• Zrozumiesz na czym polega podobieństwo figur.

• Poznasz warunki charakteryzujące czworokąty podobne.

• Poznasz i będziesz stosował własność pól figur podobnych. Zastosujesz je do skali map i planów budynków.

• Poznasz jak podobieństwo trapezów wykorzystuje się w perspektywie malarskiej.

• Zastosujesz podobieństwo czworokątów w problemach praktycznych i zagadnieniach matematycznych.

Podobieństwem o skali $k>0$ nazywamy takie przekształcenie $P$ płaszczyzny na tę samą płaszczyznę (mówimy wówczas o podobieństwie płaszczyzny) lub przestrzeni na tę samą przestrzeń (mówimy wówczas o podobieństwie przestrzeni), w którym

$\left|A^{\prime }{B}^{\prime }\right|=k\cdot \left|AB\right|$

gdzie:
$A$ i $B$ – są dwoma dowolnymi punktami,
$A^{\prime }$ i $B^{\prime }$ – obrazami tych punktów w przekształceniu $P$.

Figury nazywamy podobnymi wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem drugiej w pewnym podobieństwie. Relację podobieństwa figur oznaczamy symbolem „$~$”. Fakt, że figura $F$ jest podobna do figury $G$ możemy zapisać następująco:

$F~G$

Skalę $k>0$ tego podobieństwa nazywamy wtedy skalą podobieństwa figury $G$ do figury $F$.

Własności podobieństwa:

• zachowuje stosunek odcinków,

• przekształca kąt w kąt do niego przystający,

• zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.

Pokażemy, że równe stosunki odpowiednich boków nie wystarczą do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie:

Wystarczy wziąć rombrombromb, który nie jest kwadratem i kwadratkwadratkwadrat o takich samych długościach boków. Czworokąty te mają równe boki, ale odpowiednie kąty nie są równe.

Pokażemy, że równość miar odpowiednich kątów nie wystarczy do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie:

Wystarczy wziąć kwadrat i prostokąt, który nie jest kwadratem. Czworokąty te mają równe kąty, ale stosunki odpowiednich boków nie są równe.

$1.$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie kąty oraz równe stosunki odpowiednich boków.

$2.$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki odpowiednich boków i stosunki odpowiednich przekątnych są równe.

Czworokąty $ABCD$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ są podobne. Boki czworokąta $ABCD$ mają długości $8$, $4$, $16$ i $12$ centymetrów. Najdłuższy bok czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ma
$20 \mathrm{cm}$.

Wyznaczymy długości pozostałych boków czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$.

Rozwiązanie:

Najdłuższy bok czworokąta $ABCD$ ma długość $16 \mathrm{cm}$ i odpowiada on najdłuższemu bokowi czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ o długości $20 \mathrm{cm}$.

Stosunek tych boków wynosi $k=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$. Stąd stosunek pozostałych boków też jest równy $k$, więc boki czworokąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ zapisane w kolejności malejącej mają długości:

$20$, $12·\frac{5}{4}=15$, $8·\frac{5}{4}=10$, $4·\frac{5}{4}=5$ centymetrów.

Równoległobok o bokach $a\ge b$ jest podobny do równoległoboku o bokach $c\ge d$ wtedy i tylko wtedy, gdy mają przynajmniej jeden kąt równy i $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Pokażemy, że romby, które mają przynajmniej jeden kąt równy są podobne.

Rozwiązanie:

Rzeczywiście, romby mają równe boki, więc stosunek boków w dowolnym rombie jest $1$. Informacja o równości przynajmniej jednego kąta prowadzi do wyznaczenia pozostałych kątów. Ostatecznie, z własności równoległobokówrównoległobokrównoległoboków podobnych, takie romby są podobne.

Prostokąt o bokach $a\ge b$ jest podobny do prostokąta o bokach $c\ge d$ jeśli $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Mamy do wyboru dwa telewizory, oba w rozdzielczości $3840\times 2160 \mathrm{px}$. Mniejszy ma przekątną $55$ cali a większy – $65$ cali. Pokażemy, że ekrany obu telewizorów są podobnymi prostokątamiprostokątprostokątami oraz wyznaczymy skalę podobieństwa $k$.

Rozwiązanie:

Rozdzielczość ekranu $3840\times 2160 \mathrm{px}$ mówi, że jest $3840$ pikseli w każdej linii, a linii tych jest $2160$. Przyjmujemy, że piksel jest małym kwadracikiem.

Zatem rozdzielczość mówi o proporcji obrazu, czyli o stosunku boku dłuższego do krótszego.

Stąd ekrany tych telewizorów są podobne w skali $k=\frac{55}{65}=\frac{11}{13}$.

Główną zasadą perspektywy w malarstwie (zobacz rysunek z wprowadzenia do tego materiału) jest to, że rzeczywiste pionowe obiekty równej wysokości i równooddalone od siebie, czyli tworzące przystające prostokąty, przekształcane są na trapezytrapeztrapezy podobne. Załóżmy, że latarnie $FK$, $DL$, $BM$ mają w rzeczywistości równe wysokości.

Na rysunku wykonanym zgodnie z zasadami perspektywy w malarstwie, otrzymaliśmy trapezy o podstawach $2$, $3$, $4$.

RJ14BH67A4VTT

Ilustracja przedstawia Trapez prostokątny K F D L leżący na prostym boku F D, jego dłuższą podstawą jest odcinek K F. Obok znajduje się podobny trapez L D B M, także leżący na prostym boku, jego dłuższą podstawą jest odcinek L D. Odcinki F B i K M przedłużono, a miejsce ich przecięcia się utworzyło punkt S. Powstał trójkąt prostokątny K F S. Odcinek K F ma długość cztery, odcinek L D ma długość trzy, odcinek M B ma długość dwa, natomiast odcinki F D i D B mają długość dwa.

Pokażemy, że w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$.

Rozwiązanie:

Gdyby odległości między latarniami $K$ i $L$ oraz $L$ i $M$ były równe, to trapezy $KLDF$ oraz $LMBD$ byłyby podobne. Wtedy stosunki odpowiednich boków, w szczególności podstaw trapezów byłyby równe.

Obliczmy $\frac{\left|KF\right|}{\left|LD\right|}=\frac{4}{3}$, $\frac{\left|LD\right|}{\left|MB\right|}=\frac{3}{2}$. Te stosunki nie są równe, więc w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$.

przekształcenie geometryczne, które zachowuje stosunek odległości punktów płaszczyzny

identyczność kształtu i wielkości figur

przekształcenie geometryczne, przy którym odległość punktów nie ulega zmianie, np. przesunięcie równoległe, obrót, symetria względem prostej, punktu lub płaszczyzny

liczba dodatnia, wyrażająca stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych