Odległość między punktami $A$ i $B$ leżącymi na jednej prostej to długość odcinka $AB$, czyli długość najkrótszej krzywej (drogi) od punktu $A$ do punktu $B$.

Odległością dwóch liczb na osi liczbowej jest odległość punktów odpowiadających tym liczbom.

Oczywiście odległość $d(A;B)$ punktu $A$ od punktu $B$ spełnia następujące warunki:

• Dla dowolnego punktu $A$: $d(A;A)=0$, czyli odległość dowolnego punktu od siebie samego jest równa zeru (tzw. identyczność nierozróżnialnych ).

• Dla dowolnych punktów $A$ i $B$: $d(A;B)=d(B;A)$, czyli odległość punktu $A$ od punktu $B$ jest taka sama jak odległość punktu $B$ od punktu $A$ (tzw. symetria ).

• Dla dowolnych punktów $A, B, C$: $d(A;B)+d(B;C)\ge d(A;C)$, czyli suma odległości punktów $A$ i $B$ oraz punktów $B$ i $C$ jest nie mniejsza niż odległość punktów $A$ i $C$ (tzw. nierówność trójkąta).

Rozważmy teraz punkty $A$, $B$ na osi liczbowej. Mogą one być położone względem zera na różne sposoby.

• Jeden z punktów ma współrzędną równą zeru.

• Oba punkty mają współrzędne dodatnie.

• Punkty mają współrzędne o różnych znakach.

• Oba punkty mają współrzędne ujemne.

Przeanalizuj poniższe przykłady:

R1XVIZzHZGmZC

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na osi znajdują się liczby z zakresu od minus 5 do osiem. Na osi zaznaczono dwa punkty: A równa się 0 oraz B równa się sześć. Pomiędzy punktami zaznaczono klamrą odległość, wynosi ona sześć.

RgTmJgYlQk8wj

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Podziałka osi X ma liczby z zakresu od minus 11 do dwa. Na osi zaznaczono dwa punkty: A równa się 0 oraz B równa się minus sześć. Pomiędzy punktami zaznaczono klamrą odległość, wynosi ona sześć.

R1dMtQukeobn7

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Oś ma liczby z zakresu od minus 3 do siedem. Zaznaczono trzy punkty: punkt zero, punkt A równa się 3, punkt B równa się osiem. Obliczono odległość pomiędzy punktami A i B: $8-3=\left|3-8\right|=5$.

R11f7DNvmZMRT

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na osi znajdują się liczby z zakresu od minus 6 do siedem. Zaznaczono na niej trzy punkty: punkt zero, A równa się minus 3, B równa się cztery. Obliczono odległość pomiędzy punktami A oraz B: $4+3=4-\left(-3\right)=\left|-3-4\right|=7$.

RdODB3KcnO5Ps

Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na podziałce osi znajdują się liczby od minus 10 do trzy. Zaznaczono trzy punkty: punkt zero, punkt A równa się minus 9, punkt B równa się minus cztery. Zaznaczono klamrą odległość pomiędzy A i B, następnie ją obliczono: $9-4=\left|-9-\left(-4\right)\right|=5$.

Zwróć uwagę, że niezależnie od położenia punktów na osi liczbowej względem zera, odległość między nimi można obliczyć jako wartość bezwzględną różnicy ich współrzędnych.

Zatem dla punktów na osi $A=\left(x_A\right),B=\left(x_B\right)$ odległość tych punktów jest równa $d(A;B)=\left|x_A-x_B\right|$

W aplecie możesz zmieniać położenie punktów $A$ i $B$ na osi liczbowej. Obserwuj jak zmienia się wartość odległości między punktami.

RPZaqQjszRX7D

Aplet przedstawia poziomą oś liczbową, oznaczoną jako X. Znajdują się na niej liczby z zakresu od minus 10 do jedenaście. Na osi wybieramy ułożenie punktów A oraz B. Pod osią zapisane są współrzędne wybranych punktów A i B z dokładnością co do części setnych. Zapisana jest również odległość punktów od siebie, jest ona liczona ze wzoru: $d\left(A;B\right)$ równa się początek modułu współrzędna punktu A minus współrzędna punktu B koniec modułu. Przykład jeden. $A = \left(-5,31\right)$ oraz $B = \left(7,69\right)$. Odległość pomiędzy punktami jest równa $d\left(A;B\right) = \left|-5,31 - \left(7,69\right)\right| = \left|-13\right| = 13$. Przykład dwa. $A = \left(0\right)$ oraz $B = \left(-10\right)$. Odległość wynosi: $d\left(A;B\right) = \left|0 - \left(-10\right)\right| = \left|10\right| = 10$. Przykład trzy. $A = \left(-2,7\right)$ oraz $B = \left(-8,4\right)$. Odległość pomiędzy punktami wynosi: $d\left(A;B\right) = \left|-2,7 - \left(-8,4\right)\right| = \left|5,7\right| = 5,7$.

Aplet przedstawia poziomą oś liczbową, oznaczoną jako X. Znajdują się na niej liczby z zakresu od minus 10 do jedenaście. Na osi wybieramy ułożenie punktów A oraz B. Pod osią zapisane są współrzędne wybranych punktów A i B z dokładnością co do części setnych. Zapisana jest również odległość punktów od siebie, jest ona liczona ze wzoru: $d\left(A;B\right)$ równa się początek modułu współrzędna punktu A minus współrzędna punktu B koniec modułu. Przykład jeden. $A = \left(-5,31\right)$ oraz $B = \left(7,69\right)$. Odległość pomiędzy punktami jest równa $d\left(A;B\right) = \left|-5,31 - \left(7,69\right)\right| = \left|-13\right| = 13$. Przykład dwa. $A = \left(0\right)$ oraz $B = \left(-10\right)$. Odległość wynosi: $d\left(A;B\right) = \left|0 - \left(-10\right)\right| = \left|10\right| = 10$. Przykład trzy. $A = \left(-2,7\right)$ oraz $B = \left(-8,4\right)$. Odległość pomiędzy punktami wynosi: $d\left(A;B\right) = \left|-2,7 - \left(-8,4\right)\right| = \left|5,7\right| = 5,7$.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DFbaFplWc

Słownik