1. Ułamek algebraiczny i jego dziedzina

R1avBq0GEiHWL

Pewne odwołania do analogii między liczbami całkowitymi i wielomianami znajdujemy w szkolnych programach nauczania matematyki. Można wspomnieć np. o rozkładzie liczb całkowitych i rozkładzie wielomianów na iloczyn czynników nierozkładalnych.

Korzystając z liczb całkowitych tworzymy liczby wymierne - czyli ułamki zwykłe, których licznik i mianownik to liczby całkowite, przy czym mianownik nie może być zerem. Takie ułamki możemy rozszerzać i skracać, mamy też określone dla nich podstawowe działania - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Postępując analogicznie z wielomianami jednej zmiennej uzyskamy ułamki algebraiczne, w których liczniku i mianowniku mamy wielomiany - takie ułamki nazwiemy wyrażeniami wymiernymi. Każde wyrażenie wymierne określa odpowiednią funkcję wymierną.

Wyrażenia algebraiczne mogą mieć różną postać.

W tej lekcji zajmiemy się omówieniem takich wyrażeń algebraicznych, które można zapisać w postaci ilorazu, z użyciem kreski ułamkowej.

Twoje cele

Wyjaśnisz analogie między ułamkami zwykłymi i wyrażeniami algebraicznymi zapisanymi w formie ułamka.
Obliczysz wartości wyrażeń algebraicznych tego typu.
Określisz, w jakich sytuacjach obliczenie wartości ułamka nie jest możliwe.

Zajmiemy się tutaj wyrażeniami algebraicznymi zapisanymi w formie ułamka zwykłego. Ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi nazywamy ułamkami algebraicznymiułamek algebraicznyułamkami algebraicznymi.

Rozważmy kilka wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka.

RbYoaAj7Eo2Gn

początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Zauważmy, że ułamek ten jest określony (tzn. można obliczyć jego wartość), gdy mianownik jest różny od zero.
Określmy zatem dziedzinę tego wyrażenia:
pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy p, nie równa się, zero oraz q, nie równa się, zero.
Czyli ułamek jest określony, gdy p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Zauważmy, że ułamek można skrócić (analogicznie do skracania ułamków zwykłych):
początek ułamka, cztery p indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, q, mianownik, pięć p indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, q indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć p q indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka; p, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego i q, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

Ułamek ten jest określony, gdy x, nie równa się, zero, y, nie równa się, zero, zet, nie równa się, zero.
Można go skrócić przez osiem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, trzydzieści dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, y indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Pamiętajmy jednak, że skrócenie nie powoduje zmiany założeń - powyższe wyrażenia algebraiczne są równe tylko gdy x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka

Zapiszmy licznik i mianownik ułamka w postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a b, minus, dwa a, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy a, nie równa się, zero i b, nie równa się, dwa.
Można go skrócić przez a:
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, b, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, b, minus, dwa, koniec ułamka
pamiętając o początkowych założeniach: a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego.

, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że
początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, dwa y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x y, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, plus, y, mianownik, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Mianownik został zapisany jako suma kwadratów, może więc przyjąć wartość zero tylko, gdy jednocześnie x, równa się, zero oraz y, równa się, zero.
Ułamek zatem jest określony, jeżeli przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od zero.
Taki warunek można zapisać na kilka sposobów, na przykład:
- możemy powiedzieć, że x, nie równa się, zero lub y, nie równa się, zero,
- możemy ten warunek przedstawić w formie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nie równa się, zero.

, początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka

Przekształćmy ułamek wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzory skróconego mnożenia:
początek ułamka, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, n, minus, n, mianownik, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka.
Ułamek jest określony gdy m, nie równa się, minus, jeden i można go skrócić przez m, plus, jeden:
początek ułamka, n nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, n nawias, m, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, m, plus, jeden, koniec ułamka.

Przykład 1

Obliczmy wartości wyrażeń algebraicznych dla $a = - 3$ , $b = 2$ , $c = - 1$ .

RTR2HffN3Bpq6

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

początek ułamka, pięć a, plus, siedem, mianownik, trzy b, plus, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, piętnaście, plus, siedem, mianownik, sześć, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, osiem, mianownik, siedem, koniec ułamka

Możemy najpierw uprościć ułamek (podane wartości a, b, c należą do dziedziny podanego wyrażenia).
początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, siedemnaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, b indeks górny, czternaście, koniec indeksu górnego, c indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, c indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, mianownik, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, dwadzieścia siedem, razy, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka

, początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka

Zauważmy, że a, plus, b, minus, c, równa się, minus, trzy, plus, dwa, plus, jeden, równa się, zero.
Zatem ułamek początek ułamka, a, plus, b, plus, c, mianownik, a, plus, b, minus, c, koniec ułamka nie jest określony dla podanych wartości a, b, c.

, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynu:
początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy a b, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć a c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Widzimy, że dla podanych wartości a, b, c ułamek jest określony (mianownik jest różny od zera) i można go skrócić przez a.
początek ułamka, a nawias, a, plus, trzy b, zamknięcie nawiasu, mianownik, a nawias, a, plus, pięć c, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a, plus, trzy b, mianownik, a, plus, pięć c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, plus, sześć, mianownik, minus, trzy, minus, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka

, początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka

Można spróbować skrócić ułamek:
początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, b, mianownik, c, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, dwa.
Ważne jest jednak zawsze sprawdzenie, czy dany ułamek dla określonych wartości zmiennych istnieje. W naszym przypadku wyrażenie c nawias, a, plus, trzy, zamknięcie nawiasu dla a, równa się, minus, trzy przyjmuje wartość zero, więc dla podanych wartości zmiennych ułamek początek ułamka, a b, plus, trzy b, mianownik, a c, plus, trzy c, koniec ułamka nie ma określonej wartości.

Ważne!

Wykonując operacje na ułamkach algebraicznych należy pamiętać o uwzględnieniu dziedziny ułamkadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny ułamka. Mianownik ułamka w każdej jego postaci (również przed dokonaniem ewentualnego skracania ułamka) musi być różny od $0$ .

Określając dziedzinę wyrażenia algebraicznego należy podać dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunki, przy których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość; w szczególności:

mianowniki ułamków i liczby przez które dzielimy muszą być różne od zera;
liczby podpierwiastkowe pierwiastków parzystego stopnia nie mogą być liczbami ujemnymi;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od $1$ ;
zero nie może być podstawą potęgi o wykładniku $0$ .

Przykład 2

Rozważmy sześć wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka. Ustalmy, które z tych wyrażeń są równe wyznaczając ich dziedzinę i sprowadzając wyrażenia do najprostszej postaci.

R1VXvoAO5Frau

Slajd pierwszy. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Wyrażenie początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka jest w najprostszej postaci. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd drugi. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, sześć a x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, sześć a x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd trzeci. Rozważamy wyrażenie początek ułamka, dwa a x, plus, cztery a, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dwa a x, plus, cztery a, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias x, plus, dwa zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd czwarty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć a x, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć a x, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego. Slajd piąty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, dwa a pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, dwa a pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste, x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, równa się, x. Slajd szósty. Rozważmy wyrażenie początek ułamka, cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: początek ułamka, cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa a, mianownik, x, koniec ułamka. Założenia są następujące: a, należy do, liczby rzeczywiste minus nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, x, należy do, liczby rzeczywiste minus nawias klamrowy, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego.

Slajd pierwszy. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ . Wyrażenie $\frac{2 a}{x}$ jest w najprostszej postaci. Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd drugi. Rozważamy wyrażenie $\frac{6 a x}{3 x^{2}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{6 a x}{3 x^{2}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd trzeci. Rozważamy wyrażenie $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a x + 4 a}{x^{2} + 2 x} = \frac{2 a (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd czwarty. Rozważmy wyrażenie $\frac{10 a^{2}}{5 a x}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{10 a^{2}}{5 a x} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ . Slajd piąty. Rozważmy wyrażenie $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{2 a \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{2 a}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{2 a}{|x|} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ$ , $x \in (0, \infty)$ ze względu na ostatnie założenie można było zastosować równość $|x| = x$ . Slajd szósty. Rozważmy wyrażenie $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}}$ . Wyrażenie to można uprościć w następujący sposób: $\frac{4 a^{2} x^{2}}{2 a x^{3}} = \frac{2 a}{x}$ . Założenia są następujące: $a \in ℝ ∖ \{0\}$ , $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Porównując założenia widzimy, że mamy następujące pary wyrażeń równych:

$1$ oraz $2$
$4$ oraz $6$

Przykład 3

Dane jest wyrażenie $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}}$ . Jaka jest
(a) największa,
(b) najmniejsza wartość,

którą może przyjąć to wyrażenie, jeśli $k$ , $m$ , $n$ są różnymi dodatnimi liczbami jednocyfrowymi?

(a) szukamy największej wartości wyrażenia

Ułamek ma przyjąć wartość największą, więc jego mianownik $k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}$ powinien przyjąć wartość najmniejszą.
Zatem liczba $m + \frac{3}{n}$ powinna być możliwie duża, zaś liczba $n$ mała.
Oznacza to, że $m$ powinno przyjąć wartość dużą, zaś $k$ i $n$ – małą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 9$ , $k = 1$ , $n = 2$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{21}{25}$ .
$m = 9$ , $k = 2$ , $n = 1$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{6}{13}$ .
Największa wartość ułamka to $\frac{21}{25}$ .

(b) analogicznie wyznaczyć możemy najmniejszą wartość wyrażenia

Zauważmy, że $m$ powinno przyjąć wartość małą, zaś $k$ i $n$ - możliwie dużą.
Mamy więc do rozważenia dwie sytuacje:
$m = 1$ , $k = 8$ , $n = 9$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{2}{19}$ .
$m = 1$ , $k = 9$ , $n = 8$ ,
wtedy $\frac{1}{k + \frac{2}{m + \frac{3}{n}}} = \frac{11}{115}$ .
Najmniejsza wartość ułamka to $\frac{11}{115}$ .

Polecenie 1

Rozwiąż zadania w grze edukacyjnej.

Rozwiąż zadania , rozpocznij od poziomu pierwszego, następnie wykonaj zadania z poziomu drugiego. Ustal, dla jakich wartości x, y wyrażenie algebraiczne jest określone, dopasowując odpowiednią dziedzinę.

R6h7ih7vTVdLB1

RfQms5YvqDKhZ

Dla wyrażenia początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy x y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste.
Dla wyrażenia początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, plus, pierwiastek kwadratowy z y, plus, jeden, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywisteoraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste.
Dla wyrażenia początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden pierwiastek kwadratowy z y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste.
Dla wyrażenia początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x, plus, pięć, plus, x y, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. y, należy do, liczby rzeczywiste, 3. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu , 7. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, liczby rzeczywiste

RUYNHhg5uNHuF

Dla wyrażenia początek ułamka, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.
Dla wyrażenia początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy x y indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.
Dla wyrażenia początek ułamka, jeden, mianownik, x nawias, x, minus, dwa y, zamknięcie nawiasu, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.
Dla wyrażenia początek ułamka, dwa x, mianownik, x pierwiastek kwadratowy z y, plus, pierwiastek kwadratowy z y, koniec ułamka: oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.
Dla wyrażenia początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, plus, pierwiastek kwadratowy z y, plus, jeden, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.
Dla wyrażenia początek ułamka, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa y, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu oraz 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. y, należy do, liczby rzeczywiste, 6. y, należy do, liczby rzeczywiste, 7. x, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 8. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 9. y, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 10. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 11. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 12. y, należy do, nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu.

Polecenie 2

Ustal, dla jakich wartości zmiennych $x$ , $y$ zachodzi równość wyrażeń:

$\frac{5 x}{7 y} = \frac{10 x y}{14 y^{2}}$
$\frac{x + 2}{5 x y + 10 y} = \frac{x - 4}{5 x y - 20 y}$
$\frac{6 x y}{9 x^{2} + 3 x} = \frac{8 y^{2}}{12 x y + 4 y}$

$\frac{10 x y}{14 y^{2}} = \frac{5 x \cdot 2 y}{7 y \cdot 2 y}$ .
$\frac{x + 2}{5 x y + 10 y} = \frac{1 \cdot (x + 2)}{5 y \cdot (x + 2)}$ ;
$\frac{x - 4}{5 x y - 20 y} = \frac{1 \cdot (x - 4)}{5 y \cdot (x - 4)}$ .
$\frac{6 x y}{9 x^{2} + 3 x} = \frac{3 x \cdot 2 y}{3 x \cdot (3 x + 1)}$ ;
$\frac{8 y^{2}}{12 x y + 4 y} = \frac{4 y \cdot 2 y}{4 y \cdot (3 x + 1)}$ .

$x \in ℝ$ ;
$y \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .
$x \in (- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, \infty)$ ;
$y \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .
$x \in (- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, \infty)$ ;
$y \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

Możemy trochę sformalizować pojęcie ułamka algebraicznego.

wyrażenie wymierne

Definicja: wyrażenie wymierne

Wyrażeniem wymiernym zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\frac{P (x)}{Q (x)}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianupierwiastek wielomianupierwiastków wielomianu $Q (x)$ .

Przykład 4

Wyznaczmy dziedzinę wyrażeń:

RDpvFxto60I0U

początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, pięć x, plus, jedenaście, koniec ułamka

Do dziedziny należą wszystkie liczby rzeczywiste prócz rozwiązań równania
pięć x, plus, jedenaście, równa się, zero.
Rozwiązaniem równania jest x, równa się, minus, początek ułamka, jedenaście, mianownik, pięć, koniec ułamka.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, początek ułamka, jedenaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście, równa się, zero
nawias, x, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, zero
x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka lub x, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, równa się, zero
DELTA, równa się, dziewięć, minus, szesnaście, mniejszy niż, zero, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste.

, początek ułamka, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, trzydzieści, koniec ułamka

Rozwiązujemy równanie kwadratowe x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, trzydzieści, równa się, zero
Ma ono dwa rozwiązania: x, równa się, minus, pięć lub x, równa się, sześć.
Zatem x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.

Przykład 5

Wyznaczmy dziedzinę wyrażeniadziedzinę wyrażenia $\frac{1}{x^{4} - 9}$ .

Szukamy rozwiązań równania $x^{4} - 9 = 0$ .
Używając wzorów skróconego mnożenia (różnica kwadratów) możemy zapisać
$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3) = 0$
$(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x^{2} + 3) = 0$
Zatem rozwiązaniami rzeczywistymi są $x = - \sqrt{3}$ , $x = \sqrt{3}$ .
Dziedzina wyrażenia to zatem zbiór $ℝ ∖ \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$ .

równość wyrażeń wymiernych

Definicja: równość wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymiernewyrażenie wymierneWyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości.

Przykład 6

Porównajmy wyrażenia wymiernerówność wyrażeń wymiernychPorównajmy wyrażenia wymierne $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ , $\frac{2}{3 x}$ i $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ .

Na początek określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ :
ze względu na mianownik $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .
Ułamek możemy skrócić przez $x$ :
Zatem $\frac{2 x}{3 x^{2}} = \frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ {0}$ .
Drugie wyrażenie to ułamek nieskracalny, po określeniu dziedziny możemy zapisać
$\frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ \{0\}$ .
Określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ rozwiązując równanie
$3 x^{2} + 9 x = 0$
$3 x (x + 3) = 0$
$x = 0$ lub $x = - 3$ - te liczby nie należą do dziedziny wyrażenia.
Zauważmy, że ułamek można skrócić przez $x + 3$ .
Zatem
$\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x} = \frac{2 (x + 3)}{3 x (x + 3)} = \frac{2}{3 x}$ ; $x \in ℝ ∖ \{- 3; 0\}$ .
Podsumowując: wszystkie trzy wyrażenia da się sprowadzić do postaci $\frac{2}{3 x}$ , trzecie z nich ma jednak inną dziedzinę, niż dwa poprzednie.
Możemy powiedzieć, że wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ i $\frac{2}{3 x}$ są równe.
Możemy też stwierdzić, że wyrażenia $\frac{2 x}{3 x^{2}}$ , $\frac{2}{3 x}$ i $\frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 9 x}$ są równe dla $x \in ℝ ∖ \{- 3; 0\}$ .

Przykład 7

Wykażemy, że wyrażenia $\frac{x - 4}{x + 4}$ , $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16}$ , $\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x - 4}{x^{3} + 4 x^{2} + x + 4}$ są równe.

Wyrażenie $\frac{x - 4}{x + 4}$ jest nieskracalne, jego dziedzina to $ℝ ∖ \{- 4\}$ .
Zapiszmy drugie wyrażenie używając wzorów skróconego mnożenia:
$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2}}$ .
Wyrażenie z mianownika przyjmuje wartość $0$ tylko dla $x = - 4$ , po skróceniu przez $x + 4$ mamy
$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{(x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2}} = \frac{x - 4}{x + 4}$ ; $x \in ℝ ∖ \{- 4\}$ .
Sprowadźmy licznik i mianownik ostatniego wyrażenia do postaci iloczynowej przez odpowiednie pogrupowanie wyrazów:
$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x - 4}{x^{3} + 4 x^{2} + x + 4} = \frac{x^{2} (x - 4) + (x - 4)}{x^{2} (x + 4) + (x + 4)} = \frac{(x - 4) (x^{2} + 1)}{(x + 4) (x^{2} + 1)}$ .
Zauważmy, że jedynym rzeczywistym mejscem zerowym mianownika $(x + 4) (x^{2} + 1)$ jest $x = - 4$ , bo wyrażenie $x^{2} + 1$ nie przyjmuje wartości $0$ dla żadnej liczby rzeczywistej. Ponadto możemy ułamek skrócić przez $x^{2} + 1$ . Zatem
$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x - 4}{x^{3} + 4 x^{2} + x + 4} = \frac{x^{2} (x - 4) + (x - 4)}{x^{2} (x + 4) + (x + 4)} = \frac{(x - 4) (x^{2} + 1)}{(x + 4) (x^{2} + 1)} = \frac{x - 4}{x + 4}$ ; $x \in ℝ ∖ \{- 4\}$ .
Wszystkie trzy wyrażenia można zatem sprowadzić do postaci $\frac{x - 4}{x + 4}$ , wszystkie mają taką samą dziedzinę $ℝ ∖ \{- 4\}$ , są więc równe.

Polecenie 3

Zapoznaj się z przedstawionymi w animacji przykładami wyznaczania dziedziny wyrażenia wymiernego.

RmemClcfku7XP

Polecenie 4

Wyznacz dziedzinę wyrażeń wymiernych. Uprość wyrażenia, jeśli to możliwe.

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Pomocne będzie zapisanie licznika i mianownika w postaci iloczynu:

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x} = \frac{x (x - 6)}{x (2 x - 3)}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3} = \frac{(2 x - 1) (x - 5)}{(x + 3) (2 x - 1)}$

$\frac{x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 3 x} = \frac{x (x - 6)}{x (2 x - 3)} = \frac{x - 6}{2 x - 3}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{0; \frac{3}{2}\}$
$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{1\}$
$\frac{2 x^{2} - 11 x + 5}{2 x^{2} + 5 x - 3} = \frac{(2 x - 1) (x - 5)}{(x + 3) (2 x - 1)} = \frac{x - 5}{x + 3}$ ;
$x \in ℝ ∖ \{- 3; \frac{1}{2}\}$

R13lJNgQAWwS21

Ćwiczenie 1

R1VXWmsoAsKjN1

Ćwiczenie 2

RQlfJUBOOVCmE2

Ćwiczenie 3

RXJUjuvcsMuqr2

Ćwiczenie 4

RIj5q87lyH09m2

Ćwiczenie 5

R1crIZ41l3rA52

Ćwiczenie 6

R1eLmTkvTXS083

Ćwiczenie 7

R1AFCpcx5E2jK3

Ćwiczenie 8

Przesuń ułamki do obszarów wskazując dla jakich x przyjmują wartość nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka x, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka x, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa x, plus, jeden, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, plus, jeden, mianownik, x, minus, dziesięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy x, mianownik, x, minus, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, mianownik, x, minus, sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, minus, cztery x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwa x, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka

R13umnLYyDjOY3

Ćwiczenie 9

Dany jest ułamek początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, jeden, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, n, koniec ułamka, koniec ułamka, koniec ułamka, określony dla jednocyfrowych liczb całkowitych dodatnich.

Największa wartość tego ułamka wynosi 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. dziewięć, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć, 8. dwa, 9. pięć, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 11. jeden, 12. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dziewiętnaście, koniec ułamka
i jest osiągana dla n, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. dziewięć, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć, 8. dwa, 9. pięć, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 11. jeden, 12. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dziewiętnaście, koniec ułamka.
Najmniejsza wartość tego ułamka wynosi 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. dziewięć, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć, 8. dwa, 9. pięć, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 11. jeden, 12. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dziewiętnaście, koniec ułamka
i jest osiągana dla n, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. dziewięć, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć, 8. dwa, 9. pięć, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 11. jeden, 12. początek ułamka, dziesięć, mianownik, dziewiętnaście, koniec ułamka.

RbMxnpH4DweFp1

Ćwiczenie 10

RmW2nK4pLSFYz1

Ćwiczenie 11

RFH7y0y12tiXi1

Ćwiczenie 12

R149uK0TUQvhx1

Ćwiczenie 13

RE6xVdssj5gBC1

Ćwiczenie 14

R1ZslBHTaJVlj1

Ćwiczenie 15

RZ6EGaNBRrrT31

Ćwiczenie 16

RT2x8raFuJfqn1

Ćwiczenie 17

R1NGBG4X46mGE1

Ćwiczenie 18

R1LRQ0rc6HCzf1

Ćwiczenie 19

Połacz w pary wyrażenia o tej samej dziedzinie. początek ułamka, trzy x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, jeden, minus, dwa x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dziewięć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięć x, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka

RmCryPlRUh5Qd1

Ćwiczenie 20

R1TTr9iXKoEar1

Ćwiczenie 21

RM0ncKFxitRd51

Ćwiczenie 22

RdFg5NR8fd0h71

Ćwiczenie 23

R4EJSXrJEG9zz1

Ćwiczenie 24

R1HDz7oc4D7sB1

Ćwiczenie 25

RX9vnD6O9OjVh1

Ćwiczenie 26

RjbtJGJ4tQZKi1

Ćwiczenie 27

R11NfeC5WR7uX1

Ćwiczenie 28

RRUjBF0s7Wd6l1

Ćwiczenie 29

RvbO8Df3hC5331

Ćwiczenie 30

RXxClUs8QIIwc2

Ćwiczenie 31

Przyporządkuj każde wyrażenie do jego dziedziny. liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, trzy x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy x, mianownik, sześć, minus, dwa x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, mianownik, dwa x, minus, cztery, koniec ułamka liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, trzy x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy x, mianownik, sześć, minus, dwa x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, mianownik, dwa x, minus, cztery, koniec ułamka liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, minus, trzy, mianownik, trzy x, minus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy x, plus, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy x, mianownik, sześć, minus, dwa x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, x, plus, trzy, mianownik, x, minus, jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, mianownik, dwa x, minus, cztery, koniec ułamka

R3KHQeZbX0xBq2

Ćwiczenie 32

Przyporządkuj każde wyrażenie do jego dziedziny. liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, plus, sześć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, minus, cztery x, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero przecinek jeden, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, plus, sześć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, minus, cztery x, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, zero przecinek trzy, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, plus, sześć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa x, minus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, x, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, minus, cztery x, mianownik, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć x, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, sześć, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy x, plus, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór liczb, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy.

ułamek algebraiczny

ułamek, którego licznik i mianownik są wyrażeniami algebraicznymi.

pierwiastek wielomianu

dla wielomianu $W (x)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_{0}$ taka, że $W (x_{0}) = 0$

równość wyrażeń wymiernych

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

wyrażenie wymierne

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , w którym $P (x)$ i $Q (x)$ są wielomianami zmiennej $x$ , przy czym $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym.

dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{P (x)}{Q (x)}

dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{P (x)}{Q (x)}

to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$

2. Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych

M_R_W15_M1 Ułamki algebraiczne

1. Ułamek algebraiczny i jego dziedzina

Słownik