

Uwaga!

Rozpatrzmy okrąg o środku $S = (0, 0)$ i promieniu $r = 5$ . Ponieważ każda prosta przechodząca przez punkt $S$ jest osią symetrii tego okręgu, to w szczególności ten okrąg jest symetryczny względem obu osi układu współrzędnych.

Przykład 3

Obliczymy pole trapezu $A B C D$ , którego osią symetrii jest oś rzędnych układu współrzędnych, gdy dane są dwa jego wierzchołki $A = (- 4, 1)$ , $D = (- 1, - 2)$ .

Rozwiązanie:

Sporządźmy rysunek pomocniczy i znajdźmy pozostałe wierzchołki trapezu.

RAGNTGEJKK8HL

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4, 1 ) , B = ( 4, 1 ) , C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych.

Obrazem wierzchołka $A = (- 4, 1)$ jest wierzchołek $B = (4, 1)$ , obrazem wierzchołka $D = (- 1, - 2)$ jest wierzchołek $C = (1, - 2)$ .

Obliczamy długości $a$ , $b$ podstaw oraz wysokość $h$ trapezu i korzystamy ze wzoru

$P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h$

R1663AN7TN5TZ

Rysunek trapezu A B C D o współrzędnych wierzchołków A = ( - 4,1 ) , B = ( 4,1 ) , C = ( 1, - 2 ) , D = ( - 1 , - 2 ) leżącego w układzie współrzędnych. Zaznaczony punkt E . Odcinek DE jest wysokością trapezu.

$a = |A B| = |4 - (- 4)| = 8$

$b = |C D| = |1 - (- 1)| = 2$

$h = |D E| = |1 - (- 2)| = 3$

$P = \frac{1}{2} (8 + 2) \cdot 3 = 15$

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe $15$ .

Ciekawostka

Nie tylko figury przekształcamy w symetrii względem osi układu współrzędnych. Także wykresy funkcji można przekształcać i poszukiwać wzorów obrazów tych przekształceń.

Obraz funkcji $f (x)$ w symetrii względem osi $X$ .

R694R3X2RTD89

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 6 oraz z pionową osią Y od minus 5 do 5. Na płaszczyźnie narysowano funkcję f nawias, x, zamknięcie nawiasu o nieregularnym kształcie i jej obraz w symetrii względem osi X. Otrzymana funkcja, to minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obraz funkcji $f (x)$ w symetrii względem osi $Y$ .

R1LO2XKA5BPPE

Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Y

Twierdzenie: Symetria wykresu funkcji względem osi

X

Y

Wykres funkcji $y = - f (x)$ powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji $y = f (x)$ przez symetrię osiową względem osi $X$ .
Wykres funkcji $y = f (- x)$ powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji $y = f (x)$ przez symetrię osiową względem osi $Y$ .

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zawarte w nim ćwiczenie.

R1GMJHL9S5MEK1

R18CMLNJTSBHZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

REJTFC7H4JUKF1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RF1P6BLUQHKKN1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Połącz w pary figury symetryczne względem osi $Y$ .

R1XAJ3AO2OCB7

RLAEOR21F28F8

RCT1FGEA8Z93J

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 4

Połącz w pary figury symetryczne względem osi $X$ .

RPLDNOEAGJ7NR

RL743SPM8N1D2

R18699MP36AUQ

Połącz w pary ilustracje będące swoim Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu.

R1H7UBS3PZJLL1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RKATFUDF2NS74

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RHCJCCVJC3P6H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Q66TPFT4KK33

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

R1A5E6AS858QU

R1KSVOKD3S2J13

Ćwiczenie 10

R1CP29OSR78CG3

Ćwiczenie 11

Słownik

wykres równania

zbiór wszystkich punktów o współrzędnych $(x, y)$ , które spełniają dane równanie

izometria płaszczyzny

przekształcenie płaszczyzny, które dowolnym punktom $X$ i $Y$ przyporządkowują takie punkty $X'$ i $Y'$ , dla których odległość $X'$ od $Y'$ jest równa odległości $X$ od $Y$

inwolucja

takie przekształcenie płaszczyzny, które jest odwrotne samo do siebie

1. Symetrie w układzie współrzędnych

3. Obrazy wielokątów i okręgów w symetrii środkowej o środku w początku układu współrzędnych